Wenn alle konstanten Glieder in einem System aus m Gleichungen und n Unbekannten null sind, ist das System homogen.

 

\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots +a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots +a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots +a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right.

 

Für diese Arten von Systemen gibt es nur die triviale Lösung: x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0.

 

Der Ausdruck in Form einer Matrix ist gegeben durch

 

\left ( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \cdot \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)

 

Wir stellen fest, dass jedes lineare homogene System lösbar ist, da es die triviale Lösung zulässt. Wie bestimmen wir aber, ob ein System bestimmt oder unbestimmt ist?

Die Antwort auf diese Frage wurde 1875 von dem französischen Mathematiker Eugène Rouché in seinem Artikel Sur la discussion des equations du premier degré gegeben. Dieser erschien in der 81. Ausgabe des Compte Rendus de la Académie des Sciences. Das Ergebnis, zu dem Rouché kam, ist im deutschen Sprachgebrauch als Satz von Kronecker-Capelli bekannt.

 

Satz von Kronecker-Capelli

 

Gegeben ist die Koeffizientenmatrix  A und die erweiterte Matrix  A' des Systems aus  m linearen Gleichungen mit  n Unbekannten. Wenn r und  r' der Rang von  A und  A' sind, gilt:

 

Das System ist lösbar, wenn für die Ränge r = r' gilt. Außerdem, wenn gilt r = n, ist das System eindeutig lösbar. Das heißt, es hat eine eindeutige Lösung.

 

Ist das System lösbar und es gilt r = r', aber r < n, ist das System mehrdeutig lösbar. Das heißt, es hat unendlich viele Lösungen.

 

Das System ist unlösbar, wenn die Ränge unterschiedlich, also r \neq r' sind. Das System hat somit keine Lösung.

 

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Los geht's

Satz von Kronecker-Capelli bei homogenen Systemen

 

Damit ein homogenes System andere Lösungen als die triviale Lösung hat, muss der Rang der Koeffizientenmatrix niedriger sein als die Anzahl der Unbekannten.

 

r < n

 

Für den Fall m = n genügt es, dass die Determinante der Koeffizientenmatrix null ist.

 

Das liegt daran, dass wir es hier mit dem Satz von Kronecker-Capelli zu tun haben. Hierbei gilt,  r(A) = r(A') und der Wert ist niedriger als die Anzahl der Unbekannten. Somit ist das System mehrdeutig lösbar.

 

Beispiel: Bestimme, ob das System eindeutig oder mehrdeutig lösbar ist

 

\left \{ \begin{array}{c} x + y + z = 0 \\ x - y = 0 \\ x + 3y + 2z = 0 \end{array} \right.

 

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1 \\ 1& -1& 0 \\ 1& 3& 2 \end{pmatrix}

 

2 Wir berechnen den Rang der Koeffizientenmatrix.

 

Der Rang ist mindestens 1, da

 

 \left | 1\right |= 1 \neq 0 .

 

Der Rang ist mindestens 2, da

 

 \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0.

 

Rang 3 existiert nicht, da

 

\begin{array}{rcl}\begin{vmatrix} 1& 1& 1 \\ 1& -1& 0 \\ 1& 3& 2 \end{vmatrix} & =  & \begin{vmatrix} 1& 1 \\ 3& 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1& 1 \\ 1& 2 \end{vmatrix} \\\\  & = &  -1 + 1 \\\\ & = & 0 \end{array}

 

3 Da r = 2, \ n = 3, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System mehrdeutig lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat.

 

Beispiel: Bestimme, ob das folgende System eindeutig oder mehrdeutig lösbar ist

 

\left \{ \begin{array}{c} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + z = 0 \end{array} \right.

 

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 2 \\ 3& -1& -2 \\ -1& 2& 1 \end{pmatrix}

 

2 Da m = n, berechnen wir anstatt des Rangs der Koeffizientenmatrix ihre Determinante

\begin{array}{rcl}\begin{vmatrix}1& 1& 2 \\ 3& -1& -2 \\ -1& 2& 1 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} -1& -2 \\ 2& 1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\\\ & = & 3 - 1 + 10 \\\\ & = & 12 \end{array}

 

3 Da r = 3, \ n = 3, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System eine eindeutige Lösung hat

 

x = y = z = 0

 

Übungsaufgaben zum Satz von Kronecker-Capelli

 

Bestimme, ob die folgenden homogenen Gleichungssysteme eindeutig oder mehrdeutig lösbar sind

 

1\left \{ \begin{array}{c} x + 3y - 2z = 0 \end{array} \right.

