Berechne die geforderten Wahrscheinlichkeiten anhand der folgenden Informationen:
und 
sind zwei Zufallsereignisse mit
Bestimme:
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
1
Die Ereignisse sind kompatibel, da die Schnittmenge nicht die leere Menge ist. Das heißt, 
, da die Wahrscheinlichkeit nicht null ist. Somit
2
Die Wahrscheinlichkeit von 
ist 
(totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
3
Die Wahrscheinlichkeit von 
ist (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
4
Wir wenden die de-morganschen Gesetze an und erhalten
Die Wahrscheinlichkeit von 
ist außerdem (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 
. Somit
5
Wir stellen fest: 
. Wir wenden das Gesetz an und erhalten
6
Wir wenden die de-morganschen Gesetze an und erhalten
Die Wahrscheinlichkeit von 
ist (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 
. Somit
7
Wir stellen fest, dass 
. Wir erhalten
Berechne, was bei den folgenden Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten verlangt wird.
Bestimme:
1 
2 
3
4
1
Die Wahrscheinlichkeit von 
ist (totale Wahrscheinlichkeit) minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
2
Wir denken daran, dass 
ist. Wenn wir also bestimmen, erhalten wir
3
Wir stellen fest, dass . Wir wenden das Gesetz an und erhalten
4
Wir stellen fest, dass . Wir wenden das Gesetz an und erhalten
Beschreibe den Ergebnisraum des folgenden Experiments.
Zwei Kugeln werden aus einer Urne gezogen, in der sich eine weiße, eine rote, eine grüne und eine schwarze Kugel befinden. Beschreibe den Ergebnisraum, wenn:
1 Die erste Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die zweite Kugel gezogen wird.
2 Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt.
1
Die erste Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die zweite Kugel gezogen wird.
2
Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das folgende Experiment:
In einer Urne befinden sich 8 rote Kugeln, 5 gelbe Kugeln und 5 grüne Kugeln. Eine Kugel wird nach dem Zufallsprinzip gezogen. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten, wenn eine Kugel nach dem Zufallsprinzip gezogen wird:
1 Die Kugel ist rot.
2 Die Kugel ist grün.
3 Die Kugel ist gelb.
4 Die Kugel ist nicht rot.
5 Die Kugel ist nicht gelb.
1
Die Kugel ist rot.
Günstige Fälle: 
.
Mögliche Ergebnisse: 
.
Die Wahrscheinlichkeit ist somit
2
Die Kugel ist grün.
Günstige Ergebnisse: 
.
Mögliche Ergebnisse: .
Die Wahrscheinlichkeit ist somit
3
Die Kugel ist gelb.
Günstige Ergebnisse: 
.
Mögliche Ergebnisse: .
Die Wahrscheinlichkeit ist somit
4
Die Kugel ist nicht rot.
Günstige Ergebnisse: 
.
Mögliche Ergebnisse: .
Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei
5
Die Kugel ist nicht gelb.
Günstige Ergebnisse: 
.
Mögliche Ergebnisse: .
Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das folgende Experiment:
In einer Urne sind 3 rote Kugeln und 7 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden nach dem Zufallsprinzip gezogen. Beschreibe den Ergebnisraum und bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse:
1 Mit Austausch (die erste Kugel wird gezogen und vor Ziehung der zweiten Kugel wieder in die Urne gelegt).
2 Ohne Austausch (die erste Kugel wird gezogen und nicht mehr zurückgelegt).
1
Mit Austausch der Kugeln (die erste Kugel wird gezogen und vor Ziehung der zweiten Kugel wieder in die Urne gelegt).
Der Ergebnisraum ist gegeben durch
Die Entnahme von zwei Kugeln mit Austausch sind unabhängige Ereignisse, da die Entnahme der ersten Kugel keine Auswirkung auf die zweite Kugel hat, also
2
Ohne Austausch der Kugeln (die erste Kugel wird gezogen und nicht mehr zurückgelegt).
Der Ergebnisraum ist gegeben durch
Die Entnahme von zwei Kugeln mit Austausch sind abhängige Ereignisse, das sich die Entnahme der ersten Kugel auf die Entnahme der zweiten Kugel auswirkt, also
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das folgende Experiment:
Aus einer Urne, in der sich 4 rote Kugeln, 5 weiße Kugeln und 6 schwarze Kugeln befinden, wird eine Kugel gezogen.
1 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel rot oder weiß ist?
2 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nicht weiß ist?
1
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel rot oder weiß ist?
