Kapitel
Ergebnisraum
Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der el Ergebnisraum, notiert mit 
(oder auch mit 
), die Menge aller möglichen Ergebnisse bei der Durchführung eines Zufallsexperiments.
Beispiel
1 Würfeln
Nehmen wir das Experiment, bei dem ein Würfel geworfen wird. Wir wissen, dass der Würfel 6 Seiten hat, wobei jede Seite eine andere ganzzahlige Zahl hat, die von 
bis 
gehen. Unser Ergebnisraum mit allen möglichen Ergebnissen, die wir beim Würfeln erzielen können, wäre also
2 Werfen von 2 Münzen
Nehmen wir das Experiment des Werfens zweier Münzen. Eine Münze hat nur zwei Seiten, nämlich Kopf (
) oder Zahl (
). Da wir zwei Münzen werfen, wären unsere Ergebnisse Paare, d. h. unser Ergebnisraum mit allen möglichen Ergebnissen, die wir erhalten könnten, wäre
Ein weiteres wichtiges Konzept ist das Ereignis, notiert mit 
. Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums, oder weniger formell, das Eintreten "bestimmter Fälle".
Beispiel:
Die Tatsache, dass beim Würfeln eine oder eine 
gewürfelt wird, wäre durch folgende Teilmenge gegeben
Ein Elementarereignis ist ein Ereignis, das aus nur einem Element besteht, nämlich 
. Mit anderen Worten, es handelt sich um ein Ereignis, bei dem nur ein Ergebnis in Betracht kommt.
Beispiel:
Die Tatsache, dass beim einmaligen, gleichzeitigen Werfen zweier Münzen beide Münzen Kopf 
zeigen, ist ein Elementarereignis und durch folgende Teilmenge gegeben
Wir erinnern uns daran, dass jedes Paar, zum Beispiel 
, ein einziges Ergebnis ist, obwohl es aus zwei einzelnen Elementen besteht (da wir zwei unterschiedliche Münzen werfen).
Gleichwahrscheinliche Ereignisse
In manchen Fällen betrachtet die Wahrscheinlichkeitsrechnung die verschiedenen Ergebnisse eines Experiments als gleichwahrscheinlich. In diesen Fällen wird in einem Ergebnisraum mit 
möglichen Ergebnissen mit der gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit jedem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit von 
zugeordnet.
In einem Ergebnisraum mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses leicht berechnen:
Vereinigung von Ereignissen
Gegeben sind zwei Ereignisse 
und 
. Die Vereinigung von Ereignissen, 
, ist das Ereignis, dass alle Elemente bilden, die zu oder gehören. Das Ereignis 
tritt ein, wenn eines von beiden, oder , oder beide entreten.
wird als " vereinigt mit " gelesen.
Beobachtung. In Wirklichkeit ist die Vereinigung von zwei Ereignissen nichts anderes als die Vereinigung ihrer Mengen.
Beispiel:
Wir nehmen ein Experiment, bei dem ein Würfel geworfen wird und sehen uns folgendes Ereignis an: Es wird eine gerade Zahl wie 
gewürfelt und eine Zahl, die ein Vielfaches von drei ist, nämlich 
. Wir berechnen die Vereinigung der Ereignisse und 
():
Regeln für die Vereinigung von Ereignissen
- KommutativitätGegeben sind zwei Ereignisse und . Es gilt:
. - AssoziativitätGegeben sind die Ereignisse
, und . Es gilt:
. - IdempotenzFür das Ereignis gilt:
. - DistributivitätGegeben sind die Ereignisse , und . Es gilt:
und
- VereinfachungGegeben sind zwei Ereignisse und . Es gilt:
.
- Neutrales ElementFür das Ereignis gilt:
.
ist hierbei das unmögliche Ereignis. - Absorption ist ein beliebiges Ereignis und ein beliebiges anderes größeres Ereignis, das das Ereignis enthält (es kann sogar derselbe Ergebnisraum [
sein). Somit gilt
.
Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen
Wir nehmen zwei Ereignisse und mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten 
und 
. Somit ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung gegeben durch
Daraus ergeben sich zwei wichtige Fälle. 
und 
.
Wahrscheinlichkeit von vereinbaren Ereignissen
Wir sagen, dass zwei Ereignisse und vereinbar sind, wenn sie mindestens ein gemeinsames Elementarereignis enthalten. Mit anderen Worten, wenn beide mindestens ein gemeinsames Ergebnis in Betracht ziehen.
Wenn zwei Ereignisse und vereinbar sind, ist ihre Schnittmenge nicht leer (unterscheidet sich von der leeren Menge 
). Das heißt
.
Da die Schnittmenge in diesem Fall nicht leer ist und ihre Elemente zum Ergebinsraum gehören, gilt 
. Somit nehmen wir die Gleichung (\ref{ProbabilidadUnion}), um die Wahrscheinlichkeit von zu berechnen.
.
Beispiel
Wir nehmen ein Experiment, bei dem ein Würfel geworfen wird und die folgenden Ereignisse:
- Die gewürfelte Zahl ist ein Vielfaches von drei:
- Beim Würfeln erscheint die Zahl
: 
.
Wir stellen fest, dass 
. Die Mengen sind also vereinbar. Außerdem gilt 
und 
. Wir wenden die Formel der Gleichung (\ref{ProbabilidadUnion}) an und erhalten
Wahrscheinlichkeit der Vereingung von unvereinbaren Ereignissen
Zwei Ereignisse und sind unvereinbar, wenn sie kein gemeinsames Element haben. Mit anderen Worten, wenn ein Ergebnis, das in enthalten ist, nicht in enthalten ist und umgekehrt.
Zwei Ereignisse und sind außerdem unvereinbar, wenn ihre Schnittmenge leer ist (leere Menge ). Das heißt
Die Wahrscheinlichkeit der leeren Menge ist 
, das dieses Ereignis in keinem Ergebnis vorkommt. Daher lautet die Gleichung wie folgt:
Beispiel
Wir nehmen ein Experiment, bei dem ein Würfel geworfen wird und die folgenden Ereignisse:
- Beim Würfeln erscheint eine Primzahl kleiner als 4:
- Beim Würfeln erscheint die Zahl oder die Zahl :
.
Wir stellen fest, dass 
. Die Mengen sind also unvereinbar. Außerdem haben wir und 
. Wir wenden die Formel der Gleichung (\ref{ProbabilidadIncompatibles}) an und erhalten
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