Die bedingte Wahrscheinlichkeit

1

Wir können dieses Problem so behandeln, als ob wir zwei Entnahmen ohne Austausch durchführen würden.

Wir bezeichnen    das Ereignis, bei der  -ten Ziehung ein Herz zu erhalten, mit    In diesem Sinne und gemäß der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

Um zu berechen, teilen wir ganz einfach die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Ergebnisse. In disem Fall gibt es 12 mögliche Karten mit Herz. Das heißt, die Anzahl der günstigen Fälle ist 12. Insgesamt gibt es 48 Karten, die die Gesamtzahl der Ergebnisse darstellen. Somit

Andererseits

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist also, da bereits ein Herz gezogen wurde und nun noch insgesamt 47 Karten bleiben.

Schließlich

2

Wir bezeichnen mit das Ereignis, ein Herz beim Ziehen zu erhalten und mit das Ereignis, kein Herz beim Ziehen zu erhalten. Die Bedingung, mindestens ein Herz zu erhalten, ist in einem der folgenden Fälle erfüllt

bei beiden Ziehungen erhält man Herz,
beim ersten Ziehen erhält man Herz und beim zweiten Ziehen erhält man kein Herz und
beim ersten Ziehen erhält man kein Herz, beim zweiten Ziehen erhält man Herz.
Die geforderte Wahrscheinlichkeit ist dann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der drei vorangegangenen Ereignisse, was der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten entspricht, da es sich um unverbundene Ereignisse handelt. Mathematisch ausgedrück heißt das


Aus der vorherigen Angabe wissen wir, dass
Um die verbleibenden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, nutzen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit. Wir erhalten

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse des Ereignisses   ist 12 und des Ereignisses    ist 36 und somit die Anzahl der Karten, die nicht Herz sind. Da es sich in beiden Fällen um die erste Ziehung handelt, bleibt die Gesamtzahl der Ergebnisse bei 48. Somit

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse des Ereignisses ist 36, da dies die Anzahl der Karten ist, die nicht Herz sind. Für lautet die Anzahl 12, da noch kein Herz gezogen wurde. Die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt also 47, wenn man davon ausgeht, dass wir bereits eine Karte gezogen haben. Somit

Also

Und somit

3

Wir bezeichnen mit   das Ereignis, ein Herz bei der Ziehung    zu erhalten und mit   das Ereignis, kein Pik bei der Ziehung   zu erhalten. Die Bedingung des Ziehens einer Herzkarte und einer Pikkarte ist in jedem der folgenden Fälle erfüllt

bei der ersten Ziehung wird ein Herz und bei der zweiten Ziehung ein Pik gezogen und
bei der ersten Ziehung wird ein Pik und bei der zweiten Ziehung ein Herz gezogen.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der drei vorangegangenen Ereignisse, was der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten entspricht, da es sich um nicht miteinander verbundene Ereignisse handelt. Mathematisch ausgedrückt heißt das

Und umgekehrt


Da von jeder Farbe 12 Karten im Deck sind und das Deck insgesamt 48 Karten enthält, folgt aus der Formel für die Anzahl der günstigen Ergebnisse im Verhältnis zu den gesamten Ergebnissen, dass

Andererseits haben wir im Fall des Ereignisses 12 günstige Ergebnisse und insgesamt 47 Karten (da bereits gezogen wurde) oder Ergebnisse. Wir beachten, dass dies die gleichen Werte für sind und somit

Daraus ergibt sich


Und schließlich,

Wir bezeichnen mit   das Ereignis, dass der Student in der Prüfung ein von ihm vorbereitetes Thema wählen kann. Somit

ist hierbei das Gegenereignis zu . Das heißt, der Student kann eines der von ihm vorbereiteten Themen nicht wählen.

