Definition des Gauß-Verfahrens

Das Gauß-Verfahren oder auch Gaußsche Eliminationsverfahren besteht darin, ein lineares Gleichungssystem (LGS) so durch Eliminieren umzuformen, dass es eine Zeilenstufenform annimmt, anhand derer die Werte der Variablen abgelesen werden können.

 

Um das Gleichungssystem am einfachsten berechnen zu können, wandelt man es in eine Matrix um. Man schreibt dabei die Koeffizienten der Variablen nebeneinander und trennt sie vom jeweiligen Ergebnis der Gleichung mit einer geraden Linie.

 

\left ( \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & c_1  \\  \vdots & \ddots  &  \vdots  & \vdots  \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & c_m  \end{array} \right )

 

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Los geht's

Gleichwertige Gleichungssysteme

 

Man spricht dann von gleichwertigen LGS, wenn zwei LGS folgende Eigenschaften aufweisen:

 

1 Alle Koeffizienten sind gleich Null.

 

2 Zwei Zeilen sind gleich.

 

3 Eine Zeile ist proportional zu einer anderen.

 

4 Eine Zeile ist die Linearkombination einer anderen.

 

Äquivalenzkriterien von Gleichungssystemen

 

1 Wenn alle Glieder eines LGS mit derselben Zahl addiert oder subtrahiert werden, erhält man als Ergebnis ein gleichwertiges LGS.

 

2  Wenn alle Glieder eines LGS mit einerZahl multipliziert oder durch eine Zahl geteilt werden, die ungleich Null ist, erhält man als Ergebnis ein gleichwertiges LGS.

 

3 Wenn man eine Gleichung des LGS mit einer anderen Gleichung desselben LGS addiert oder subtrahiert, behält das LGS denselben Wert.

 

Wenn man eine Gleichung des LGS mit einer anderen addiert oder subtrahiert, anschließend mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl teilt, die ungleich Null ist und mit diesem Ergebnis eine Gleichung des LGS ersetzt, behält das LGS denselben Wert.

 

5  Wenn in einem LGS die Reihenfolge der Gleichungen oder der Unbekannten geändert wird, behält das LGS denselben Wert.

 

Beispiel: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z - 33 & = & 0 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Die erste Gleichung wird auf beiden Seiten mit 33 addiert und man erhält

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x -9y + 5z  - 33 + 33 & = & 0 + 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Gemäß Äquivalenzkriterium 1 hat das erste LGS denselben Wert wie das zweite.

 

 \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Beispiel: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Man multipliziert beide Seiten der Gleichung mit 2 und erhält gemäß Äquivalenzkriterium 2 ein gleichwertiges LGS.

 

\left \{ \begin{array}{lcr} 2x - 18y + 10z & = & 66 \\ 2x + 6y - 2z & = & -18 \\ 2x - 2y + 2z & = & 10 \end{array} \right.

 

Beispiel: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Die zweite Gleichung wird zur dritten addiert und gemäß Äquivalenzkriterium 3 erhält man ein gleichwertiges LGS.

 

 \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ 2x + 2y & = & -4 \end{array} \right.

 

Beispiel: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Die erste Gleichung wird durch die Summe der ersten mit 3 mal der zweiten Gleichung ersetzt. Gemäß Äquivalenzkriterium 4 erhält man ein gleichwertiges LGS.

 

 \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ 4x + 2z & = & 6 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Beispiel: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Die zweite und dritte Gleichung werden ausgetauscht. Gemäß Äquivalenzkriterium 5 erhält man ein gleichwertiges LGS.

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x - y + z & = & 5 \\ x + 3y - z & = & -9 \end{array} \right.

 

Um ein LGS erfolgreich zu lösen, macht man sich die oben genannten 5 Äquivalenzkriterien zunutze.

 

Rechenbeispiele: Lösen eines LGS

1\left \{ \begin{array}{l} 3x + 2y + z = 1 \\ 5x + 3y + 4z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{array} \right.

1 Schreibe das zu lösende LGS in Matrixform um

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 &  1  \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1&  -1 & 1  \\ \end{array}\right ) }

 

2 Tausche die Zeilen {f_{1}} und {f_{3}} miteinander aus und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 5 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 &  1  \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1&  -1 & 1  \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1&  -1 & 1  \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ \end{array}\right ) }

 

3 Ersetze die Zeilen {f_2, f_{3}} mit {f_2 - 5f_1, f_{3} - 3 f_{1}} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1& -1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1&  -1 & 1  \\ 0 & -2 & 9 & -3 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ \end{array}\right ) }

 

