Kapitel
Laplace-Experiment
Dieses Experiment gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Ereignis eintritt oder dass man bei einem Glücksspiel gewinnt.
Wenn wir einen Würfel werfen, muss berücksichtigt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 erscheint, gleich groß ist, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl erscheint, 
ist.
Wenn wir nun wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl ist, wäre das Ergebnis 
, denn 
sind die geraden Ergebnisse.
Im Allgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis zwischen der Anzahl der günstigen Fälle und der Gesamtzahl der möglichen Fälle, was dem Laplace-Experiment entspricht.
Unvereinbare Ereignisse
Dies sind zwei Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können.
Beispiel:
Es wird eine Umfrage unter Universitätsstudenten durchgeführt, um festzustellen, wie viele von ihnen rauchen und wie viele nicht, sodass 
die Menge der Raucher und 
die der Nichtraucher ist:
Denn eine Person kann nicht gleichzeitig Raucher und Nichtraucher sein.
Wenn also ein Schüler oder eine Schülerin zufällig ausgewählt wird, möchten wir wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er oder sie raucht oder nicht raucht, und verwenden folgende Formel:
Vereinbare Ereignisse
Dies sind zwei Ereignisse, die gleichzeitig auftreten können.
Beispiel:
An einer Universität gibt es Student:innen, die Englisch, Französisch oder beide Sprachen studieren. Wenn diejenigen sind, die Englisch studieren, und diejenigen, die Französisch studieren, dann sind 
diejenigen, die Englisch und Französisch studieren. Somit:
Wenn wir nun einen Studenten oder eine Studentin nach dem Zufallsprinzip auswählen und wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er/sie Englisch oder Französisch studiert, verwenden wir die folgende Formel:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch ein anderes Ereignis beeinflusst werden kann.
Beispiel:
Stell dir vor, du spielst mit einer anderen Person ein Spiel, bei dem du dreimal eine Münze wirfst. Du gewinnst, wenn sie Kopf zeigt, und verlierst, wenn sie Zahl zeigt. Um zu gewinnen, musst du mindestens zwei von drei Würfen gewinnen.
Wenn wir mit 
einen gewonnenen Wurf und mit 
einen verlorenen Wurf darstellen, dann wären die Ergebnisse
.
Um zu gewinnen, muss 
auftreten. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen, 
.
Angenommen, der erste Wurf gelingt nicht, sodass noch zwei Würfe verbleiben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen?
Wir verwenden die Formel:
Wir nennen das Ereignis, den 1. Wurf zu gewinnen und das Ereignis, zu verlieren. Die Ergebnisse wären 
. Somit wäre das Ereignis, den 1. Wurf zu gewinnen und zu verlieren. Das Ergebnis hiervon wäre 
. 
ist das Ereignis, zu gewinnen, wenn der 1. Wurf bereits verloren wurde.
Ausgehend von den oben genannten Ergebnissen gilt 
, 
. Und somit:
Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also 
.
Unabhängige Ereignisse
Sie beeinflussen sich gegenseitig nicht.
Beispiel:
Zwei Personen werfen einen Gegenstand auf dasselbe Ziel, aber die erste Person, die wir nennen, hat eine Wahrscheinlichkeit von , das Ziel zu treffen, und die zweite Person, die wir nennen, hat eine Wahrscheinlichkeit von 
, das Ziel zu treffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Personen das Ziel treffen?
Wir haben also 
, 
und müssen 
mit der folgenden Formel berechnen:
Das Ergebnis wäre 
Abhängige Ereignisse
Sie beeinflussen sich gegenseitig.
Beispiel:
In einer Bevölkerung leiden 
% der Menschen an einer Krankheit. Es gibt ein Verfahren zur Diagnose, das jedoch nicht völlig zuverlässig ist, da es in 
% der Fälle positiv ausfällt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Krankheit zu haben und positiv zu testen?
Wir nennen das Ereignis, positiv auf die Krankheit zu testen und das Ereignis des Auftretens der Krankheit. Wir haben somit 
, 
und berechnen 
mit der Formel:
Somit:
Das Ergebnis ist eine Wahrscheinlichkeit von 
%.
Differenz von Ereignissen
Sie können miteinander zusammenhängen oder auch nicht, und wir wollen, dass die Wahrscheinlichkeit des einen nichts mit der des anderen zu tun hat.