Um   zu berechnen, bedenken wir, dass es 10 Themen gibt, die der Student nicht vorbereitet hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass er als Erstes eines dieser Themen wählt, liegt bei     Hier gilt die einfache Regel

Ebenso liegt die Wahrscheinlichkeit, als zweites Thema ein Thema zu wählen, das der Student nicht vorbereitet hat, bei , da wir in diesem Fall bereits ein Thema gewählt haben, das nicht vorbereitet wurde, und uns somit    mögliche günstige Ergebnisse und   Ergebnisse insgesamt bleiben.
Das Ergebnis von  ist die Multiplikation der beiden ermittelten Wahrscheinlichkeiten. Wir gehen nämlich davon aus, dass dies gleichbedeutend mit einer Entnahme ohne Austausch von zwei Themen, die nicht vorbereitet wurden, ist. Also

Somit

 

1

  ist das Ereignis "die zufällig ausgewählte Person ist ein Junge und hat nicht das Wahlfach Französisch".   ist das Ereignis "die zufällig ausgewählte Person belegt das Wahlfach Französisch". Wenn also    das Ereignis "die zufällig ausgewählte Person ist ein Junge oder lernt Französisch" ist, ist dies die Wahrscheinlichkeit, die wir berechnen möchten und

Die letzte Bedingung ist wahr, da die Ereignisse  und   nicht miteinander verbunden sind.
Um zu berechen, wenden wir die Regel an

Beim dem Ereignis ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse  , denn dies ist die Anzahl der Personen, die Jungen sind und nicht Französisch lernen. Für      ist die Anzahl der Personen, die Französisch lernen gleich      und somit die Anzahl der günstigen Ergebnisse. Bei beiden Ereignissen beträgt die Gesamtzahl der Ergebnisse 20, was der Gesamtzahl der Schüler entspricht.
Daraus schließen wir




2Im Zusammenhang mit dem vorangegangenen Abschnitt genügt die Feststellung, dass das Ereignis "zufällige Auswahl eines Mädchens, das nicht Französisch lernt" äquivalent zu ist. Das heißt, es ist das Gegenereignis von .
Für ein beliebiges Ereignis und sein Gegenereignis gilt


Wenn wir dann den Wert, den wir im vorherigen Abschnitt ermittelt haben, für  einsetzen, gilt

1

  der Schüler*innen spielen Fußball oder Basketball und von diesem Prozentsatz gehen beiden Sportarten nach. Dies bedeutet, dass  der Schüler*innen nur eine von beiden Sportarten betreiben. Die Wahrscheinlichkeit, eine*n Schüler*in zu wählen, die/der nur einer der Sportarten nachgehen, liegt bei 0,5.
Andererseits spielen    der Schüler*innen oder mit einer Wahrscheinlichkeit von nicht Fußball. Dies bedeutet, dass von den , die nur einer der Sportarten nachgehen,    nur Basketball spielen. Die   von erhalten wir, indem wir das Produkt bilden
Wenn also das Ereignis "nur Fußball" und "nur Basektball" und "nur eine der Sportarten" ist, gilt

2

Wir stellen fest, dass    der Schüler*innen Fußball oder Basketball spielen und von diesem Prozentsatz  beiden Sportarten nachgehen. Das heißt, dass  der Schüler*innen nur einer der Sportarten nachgehen und die Wahrscheinlichkeit, eine*n Schüler*in zu wählen, der/die nur einer der Sportarten nachgeht, bei 0,5 liegt.
Andererseits spielen   oder mit einer Wahrscheinlichkeit von nicht Fußball. Das bedeutet, dass von den  , die nur einer Sportart nachgehen,    nur Basketball spielen. Die    der erhalten wir, indem wir das Produkt  bilden.
Wenn also das Ereignis "nur Basketball" ist, dann ist

3

Andererseits spielen    der Schüler*innen Fußball oder Basketball und von diesem Prozentsatz gehen beiden Sportarten nach. Das heißt, dass der Schüler*innen nur einer der Sportarten nachgehen und die Wahrscheinlichkeit, eine*n Schüler*in zu wählen, der/die nur eine der Sportarten treibt, bei 0,5 liegt.

