Das Gaußsche Eliminiationsverfahren oder Gauß-Verfahren ist eine Technik in der linearen Algebra, mit der lineare Gleichungssysteme gelöst und die Stufenform oder reduzierte Zeilenstufenform einer Matrix ermittelt werden kann, was die Berechnungen vereinfacht.
In dieser Reihe von Übungen werden wir verschiedene Probleme mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren untersuchen und dir die Möglichkeit geben, deine Fähigkeiten in dieser wichtigen mathematischen Methode zu entwickeln. Los geht's!
System mit 3 Gleichungen und 2 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
System mit 3 Gleichungen und 2 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
System mit 2 Gleichungen und 3 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist unlösbar
Wir parametrisieren die Lösung mit 
. Somit lautet die 2. Gleichung:
Das heißt 
.
Die 1. Gleichung lautet 
. Wenn wir 
bestimmen, erhalten wir:
Das heißt 
.
System mit 2 Gleichungen und 3 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist unlösbar
Wir parametrisieren die Lösung mit 
. Somit lautet die 2. Gleichung:
Das heißt 
.
Die 1. Gleichung lautet 
. Wenn wir 
bestimmten, erhalten wir:
Das heißt 
.
System mit 3 Gleichungen und 3 Variablen mit ähnlichen Koeffizienten
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
System mit 2 Gleichungen und 3 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
System mit 3 Gleichungen und 3 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das System ist eindeutig lösbar
System mit 3 Gleichungen und 3 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
Überprüfe, ob folgendes Gleichungssystem eindeutig lösbar oder unlösbar ist
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist unlösbar
Überprüfe, ob folgendes Gleichungssystem eindeutig lösbar oder unlösbar ist
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
System mit 4 Gleichungen und 4 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das System ist unlösbar
Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da die letzte Zeile weggefallen ist. Wir parametrisieren die Lösung mit 
. Die 2. Gleichung lautet:
Ab hier können wir in Bezug auf 
audrücken, indem wir die 3. Gleichung nutzen. Diese lautet:
Als Letztes nutzen wir die 1. Gleichung, um 
in Bezug auf auszudrücken:
Das heißt:
System mit 4 Gleichungen und 4 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
Überprüfe die Unlösbarkeit des Systems mit 4 Gleichungen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist unlösbar
Wir stellen fest, dass das System unterbestimmt ist, da die letzte Zeile weggefallen ist. Wir parametrisieren die Lösung mit 
. Die 2. Gleichung lautet:
Ab hier können wir in Bezug auf ausdrücken, indem wir die 3. Gleichung nutzen. Diese lautet:
Als Letztes nutzen wir die 1. Gleichung, um in Bezug auf auszudrücken:
Somit
Überprüfe die Unlösbarkeit des Systems mit 4 Gleichungen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist unlösbar
Das System ist unterbestimmt, da die 3. Zeile weggefallen ist. Wir parametrisieren die Lösung mit . Die 2. Gleichung lautet:
Ab hier können wir in Bezug auf ausdrücken, indem wir die 3. Gleichung nutzen. Diese lautet:
Als Letztes nutzen wir die 1. Gleichung, um in Bezug auf auszudrücken:
Somit
Löse das Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist unlösbar
Wir parametrisieren die Lösung mit 
. Die 3. Gleichung lautet:
Ab hier können wir in Bezug auf 
ausdrücken, indem wir die 2. Gleichung nutzen. Diese lautet:
Als Letztes nutzen wir die 1. Gleichung, um in Bezug auf auszudrücken:
Somit
Löse das Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist unlösbar
Wir parametrisieren die Lösung mit . Die 3. Gleichung lautet:
Ab hier können wir in Bezug auf ausdrücken, indem wir die 2. Gleichung nutzen. Diese lautet:
Als Letztes nutzen wir die 1. Gleichung, um in Bezug auf auszudrücken:
Somit
Löse das System mit 4 Gleichungen und 3 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist unlösbar
Löse das System mit 4 Gleichungen und 3 Variablen
Wir schreiben das System als Matrix
Wir wenden das Gauß-Verfahren an
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
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