4 Ersetze die Zeilen {f_1, f_{3}} mit {2f_1 + f_2, 2f_{3} - f_{2}} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1& -1 & 1 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 7 & -1 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ \end{array}\right ) }

 

5 Ersetze die Zeilen {f_1, f_{2}} mit {f_1 + 7f_3, f_{2} + 9f_{3}} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 7 & -1 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & -8 \\ 0 & -2 & 0 & -12 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ \end{array}\right ) }

 

6 Ersetze die Zeilen {f_1, f_{2}, f_3} mit {\cfrac{1}{2}f_1, -\cfrac{1}{2}f_{2}, -f_{3}} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 2 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & -8 \\ 0 & -2 & 0 & -12 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right ) }

 

7 Du hast das LGS durch Umformen und Eliminieren erfolgreich in Zeilenstufenform mit den Werten 1 in der Diagonalen und Null an allen übrigen Stellen gebracht und kannst nun die Lösungen der drei Variablen einfach am Ergebnis auf der rechten Seite ablesen:
{x =-4, \ y = 6, \ z = 1}

 

2\left \{ \begin{array}{l} 2x - 5y + 4z + u - v = -3 \\ x - 2y + z - u + v = 5 \\ x - 4y + 6z + 2u + v = 10 \end{array} \right.

1 Schreibe das zu lösende LGS in Matrixform um

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \\ \end{array}\right ) }

 

2 Tausche die Zeilen {f_{1}} und {f_{2}} miteinander aus und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 5 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \\ \end{array}\right ) }

 

3 Ersetze die Zeilen {f_2, f_{3}} mit {f_2 - 2f_1, f_{3} - f_{1}} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & -2 & 5 & 3 & 0 & 5 \\ \end{array}\right ) }

 

4 Ersetze die Zeilen {f_1, f_{3}} mit {f_1 - 2 f_2, f_{3} - 2f_{2}} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & -2 & 5 & 3 & 0 & 5 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -3 & -7 & 7 & 31 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 & 31 \\ \end{array}\right ) }

 

5 Ersetze die Zeilen {f_1, f_{2}} mit {f_1 + 3f_3, f_{2} - 2f_{3}} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -3 & -7 & 7 & 31 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 & 31 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & -16 & 25 & 124 \\ 0 & -1 & 0 & 9 & -15 & -75 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 & 31 \\ \end{array}\right ) }

 

6 Du hast das LGS durch Umformen und Eliminieren erfolgreich in ein gleichwertiges LGS in Zeilenstufenform gebracht

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 16u + 25v = 124 \\ -y + 9u - 15v = -75 \\ z - 3u + 6v = 31 \end{array} \right.

 

7 Multipliziere die zweite Gleichung mit -1 und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 2 ein gleichwertiges LGS.

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 16u + 25v = 124 \\ y - 9u + 15v = 75 \\ z - 3u + 6v = 31 \end{array} \right.

 

8 Definiere u = \lambda und v = \mu und du erhältst

 

\begin{array}{lcl} x - 16 \lambda + 25 \mu = 124 & \Longrightarrow & x = 124 + 16 \lambda - 25 \mu \\\\ y - 9 \lambda + 15 \mu = 75 & \Longrightarrow & y = 75 + 9 \lambda - 15 \mu \\\\ z - 3 \lambda + 6 \mu = 31 & \Longrightarrow & z = 31 + 3 \lambda - 6 \mu \end{array}

 

3\left \{ \begin{array}{l} x + y - z = 1 \\ 3x + 2y + z = 1 \\ 5x + 3y + 4z = 2  \\  -2x - y + 5z = 6 \end{array} \right.

1 Schreibe das zu lösende LGS in Matrixform um

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ -2 & -1 & 5 & 6 \\ \end{array}\right ) }

 

3 Ersetze die Zeilen {f_2, f_{3}, f_4} mit {f_2 - 3f_1, f_{3} - 5 f_{1}, f_4 + 2 f_1} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ -2 & -1 & 5 & 6 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \\ \end{array}\right ) }

 

4 Ersetze die Zeilen {f_1, f_3, f_{4}} mit {f_1 + f_2, f_{3} - 2 f_{2}, f_4 + f_1} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ \end{array}\right ) }

 

5 Ersetze die Zeilen {f_1, f_{2}, f_4} mit {f_1 - 3f_3, f_{2} - 4f_{3}, f_4 - 4 f_3} und du erhältst nach Äquivalenzkriterium 4 ein gleichwertiges LGS.

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 9 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{array}\right ) }

 

6 Da die Koeffizienten der letzten Zeile gleich Null sind und das Ergebnis auf der rechten Seite ungleich Null, erhält man keine Lösungsmenge für dieses Gleichungssystem

 

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.