4

  ist das Ereignis "Fußball" und  das Ereignis "Basketball". "Fußball oder Basketball" ist also äquivalent zum Ereignis   Somit ist die Wahrscheinlichkeit, jemanden zu wählen, der nicht Fußball spielt, gleich der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von . Diese Wahrscheinlichkeit ist uns bekannt, da
Also

1

2

Um den Prozentsatz der Autos, die am Nachmittag kommen, zu berechnen, müssen wir nur den Quotienten ermitteln

In diesem Fall entspricht die Anzahl der günstigen Ergebnisse der Anzahl der Fahrzeuge, die am Nachmittag in die Werkstatt kommt, d. h. 6. Die Gesamtzahl der Ergebnisse, ist die Gesamtzahl der Autos, also 20.
Deswegen gilt

Um diese Zahl in Prozent auszudrücken, multiplizieren wir sie einfach mit 100. Der Anteil der Autos, die am Nachmittag kommen, beträgt also

3

Um den Prozentsatz der am Nachmittag anwesenden Autos zu berechnen, müssen wir einfach den Quotienten bilden

In diesem Fall ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse die Gesamtzahl der Fahrzeuge, die wegen mechanischer Probleme in die Werkstatt kommen, d. h. 11; die Gesamtzahl der Ergebnisse ist die Gesamtzahl der Fahrzeuge, die in die Werkstatt kommen, d. h. 20.
Deshalb gilt

Um diese Zahl als Prozentsatz auszudrücken, wird sie einfach mit 100 multipliziert. Der Anteil der Fahrzeuge, die am Nachmittag in die Werkstatt kommen, liegt also bei

4

Um den Prozentsatz der Fahrzeuge zu berechnen, die wegen elektronischer Probleme in die Werkstatt kommen, müssen wir einfach den Quotienten bilden

In diesem Fall ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse die Gesamtzahl der Fahrzeuge, die während der Frühschicht wegen elektronischer Probleme in die Werkstatt kommen, d.h. 3, während die Gesamtzahl der Ergebnisse die Gesamtzahl der Fahrzeuge ist, die wegen elektronischer Probleme vorgeführt werden, d.h. 5.
Deshalb gilt

1

Mit    bezeichnen wir jeweils die Ereignisse "braune Augen" und "braune Haare". Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird also wie folgt ausgedrückt

Und nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, d. h.

Wir stellen fest, dass   äquivalent zu "braune Augen und braune Haare" ist. Daraus erschließt sich für uns die Wahrscheinlichkeit, dass    diese Bedingung erfüllen. Das heißt . Mit einer ähnlichen Argumentation ergibt sich, dass   und somit

2

Gemäß der Aufgabenstellung haben  braune Augen und    haben braune Haare und braune Augen. Daraus ergibt sich, dass die verbleibenden   braune Augen, aber keine braunen Haare haben.
  sind jeweils die Ereignisse "keine braunen Haare" und "braune Augen". Aus dem voherigen Abschnitt ergibt sich also, dass das Ereignis    (äquivalent zu "braune Augen und keine braunen Haare") eine Wahrscheinlichkeit von    hat. Da wir außerdem wissen, dass  braune Augen haben, gilt 
Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich also

3

Gemäß der Aufgabenstellung haben    braune Augen und    haben braune Augen und braune Haare. Daraus ergibt sich, dass die verbleibenden    zwar braune Augen, aber keine braunen Haare haben.
Andererseits wissen wir, dass   der Bevölkerung braune Haare haben, woraus wir schließen können, dass die verbleibenden keine braunen Haare haben. Darüber hinaus haben wir festgestellt, dass keine braunen Haare, aber braune Augen haben. Wenn wir dies vom Gesamtanteil der Bevölkerung ohne braune Haare abziehen, ergibt sich, dass der Bevölkerung weder braune Haare noch braune Augen haben. Die Wahrscheinlichkeit, eine Person ohne braunes Haar und ohne braune Augen auszuwählen, beträgt also

1

Wir haben 100 Schüler*innen, von denen 40 männlich sind. Also sind 40 weiblich. Außerdem tragen 30 Schüler*innen eine Brille und 15 von ihnen sind männlich. Das bedeutet, dass die anderen 15 Schüler mit Brille weiblich sind. Dann haben wir 25 Jungen ohne Brille und 45 Mädchen ohne Brille.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um ein Mädchen, das keine Brille trägt, handelt, können wir mit der folgenden Regel ermitteln

In diesem Fall ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse die Zahl der Mädchen, die keine Brille tragen, d. h. 45, während die Gesamtzahl der Ergebnisse die Gesamtzahl der Schüler ist. Somit

2

sind jeweils die Ereignisse "männlich" und "keine Brille". Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gegeben durch
Wir erhalten  . Somit haben 70 der 100 Schüler*innen keine Brille. Das heißt,