Die Ziehung von zwei verschiedenfarbigen Kugeln sind inkompatible Ereignisse. Das heißt, ihre Schnittmenge ist die leere Menge. Deshalb
2
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nicht weiß ist?
Wir denken daran, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses minus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist. Somit
In einer Klasse sind 
Schüler*innen. 
Schülerinnen haben blonde Haare, 
haben dunkle Haare, Schüler sind blond und Schüler sind dunkelhaarig. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle:
1 Es handelt sich um einen Schüler.
2 Es handelt sich um eine Schülerin mit dunklen Haaren.
3 Es handelt sich um einen Schüler oder um eine Schülerin.
1
Es handelt sich um einen Schüler.
Günstige Ergebnisse: 
.
Mögliche Ergebnisse: 
.
2
Es handelt sich um eine Schülerin mit dunklen Haaren.
Günstige Ergebnisse: .
Mögliche Ergebnisse: .
3
Es handelt sich um einen Schüler oder um eine Schülerin.
Günstige Ergebnisse: .
Mögliche Ergebnisse: .
Ein Würfel wird so manipuliert, dass die Wahrscheinlichkeiten, die verschiedenen Seiten zu erhalten, proportional zu den Zahlen auf den Seiten sind.
Bestimme:
1 Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine 6 zu erhalten.
2 Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine ungerade Zahl zu erhalten.
1
Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine 6 zu erhalten.
Wir nennen die Wahrscheinlichkeit 
, da sie proportional zu den Zahlen auf den Seiten des Würfels ist: 
. Für die Summe gilt außerdem, dass
Wir bestimmen und erhalten
Somit ist 
2
Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine ungerade Zahl zu erhalten.
Die ungeraden Zahlen wären 
und . Die Wahrscheinlichkeit ist also gegeben durch
Zwei Würfel werden geworfen und die Summe der erzielten Punkte wird notiert. Bestimme:
1 Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis ist.
2 Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu erhalten.
3 Die Wahrscheinlichkeit, dass die erhaltene Zahl ein Vielfaches von 3 ist.
1
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis ist.
Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die 
folgenden
Mögliche Ergebnisse: Um die möglichen Ergebnisse zu bestimmen, müssen wir die Variationen bei Wiederholung von Elementen aus 
in berechen:
.
Unsere Wahrscheinlichkeit, dass die Würfel ergeben, liegt bei
.
2
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis eine gerade Zahl ist
Mögliche Ergebnisse: Aus den vorherigen Angaben wissen wir, dass die möglichen Ergebnisse 
sind.
Günstige Ergebnisse: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse, bei denen die Summe gerade ist, ist die Hälfte der möglichen Ergebnisse, da die Summe von zwei geraden Zahlen gerade ist und die Summe von zwei ungeraden Zahlen gerade ist, also sind die günstigen Ergebnisse 
.
In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe gerade ist, gleich
.
3
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erhaltene Zahl ein Vielfaches von drei ist.
Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die 
folgenden
Mögliche Ergebnisse: Aus den vorherigen Angaben wissen wir, dass die möglichen Ergebnisse sind.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Würfel ein Vielfaches von 
ergibt, ist also
.
Es werden 3 Würfel geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für:
1 Alle zeigen eine .
2 Die erzielten Punkte ergeben .
1
Alle Würfel zeigen eine .
Günstige Ergebnisse: Wir haben nur ein günstiges Ergebnis.
Mögliche Ergebnisse: Um die möglichen Ergebnisse zu ermitteln, müssen wir die Variationen bei Wiederholung von Elementen aus in berechnen:
.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Würfel eine zeigen, liegt bei
.
2
Die erzielten Punkte ergeben .
Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die 
folgenden
Mögliche Ergebnisse: Aus der vorherigen Angabe wissen wir, dass die möglichen Ergebnisse 
sind.
Somit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die erzielten Punkte ergeben, bei
.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass beim Aufsammeln von Dominosteinen eine Anzahl an Punkten erhalten wird, die größer als 
oder ein Vielfaches von 
ist.
Das Domino-Ereignis, bei dem eine Anzahl von Dominosteinen mit einer Punktzahl größer als erreicht wird, ist gegeben durch
Das Domino-Ereignis, bei dem eine Anzahl von Dominosteinen mit einer Punktzahl, die ein Vielfaches von ist, erreicht wird, ist gegeben durch
Unser letztes zu berücksichtigendes Ereignis ist also . Außerdem gibt es bei einem Dominospiel 
Spielsteine. Die Wahrscheinlichkeit ist also gegeben durch
Ermittle die Wahrscheinlichkeit für folgende Ergebnisse beim Werfen eines Würfels:
1 Eine gerade Zahl.
2 Ein Vielfaches von 3.
3 Größer als 4.
1
Eine gerade Zahl.
Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die folgenden
Mögliche Ergebnisse: Da ein Würfel Seiten hat, haben wir mögliche Ergebnisse.
Wie Wahrscheinlichkeit ist somit
.
2
Ein Vielfaches von 3.
Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die folgenden
Mögliche Ergebnisse: Da ein Würfel Seiten hat, haben wir mögliche Ergebnisse.
Die Wahrscheinlichkeit lautet somit
.
3
Größer als 4.
Günstige Ergebnisse: Die günstigen Ergebnisse sind die folgenden
Mögliche Ergebnisse: Da ein Würfel hat, haben wir mögliche Ergebnisse.
Die Wahrscheinlichkeit liegt somit bei
.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse beim Werfen von 2 Münzen:
1 Zweimal Kopf.
2 Zweimal Zahl.
3 Einmal Kopf und einmal Zahl.
1
Zweimal Kopf.
Es handelt sich um unabhängige Ereignisse. Da die Wahrscheinlichkeit, dass jede Münze Kopf ist, 
beträgt, ergibt sich Folgendes
2
Zweimal Zahl.
Wie im vorangegangenen Abschnitt handelt es sich um unabhängige Ereignisse. Da die Wahrscheinlichkeit, dass jede Münze Zahl ist, beträgt, ergibt sich Folgendes
3
Einmal Kopf und einmal Zahl.
Die Wahrscheinlichkeit, dass wir einmal Kopf und einmal Zahl erhalten, ist die Wahrscheinlichkeit, 
zu erhalten. Außerdem handelt es sich wie in den vorangegangenen Abschnitten um unabhängige Ereignisse. Da die Wahrscheinlichkeit, dass jede Münze Kopf oder Zahl zeigt, ist, ergibt sich Folgendes
In einem Umschlag befinden sich Zettel. Auf davon wurde ein Auto gezeichnet, die restlichen sind weiß. Bestimmte die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Zettel mit dem Bild eines Autos darauf gezogen wird:
1 Wenn 1 Zettel gezogen wird.
2 Wenn 2 Zettel gezogen werden.
3 Wenn 3 Zettel gezogen werden.
1
Wenn 1 Zettel gezogen wird.
Wir haben günstige Ergebnisse und mögliche Ergebnisse, deshalb
.
2
Es werden 2 Zettel gezogen.
Die Warscheinlichkeit, dass bei der Ziehung von Zetteln mindestens einer ein Auto zeigt, ist minus die Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen von Zetteln beide weiß sind. Somit
3
Es werden 3 Zettel gezogen.
Die Warscheinlichkeit, dass bei der Ziehung von Zetteln mindestens einer ein Auto zeigt, ist minus die Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen von Zetteln alle weiß sind. Somit
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Studenten und eine Prüfung nicht bestehen, liegt bei jeweils 
und 
. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide die Prüfung nicht bestehen, liegt bei 
. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Studenten die Prüfung nicht besteht.
Wir stellen fest, dass es sich um kompatible Ereignisse handelt, da 
. Somit
Zwei Brüder gehen auf die Jagd. Der Erste tötet im Schnitt Tiere pro Schüsse. Der Zweite tötet Tier pro Schüsse. Wenn beide auf dasselbe Tier schießen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie es töten?
Als Erstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass beide einen Treffer landen. Somit
Wir stellen fest, dass die Ereignisse kompatibel sind:
Ein Kurs besteht aus Männern und Frauen. Die Hälfte der Männer und die Hälfte der Frauen hat braune Augen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person männlich ist oder braune Augen hat.
Anhand der Tabelle sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit wie folgt lautet
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann Jahre lebt, liegt bei 
und die Wahrscheinlichkeit, dass seine Frau Jahre lebt, liegt bei 
. Berechne die Wahrscheinlichkeit:
1 Beide leben Jahre.
2 Der Mann lebt Jahre, die Frau nicht.
3 Beide sterben, bevor die Jahre vorbei sind.
1
Beide leben Jahre.
Wir stellen zunächst fest, dass es sich hierbei um unabhängige Ereignisse handelt. Somit
2
Der Mann lebt Jahre, die Frau nicht.
3
Beide sterben, bevor die Jahre vorbei sind.
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