Beispiel:
Ein Würfel wird geworfen und wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine gerade Zahl herauskommt, aber kein Vielfaches von 
. Wir nennen also das Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird, das Ereignis, dass ein Vielfaches von gewürfelt wird. Wir haben 
, 
. Da 
, 
, 
, verwenden wir die Formel:
Somit:
Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
Dies ist der Fall, wenn mehrere unabhängige oder nicht miteinander zusammenhängende Ereignisse vorliegen, die jedoch alle mit einem anderen Ereignis zusammenhängen, dessen Wahrscheinlichkeit du erfahren möchtest.
Wenn wir ein Ereignis haben und 
sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, wenden wir folgende Formel an:
Beispiel:
Eine Fabrik nutzt drei Maschinen 
für die Herstellung von bestimmten Produkten. Wir nehmen Folgendes an:
Maschine 
produziert 55% aller Produkte, von denen 2% fehlerhaft sind.
Maschine 
produziert 25% aller Produkte, von denen 4% fehlerhaft sind.
Maschine 
produziert 20% aller Produkte, von denen 5% fehlerhaft sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgewählter Artikel fehlerhaft ist?
ist das Ereignis, dass der Artikel fehlerhaft ist. Somit:
, 
, 
, 
, 
und 
Wir wenden die Formel an:
Die Wahrscheinlichkeit ist also 3,1%.
Satz von Bayes
Dieser Satz erleichtert Übungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit bei mehreren Ereignissen.
Wenn wir ein Ereignis haben und sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, verwenden wir folgende Formel:
In einer Fabrik arbeiten drei Mitarbeiter: Andreas, Beto und Carlos. Andrés ist zu 50%, Beto zu 30% und Carlos zu 20% an der Produktion beteiligt.Bei Andreas liegt die Wahrscheinlichkeit bei 1%, dass er etwas falsch macht; bei Beto liegt die Wahrscheinlichkeit bei 2% und bei Carlos liegt sie bei 3%. Eines der Produkte wurde getestet und war fehlerhaft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Andreas war, der den Fehler gemacht hat?
Wir beachten das Folgende:
{fehlerhafte Arbeit}, 
{von Andreas ausgeführt}, 
{von Beto ausgeführt} und 
{von Carlos ausgeführt}.
Anhand dieser Ereignisse erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeiten:
, 
, 
, 
, 
und 
.
Wir wenden den Satz von Bayes an, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass Andreas den Fehler gemacht hat
Wir setzen die Werte ein und erhalten
Gesetze
1 Gesetz, das besagt, dass die Wahrscheinlichkeit nicht-negativ und kleiner als 1 ist. Dieses Gesetz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit in Prozenten von 
% bis 
% angegeben wird, weshalb % bedeutet, dass es keine Wahrscheinlichkeit gibt, %, dass die Vorhersage eintritt. Die Werte dazwischen geben an, wie wahrscheinlich es ist, dass das erwartete Ereignis eintritt.
Gesetze
1 Gesetz, das besagt, dass die Wahrscheinlichkeit nicht-negativ und kleiner als 1 ist. Dieses Gesetz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit in Prozenten von % bis % angegeben wird, weshalb % bedeutet, dass es keine Wahrscheinlichkeit gibt, %, dass die Vorhersage eintritt. Die Werte dazwischen geben an, wie wahrscheinlich es ist, dass das erwartete Ereignis eintritt.
2 Gesetz, dass ein Ereignis mit Sicherheit eintritt. Ein Beispiel für dieses Gesetz wäre ein Würfel, in den auf allen Seiten die Zahl 
eingraviert ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln herauskommt, beträgt dann %.
3 Gesetz, dass ein Ereignis sicher nicht eintritt. Für dieses Gesetz nehmen wir den gleichen Würfel wie im vorherigen Beispiel und würfeln. Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass eine 
gewürfelt wird? Die Wahrscheinlichkeit wäre gleich 0, weil es nur die Zahl gibt und die Wahrscheinlichkeit daher ist.
4 Gegenereignis. Für dieses Gesetz nehmen wir an, wir werfen einen normalen Würfel mit den Zahlen 
bis und wollen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass nicht erscheint. Wir nennen also das Ereignis, dass gewürfelt wird, 
wäre das Ereignis, dass nicht gewürfelt wird und 
. Wir wenden also die Formel an:
Wir setzen ein:
.
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