Andererseits ist    äquivalent zum Ereignis "männlich, keine Brille" und laut der vorherigen Aufgabe gibt es 25 Schüler*innen, die sich in dieser Kategorie befinden. Somit
In Anlehnung an die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhalten wir

1

Wir beginnen damit, indem wir uns notieren, dass es 65 Frauen gibt und 55 Männer, insgesamt also 120 Personen. Wenn wir diese Überlegung weiterführen, wissen wir, dass es 80 Verheiratete gibt, von denen 45 Frauen sind, sodass 35 verheiratete Männer und 20 alleinstehende Männer übrig bleiben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die zu verlosende Reise an einen alleinstehenden Mann geht, liegt also bei

Hierbei haben wir ganz einfach die Regel angewendet

Die alleinstehenden Männer sind also die günstigen Ergebnisse und die Gesamtzahl der Ergebnisse ist die Gesamtzahl der Personen, die an dem Gewinnspiel teilnehmen.

2In der vorangegangenen Aufgabe haben wir die Anzahl der verheirateten Frauen berechnet, die sich auf 45 beläuft. Da es 80 Verheiratete gibt, lautet die Wahrscheinlichkeit, dass die Reise an eine Frau geht, wenn man weiß, dass der Gewinner verheiratet ist, wie folgt

In diesem Fall ist die Gesamtzahl der Ergebnisse die Anzahl der verheirateten Personen, da wir wissen, dass der Gewinner der Reise verheiratet ist. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist hierbei die Anzahl der verheirateten Frauen.

1

Wir können dieses Problem so behandeln, als ob wir zwei Entnahmen ohne Austausch durchführen würden.
  ist das Ereignis, bei der -ten Entnahme einen Jungen zu wählen mit    In diesem Sinne und gemäß der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

Um zu berechnen, teilen wir ganz einfach die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Ergebnisse. In diesem Fall gibt es 10 mögliche Kinder zur Auswahl, d.h. 10 ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse und insgesamt 16 Kinder, was der Gesamtzahl der Ergebnisse entspricht. Somit

Andererseits

,

da die Zahl der günstigen Ergebnisse 9 beträgt, da bereits ein Kind ausgewählt wurde und die Gesamtzahl der auszuwählenden Kinder nun 15 beträgt.

Schließlich

Wendet man dieses Argument wiederholend auf die Wahl des dritten Kindes an, so ergibt sich, dass

2

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir zunächst die verschiedenen Fälle ermitteln, in denen wir zwei Jungen und ein Mädchen auswählen könnten. Im ersten Fall wählt man 2 Jungen und am Ende ein Mädchen, im zweiten Fall ein Mädchen und am Ende zwei Jungen, und schließlich einen Jungen, ein Mädchen und einen Jungen. Die Wahrscheinlichkeit eines jeden Ergebnisses kann durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeit bei jedem Schritt der anfangs dargestellten Abbildung berechnet werden.
Wenn wir zum Beispiel den ersten Fall Ereignis bezeichnen, gilt

  sind die verbleibenden Ereignisse


Die Wahrscheinlichkeit, nach der wir suchen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeines dieser Ereignisse eintritt, d. h.   Da diese nicht miteinander verbunden sind, folgt, dass

Deshalb

3

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mindestens einen Jungen auszuwählen, gehen wir wie folgt vor

Wir können die Wahrscheinlichkeit, drei Mädchen zu wählen, auf völlig analoge Weise berechnen wie im ersten Abschnitt dieser Aufgabe. Somit

Dann


4

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir zunächst die verschiedenen Fälle ermitteln, in denen wir zwei Mädchen und einen Jungen auswählen könnten. Im ersten Fall wählt man 2 Mädchen und am Ende einen Jungen, im zweiten Fall einen Jungen und am Ende zwei Mädchen, und schließlich ein Mädchen, einen Jungen und ein Mädchen. Die Wahrscheinlichkeit eines jeden Falles kann durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeit bei jedem Schritt der anfangs dargestellten Abbildung berechnet werden.
Wenn wir zum Beispiel den ersten Fall Ereignis bezeichnen, gilt

  sind schließlich die verbleibenden Ereignisse


Die Wahrscheinlichkeit, nach der wir suchen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeines dieser Ereignisse eintritt, d. h. da diese nicht miteinander verbunden sind. Daraus folgt, dass