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 3& -2 \end{pmatrix}

 

2 Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 1, da

 

 \left | 1\right |= 1 \neq 0 .

 

3 Da r = 1, \ n = 3, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System mehrdeutig lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat.

 

4 Wir berechnen die Lösungen, indem wir eine Variable durch die beiden anderen ausdrücken, da das System nur aus einer Gleichung besteht

 

 x = -3y + 2z

 

Wir setzen  y = \lambda, \ z = \mu mit \lambda, \mu reellen Zahlen

 

und erhalten die Lösungen der Form  x = 2 \mu - 3\lambda, \ y = \lambda, \ z = \mu

 

 

2\left \{ \begin{array}{c} x + 3y - 2z = 0 \\ x - y + z = 0 \end{array} \right.

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 3& -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

 

2 Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 2, da

 

 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -4 \neq 0 .

 

3 Da r = 2, \ n = 3, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System mehrdeutig lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat.

 

4 Wir berechnen die Lösungen. Hierzu wenden wir das Gaußsche Eliminationsverfahren an. Wir ersetzen die Zeile f_2 durch f_2 - f_1

 

 \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & -4 & 3 \end{pmatrix}

 

Wir erhalten ein äquivalentes System

 

Wir setzen \left \{ \begin{array}{c} x + 3y - 2z = 0 \\ - 4y + 3z = 0 \end{array} \right.

 

Wir setzen  z = \mu und erhalten

 

 y = \cfrac{3 \mu}{4} .

 

Wir ersetzen die Werte für  y, z und erhalten

 

 x = -\cfrac{\mu}{4} .

 

Die Lösungen haben die Form  x = -\cfrac{\mu}{4}, \ y = \cfrac{3 \mu}{4}, \ z = \mu

 

 

3\left \{ \begin{array}{c} x + y + z = 0 \\ 2x + 4y + 3z = 0 \\ -x + y = 0 \end{array} \right.

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

2 Wir berechnen die Determinante der Koeffizientenmatrix

 

 \begin{array}{rcl}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} & = & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\\\ & = & 1 - 1 \\\\ & = & 0 \end{array}

 

3 Da r \leq 2, \ n = 3, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System mehrdeutig lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat.

 

4 Wir berechnen die Lösungen. Hierzu wenden wir das Gaußsche Eliminationsverfahren an. Wir ersetzen die Zeilen f_2, f_3 durch f_2 - 2f_1, f_3 + f_1

 

 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

 

Wir ersetzen die Zeile f_3 durch f_3 - f_2

 

 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

 

Wir erhalten ein äquivalentes Gleichungssystem

 

\left \{ \begin{array}{c} x + y + z = 0 \\ 2y + z = 0 \end{array} \right.

 

Wir setzen  z = \lambda und erhalten

 

 y = -\cfrac{\lambda}{2} .

 

Wir setzen die Werte für  y, z in die erste Gleichung ein und erhalten

 

 x = -\cfrac{3 \lambda}{2} .

 

Die Lösungen haben die Form  x = -\cfrac{3 \lambda}{2}, \ y = -\cfrac{\lambda}{2}, \ z = \lambda

 

 

4\left \{ \begin{array}{c} x + y + z = 0 \\ 2x + 4y + 3z = 0 \\ -x + y + z = 0 \end{array} \right.

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

2 Wir berechnen die Determinante der Koeffizientenmatrix

 

 \begin{array}{rcl}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & = & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \\\\ & = & 1 - 1 + 2 \\\\ & = & 2 \end{array}

 

3 Da r = 3, \ n = 3, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System eindeutig lösbar ist und eine eindeutige Lösung hat. Die Lösung ist x = y = z = 0.

 

 

5\left \{ \begin{array}{c} x + y + z + w = 0 \\ 2x + 4y + 3z - 4w = 0 \\ -x + y + z = 0 \\ x - z = 0\end{array} \right.

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

 

2 Wir berechnen die Determinante der Koeffizientenmatrix

 

 \begin{array}{rcl}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} & = & -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -4 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \\\\ & = & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\\\ & = & 7 - 8 - 1 + 5 - 6 \\\\ & = & -3 \end{array}

 

3 Da r = 4, \ n = 4, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System eindeutig lösbar ist und eine eindeutige Lösung hat. Die Lösung ist x = y = z = w = 0.

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.