Gemischte Aufgaben zu Variationen

Hier handelt es sich um eine Variation, denn:

1 Nicht alle Elemente sind Teil der Betrachtung. Es werden nur drei der fünf Zahlen beachtet.

2 Die Reihenfolge ist wichtig. Es ist nicht dasselbe, die Zahlen in der Reihenfolge oder aufzuschreiben.

3 Die Elemente wiederholen sich nicht. Sobald eine Zahl für eine der drei Positionen ausgewählt wurde, ist diese nicht mehr Bestandteil für die anderen Auswahlen. Alle Ziffern müssen unterschiedlich sein.

Wir erhalten also Variationen von Elementen, die in er-Gruppen ausgewählt werden, d.h. und . Die Anzahl der verschiedenen Zahlen, die wir mit den Ziffern bilden können ist daher

Hier handelt es sich um eine Variation, denn:

1 Nicht alle Elemente sind Teil der Betrachtung. Es werden nur 3 aus 5 Zahlen ausgewählt.

2 Die Reihenfolge ist wichtig. Es ist nicht dasselbe, die Zahlen in der Reihenfolge oder aufzuschreiben.

3 Die Elemente wiederholen sich. Es dürfen zum Beispiel Zahlen wie , , , etc. gebildet werden.

Wir erhalten also Variationen mit Wiederholung von Elementen, die in er-Gruppen ausgewählt werden, d.h y . Die Anzahl der verschiedenen Zahlen, die wir mit den Ziffern bilden können ist daher

Diese Aufgabe ist etwas komplexer, da die erste Zahl größer als Null sein muss, daher gibt es für die erste Ziffer mögliche Elemente zur Auswahl ( und ), das heißt wir erhalten Variationen von Elementen, die er-Gruppen ausgewählt werden

Sobald die Ziffer für die erste Position ausgewählt wurde, bleiben noch Zahlen übrig plus die Zahl , da diese an zweiter Position stehen darf, daher haben wir wieder Möglichkeiten zur Auswahl. Für die zweite und dritte Ziffer stehen uns also 5 Zahlen zur Auswahl mit der Restriktion, dass sie sich nicht wiederholen dürfen. Daher erhalten wir Variationen von Objekten insgesamt, die in er-Gruppen ausgewählt werden.

1 Nicht alle Elemente sind Teil der Betrachtung. Nur zwei aus fünf Zahlen werden betrachtet.

2 Die Reihenfolge ist wichtig. Es ist nicht dasselbe, ob man oder wählt.

3 Die Elemente wiederholen sich nicht. Alle Ziffern müssen unterschiedlich sein.

Für die Berechnung der Variationen ist und .

Wir erhalten unsere Lösung also, indem wir die Variationen der ersten Ziffer mit denen der zweiten und dritten Ziffer multiplizieren

Wie beim vorherigen Beispiel ist diese Augabe etwas komplexer, da die erste Ziffer nicht Null sein kann. Daher gibt es Optionen für die erste Ziffer und zwar und . Wir erhalten Variationen von Elementen aus denen jeweils Element ausgewählt wird

Sobald die erste Ziffer entschieden wurde, steht uns jede beliebige der sechs Zahlen zur Verfügung, sowohl für die zweite, als auch für die dritte und alle fortfolgenden Positionen. Die Ziffern dürfen sich außerdem wiederholen, das heißt, wir erhalten Variationen mit Wiederholungen von Elementen, aus denen Elemente ausgewählt werden

1 Nicht alle Elemente sind Teil der Betrachtung. Nur zwei aus fünf Zahlen werden betrachtet.

2 Die Reihenfolge ist wichtig. Es ist nicht dasselbe, ob man oder wählt.

3 Die Elemente wiederholen sich.

Für diese Variationen mit Wiederholung gilt und .

Wir erhalten unsere Lösung also, indem wir die Variationen der ersten Ziffer mit den Variationen mit Wiederholung der zweiten und dritten Ziffer multiplizieren

Es soll eine fünfstellige Zahl aus drei Ziffern gebildet werden, wobei jede Ziffer eine der fünf möglichen Positionen einnehmen kann, d.h. wir gehen davon aus, dass sich die Elemente wiederholen dürfen (wenn sie sich nicht wiederholen dürften, könnten nur drei der fünf Stellen besetzt werden und es käme keine fünfstellige Zahl zustande). Folgende Bedingungen werden erfüllt

1 Alle Elemente werden in die Auswahl mit einbezogen

2 Die Reihenfolge ist wichtig. Es ist nicht dasselbe, oder aufzuschreiben.

3 Die Elemente wiederholen sich.

Wie erhalten also Variationen mit Wiederholung von Elementen, die Elemente verteilt werden, d.h. , . Die Menge der Zahlen, die man so bilden kann wird also wie folgt bestimmt:

Lasst uns zuerst das Wettspiel erklären: Auf jedem Wettschein ist eine Spalte mit Fußballspielen aufgelistet. Bei jedem Spiel gibt es mögliche Ergebnisse: die Mannschaft, die links steht, gewinnt, die Mannschaft, die rechts steht, gewinnt, oder es gibt ein Unentschieden.. Wir erhalten also Variationen mit Wiederholungen, bei denen , und ist. Außerdem gelten folgende Bedingungen:

1 Alle Elemente sind Teil der Betrachtung.

2  Die Reihenfolge ist wichtig. Es ist nicht dasselbe, ob die rechte oder die linke Mannschaft gewinnt.

3 Die Elemente wiederholen sich.

Die Zahl der Wettscheine, die man ausfüllen muss, um sich 15 Treffer zu sichern ist also:

Folgende Bedingungen werden erfüllt:

1 Alle Elemente sind Teil der Betrachtung.

2 Die Reihenfolge ist wichtig. Da die Mannschaft, die links steht, immer als "Gastgeber" und die Mannschaft, die rechts steht, als "Gast" verstanden wird, ist es nicht dasselbe, ob A gegen B oder B gegen A spielt.