Deshalb

1

Wenn das Ereignis "die zweite Kugel ist grün" ist, gibt es für dieses Ereignis zwei Möglichkeiten. Nämlich dass die erste Kugel rot ist oder die erste Kugel grün ist. Dies stellen wir als    dar. Hierbei ist es wichtig, zu beachten, dass sich diese Fälle gegenseitig ausschließen, d.h. sie können nicht beide gleichzeitig auftreten. Deshalb

In Anlehnung an die Definition der Wahrscheinlichkeit einer Überschneidung ergibt sich, dass


Gemäß dem zu Beginn der Lösung dargestellten Diagramm ergibt sich


Damit erhalten wir

2

Wenn   das Ereignis "die i-te Kugle ist grün" und   das Ereignis "die i-te Kugel ist rot" ist, müssen wir   ermitteln.
In Anlehnung an die Definition der Wahrscheinlichkeit einer Überschneidung ergibt sich, dass


Gemäß dem zu Beginn der Lösung dargestellten Diagramm gilt


Damit erhalten wir

1

Von der Gesamtbevölkerung wissen wir, dass   dem Anteil der Frauen und   dem Anteil der Männer entspricht. Damit ist die Bedingung "viermal so viele Frauen wie Männer" erfüllt.
Wenn also 25 von 100 Männern eine Brille tragen, ist   die Wahrscheinlichkeit, einem Mann mit Brille zu begegnen, woraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit für Männer ist, die keine Brille tragen. Nach der gleichen Überlegung ist   die Wahrscheinlichkeit, einer Frau mit Brille zu begegnen, während    die Wahrscheinlichkeit ist, einer Frau ohne Brille zu begegnen. In beiden Fällen haben wir nur das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse berechnet.
Wenn jeweils die Ereignisse "keine Brille", "männlich" und "weiblich" sind, ermitteln wir Da männlich und weiblich sich gegenseitig ausschließen, folgt daraus, dass

Nach den Regeln der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich

Wir wissen, dass
Diese Werte setzen wir in den vorhergehenden Ausdruck ein und erhalten

2

Von der Gesamtbevölkerung wissen wir, dass   dem Anteil der Frauen und   dem Anteil der Männder entspricht. Damit ist die Bedingung "viermal so viele Frauen wie Männer" erfüllt.
Wir stellen fest, dass    die Wahrscheinlichkeit ist, einer Frau mit Brille zu begegnen, während    die Wahrscheinlichkeit ist, einer Frau ohne Brille zu begegnen. In beiden Fällen haben wir nur das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse berechnet.
Wenn jeweils die Ereignisse "mit Brille" und "weiblich" sind, ermittlen wir
Nach den Regeln der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt

Wir wissen, dass    Wir setzen diese Werte in den vorhergehenden Ausdruck ein und erhalten

  sind jeweils die Ereignisse "lernt Englisch", "lernt Französisch" und "weiblich". Da jedoch alle Schüler der Schule Englisch oder Französisch lernen, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit anhand der folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden

Für beide Wahrscheinlichkeiten gilt


Auf diese Weise können wir die bereitgestellten Informationen nutzen, denn




Setzt man alle diese Werte ein, ergibt sich die folgende Berechnung

ist das Ereignis "die i-te Münze wählen", wobei    die normale Münze ist,   die Münze mit Kopf auf beiden Seiten und    die letze Münze ist. Wenn wir in diesem Zusammenhang   als das Ereignis "wirf die Münze und erhalte Kopf" bezeichnen, können wir   berechnen, indem wir die Schnittmenge der Ereignisse bilden, da diese sich gegenseitig ausschließen. Das heißt,

Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit sind die folgenden Gleichungen gültig.



Da die Münze zufällig gewählt wird, ist   mit   Schließlich

Die erste Münze ist normal, d. h. sie hat Kopf und Zahl und kann jeden Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.

Die Münze hat auf beiden Seiten Kopf und es spielt somit keine Rolle, wie sie fällt. Das Ergebnis ist immer Kopf.

Die letzte Münze ist so gezinkt, dass die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen, groß ist.
Somit