Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten bilden ein System, wenn wir ihre gemeinsame Lösung finden möchten.

 

a_1 x + b_1 y & = & c_1 a_2 x + b_2 y  & = & c_{2}

 

Die Lösung eines Systems sind zwei Zahlen x_1, y_1. Wenn wir x durch x_1 und y durch y_1 ersetzen, sind beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Äquivalente Systeme

Zwei Gleichungssysteme sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösung haben.

 

Äquivalenzkriterien

1 Wenn von beiden Gliedern einer Gleichung eines Systems derselbe Ausdruck subtrahiert oder addiert wird, ist das resultierende System äquivalent.

2 Wenn wir beide Glieder der Gleichungen eines Systems mit einer Zahl ungleich null multiplizieren oder durch sie dividieren, ist das resultierende System äquivalent.

3 Wenn wir zu einer Gleichung eines Systems eine andere Gleichung desselben Systems addieren oder von ihr subtrahieren, ist das resultierende System äquivalent zu dem gegebenen System.

4 Wenn wir in einem System eine Gleichung durch eine andere Gleichung ersetzen, die sich aus der Addition der beiden Gleichungen des zuvor mit Zahlen ungleich null multiplizierten oder dividierten Systems ergibt, ergibt sich ein anderes System, das äquivalent zum ersten Systems ist.

 

5 Wenn in einem System die Reihenfolge der Gleichungen oder der Unbekannten geändert wird, ergibt sich ein anderes äquivalentes System.

 

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Los geht's

Gleichungssysteme lösen

Es gibt verschiedene Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen. In diesem Artikel sehen wir uns die drei gängigsten Methoden an.

 

Substitution

1 Die Variable einer Gleichung wird bestimmt.

 

2 Der Ausdruck dieser Variable wird in die andere Gleichung eingesetzt und man erhält eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

 

3 Die Gleichung wird gelöst.

 

4 Der erhaltene Wert wird in die Gleichung eingesetzt, in der die bestimmte Unbekannte vorkommt.

 

5 Die beiden erhaltenen Werte stellen die Lösung des Systems dar.

 

Gleichsetzungsverfahren

1 Dieselbe Variable wird in beiden Gleichungen bestimmt.

 

2 Die Ausdrücke werden gleichgesetzt und man erhält eine Gleichung mit einer Unbekannten.

 

3 Die Gleichung wird gelöst.

 

4 Der erhaltene Wert wird in irgendeinen der beiden Ausdrücke eingesetzt, in dem die andere Unbekannte, die bestimmt wurde, vorkommt.

 

5 Die zwei erhaltenen Werte stellen die Lösung des Systems dar.

 

Additions-/Subtraktionsverfahren

1 Die beiden Gleichungen werden umgeformt, indem sie mit passenden Zahlen multipliziert werden.

 

2 Wir addieren oder subtrahieren entsprechend, sodass eine der beiden Unbekannten wegfällt.

 

3 Die resultierende Gleichung wird gelöst.

 

4 Der erhaltene Wert wird in eine der Ursprungsgleichungen eingesetzt und die Gleichung wird gelöst.

 

5 Die zwei erhaltenen Werte stellen die Lösung des Systems dar.

 

Arten von Systemen

Eindeutig lösbares System

Es hat nur eine einzige Lösung.

 

Graphisch dargestellt ist die Lösung der Schnittpunkt der zwei Geraden.

 

Beispiel: Finde die Lösungen des Systems

3x + 5y = 1 2x - y = 5

 

Wir wenden das Additionsverfahren an. Hierzu multiplizieren wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 5 und erhalten das äquivalente System.

 

3x + 5y = 1 10x - 5y = 25

 

Wir addieren beide Gleichungen und lösen die resultierende Gleichung

 

3x + 5y & = & 1 10x - 5y & = & 25 13x & = & 26 x & = & 2

 

Wir setzen den Wert in die zweite Gleichung ein

 

2x - y & = & 5 \ 2(2) - y & = & 5 \ y & = & -1

 

Die Lösung ist (2, -1). Somit ist das System eindeutig lösbar

 

Eindeutig lösbares System

 

Mehrdeutig lösbares System

Das System hat unendlich viele Lösungen.

Graphisch dargestellt sind das zwei aufeinanderliegende Geraden. Jeder beliebige Punkt der Geraden ist eine Lösung.

 

Beispiel: Finde die Lösungen des Systems

6x - 3y = 15 2x - y = 5

 

Wir wenden das Additionsverfahren an. Hierzu multiplizieren wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 3 und erhalten das äquivalente System.

 

6x - 3y = 15 6x - 3y = 15

 

Die Geraden sind gleich, deshalb gibt es unendlich viele Lösungen. Es handelt sich also um ein mehrdeutig lösbares System.

 

Mehrdeutig lösbares System

 

Unlösbares System

Es existiert keine Lösung

Graphisch dargestellt erhalten wir zwei parallele Geraden.

 

Beispiel: Finde die Lösungen des Systems

6x - 3y = 15 2x - y = 1

 

Wir wenden das Additionsverfahren an. Hierzu multiplizieren wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 3 und erhalten das äquivalente System.

6x - 3y = 15 6x - 3y = 3

 

Die Geraden sind nicht gleich, haben aber dieselbe Steigung m = 2. Deshalb sind sie parallel und es gibt keine Lösung. Das System ist unlösbar

 

sistema incompatible

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.