3 Die Elemente wiederholen sich nicht. Ein Spiel von Mannschaft A gegen Mannschaft A kann es nicht geben.

Wir erhalten also Variationen mit und . Die Spiele, die insgesamt stattfinden können, sind also:

Folgende Bedingungen werden erfüllt:

1 Alle Elemente sind Teil der Betrachtung.

2 Die Reihenfolge ist wichtig. Es macht einen Unterschied, ob Peter Präsident und Jochen Vizepräsident ist oder umgekehrt.

3 Die Elemente wiederholen sich nicht. Eine Person kann nicht zwei Posten gleichzeitig besetzen.

Wir erhalten also Variationen, bei denen und ist. Die Zahl der verschiedenen Arten, wie die drei Positionen besetzt werden können, erhält man also wie folgt:

Folgende Bedingungen werden erfüllt:

1 Alle Elemente sind Teil der Betrachtung.

2 Die Reihenfolge ist wichtig. Es macht einen Unterschied, ob Maria gewinnt und Teresa zweite wird oder umgekehrt.

3 Die Elemente wiederholen sich nicht. Eine Person kann nicht zwei der Plätze besetzen.

Wir erhalten also Variationen bei denen und ist. Es gibt also folgende Möglichkeiten, die Plätze zu besetzen:

Da vier Tastenschläge getätigt werden sollen, müssen wir die Möglichkeiten für jeden einzelnen Tastenschlag einzeln betrachten und alle miteinander summieren.

Für den ersten Tastenschlag können wir entweder Punkt oder Strich als Ergebnis erhalten.

Für alle darauffolgenden Tastenschläge gilt Folgendes:

1 Alle Elemente sind Teil der Betrachtung.

2 Die Reihenfolge ist wichtig.

3 Die Elemente wiederholen sich. Punkte oder Striche können direkt hintereinander oder abwechselnd erfolgen

Bei zwei Tastenschlägen erhalten wir also folgende Anzahl an verschiedenen möglichen Zeichen:

Bei drei Tastenschlägen erhalten wir folgende Anzahl an möglichen Zeichen:

Bei vier Tastenschlägen erhalten wir folgende Anzahl an möglichen Zeichen:

Für maximal vier Tastenschläge ist die Gesamtzahl an möglichen gesendeten Zeichen also:

Eine Palindromzahl ist eine Zahl, die vorwärts und rückwärts gelesen genau gleich ist. Sie hat also folgende Form:

wobei und ihre Ziffern beschreiben. Bei dieser Aufgabe geht es also in Wirklichkeit darum, zu bestimmen, auf wieviele mögliche Arten Zahlen mit Ziffern anhand der Zahlen von bis (also 10 Zahlen) geformt werden können. muss dabei ungleich sein. und können jeden beliebigen Wert annehmen und sich auch wiederholen, das heißt darf gleich sein.

Wie gehen wir die Aufgabe nun an? Im Grunde ist der Rechenweg derselbe wie in Aufgabe . Schau dir zuerst den Fall von an. Für gibt es verschiedene Optionen, da nicht mitgezählt werden darf.

Für , und gibt es Möglichkeiten, d.h. wir erhalten Variationen mit Wiederholung, bei denen und ist. Es gilt:

1 Alle Elemente sind Teil der Betrachtung.

2 Die Reihenfolge ist wichtig.

3 Die Elemente wiederholen sich.

Die unterschiedlichen Möglichkeiten für , und wird also wie folgt ermittelt:

Um die Zahl der möglichen Palindrome aus Ziffern zu erhalten, multiplizieren wir einfach die Anzahl der Möglichkeiten für die erste Ziffer mit der Zahl der Möglichkeiten für die zweite, dritte und vierte Ziffer:

Um die Gleichung zu lösen, wenden wir die Formel für Variationen an

Die Lösungen sind also und . Da sein muss, muss größer als und als sein, daher ist die einzig mögliche Lösung .

Um die Gleichung zu lösen, wenden wir die Formel für Variationen an

Die Lösungen sind also und . Da sein muss, muss größer als und als sein, daher ist die einzig mögliche Lösung ( darf außerdem nicht negativ sein).

Um die Gleichung zu lösen, wenden wir die Formel für Variationen an

Die Lösungen sind und . Da sein muss, muss größer als sein, daher ist die einzige Lösung ( darf außerdem nicht gleich sein).

Um die Gleichung zu lösen, wenden wir die Formel für Variationen an

Die Lösungen sind und . Da sein muss, muss größer als sein, daher ist die einzige Lösung ( darf außerdem nicht gleich sein).

Wende die Formel für Variationen und Variationen mit Wiederholungen an:

In diesem Fall gibt es nur eine Lösung und zwar .