Kapitel
Wahrscheinlichkeitstheorie
In der Wahrscheinlichkeitstheorie geht es darum, jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine bestimmte Zahl zuzuordnen, um diese Ergebnisse zu quantifizieren und zu wissen, ob ein Ereignis wahrscheinlicher ist als ein anderes.
Ereignis
Es ist jedes der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
Beispiel:
- Beim Würfeln ist ein Ergebnis von 5 ein Ereignis
- Beim Werfen von 10 Münzen ist es ein Ereignis, wenn 7 Mal Kopf erscheint
Ergebnisraum
Es handelt sich um die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments, dargestellt durch 
(oder durch den griechischen Buchstaben 
).
Beispiele:
- Wenn das Ergebnis eines Experiments darin besteht, das Geschlecht eines Neugeborenen zu bestimmen, ist der Ergebnisraum gegeben durch
- Wenn bei dem Experiment 2 Münzen nacheinander geworfen werden, dann
Arten von Ereignissen
Elementarereignis
Ein Elementarereignis ist jedes der Elemente, die Teil des Ergebnisraums sind.
Beispiel:
- Beim Werfen von 3 Münzen, die nacheinander geworfen werden, ist ein Elementarereignis
Zusammengesetztes Ereignis
Ein zusammengesetztes Ereignis ist eine beliebige Teilmenge des Ergebnisraums.
Beispiel:
- Wenn beim Werfen von 3 Münzen die erste Münze Kopf zeigt, handelt es sich hierbei um ein zusammengesetztes Ereignis.
Sicheres Ereignis
Ein sicheres Ereignis wird durch alle möglichen Ergebnisse (also durch den Ergebnisraum) gebildet.
Beispiel:
- Dass ein Neugeborenes ein Junge oder ein Mädchen ist, ist ein sicheres Ereignis.
Unmögliches Ereignis
Ein unmögliches Ereignis 
ist dasjenige, das kein Element hat.
Beispiel:
- Beim Würfeln eine 7 erhalten.
Vereinbare Ereignisse
Zwei Ereignisse 
und 
, sind vereinbar, wenn sie ein Elementarereignis gemeinsam haben.
Beispiel:
- Aus dem Experiment des Werfens von 2 Münzen geht hervor, dass das Ereignis, bei dem die erste Münze Kopf ist, und das Ereignis, bei dem die zweite Münze Kopf ist, miteinander vereinbar sind, weil
ein gemeinsames Elementarereignis ist
Unvereinbare Ereignisse
Zwei Ereignisse und sind unvereinbar, wenn sie kein Element gemeinsam haben.
Beispiel:
- Beim Werfen eines Würfels sind das Ereignis, dass eine 5 und gleichzeitig eine 3 gewürfelt werden, unvereinbare Ereignisse.
Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse und sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eintritt, nicht davon beeinflusst wird, ob eingetreten ist oder nicht.
Beispiel:
- Beim Werfen von 2 Münzen wird das Ergebnis der zweiten Münze nicht durch das Ergebnis der ersten Münze beeinflusst.
Abhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse und sind abhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eintritt, davon abhängt, ob eingetreten ist oder nicht.
Beispiel:
- Bei dem Experiment, 2 Münzen zu werfen, kann ein Ereignis A sein, dass die Summe gleich 6 ist, und ein Ereignis B, dass der erste Würfel eine Zahl kleiner oder gleich 5 war. Wenn B nicht eintritt, d. h. wenn eine 6 gewürfelt wurde, ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, geringer, denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 6 beträgt, ist gleich 0. Wenn hingegen B eintritt, besteht die Chance, dass die Summe 6 beträgt.
Gegenereignis
Das Gegenereignis zu ist ein Ereignis, dass eintritt, wenn nicht ausgeführt wird. Es wird als 
notiert.
Beispiel:
- Wenn das Ereignis ist, bei dem man beim Würfeln eine 2 oder 3 erhält, ist das Ereignis, bei dem man eine andere Zahl als diese erhält,
Rechnen mit Ereignissen
Vereinigung von Ereignissen
Die Vereinigung von Ereignissen 
ist das Ereignis, das aus allen Elementen von und besteht.
Schnittmenge von Ereignissen
Die Schnittmenge von Ereignissen 
ist das Ereignis, das aus allen Elementen besteht, die sowohl zu als auch zu gehören.
Differenz von Ereignissen
Die Differenz von Ereignissen 
ist das Ereignis, das aus allen Elementen von besteht, die nicht zu gehören.
Gegenereignisse
Das Ereignis 
wird Gegenereignis oder komplementäres Ereignis von genannt.
Axiome der Wahrscheinlichkeit
1 
für irgendein Ereignis
2 
, wobei den Ergebnisraum angibt
3 Wenn und nicht vereinbar sind, ist 
Wahrscheinlichkeitsgesetze
1 
2 
3 
4 Wenn 
, ist 
5 Si 
son incompatibles dos a dos entonces:
6 Wenn der Ergebnisraum endlich ist und ein Ereignis 
ist, gilt:
Laplace-Regel
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von unvereinbaren Ereignissen
Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von vereinbaren Ereignissen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von unabhängigen Ereignissen
Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von abhängigen Ereignissen
Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
Wenn 
unvereinbare Ereignisse sind, deren Vereinigung der Ergebnisraum 
ist und ein weiteres Ereignis ist, resultiert daraus:
Satz von Bayes
Wenn unvereinbare Ereignisse sind, deren Vereinigung der Ergebnisraum ist und ein weiteres Ereignis ist, resultiert daraus:
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