Aufgaben zur Berechnung von Flächeninhalt und Umfang

 

1Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rechtecks, dessen Umfang 16 \ cm beträgt und dessen Grundseite dreimal so lang wie seine Höhe ist?

1Definiere die Variablen

 

x = Grundseite des Rechtecks

y = Höhe des Rechtecks

 

2Formuliere die Gleichungen

 

2x + 2y = Umfang

 

3Stelle das Gleichungssystem auf: lege die Beziehung zwischen Grundseite und Höhe in der ersten Gleichung fest und in der zweiten den Umfang

 

\left\{ \begin{array}{l} x = 3y \\\\ 2x + 2y = 16 \end{array} \right.

 

4Setze den Wert von x aus der ersten Gleichung in die zweite ein, um den Wert vony zu berechnen

 

\begin{array}{r}2(3y) + 2y = 16 \\ 8y = 16 \\ y = 2 \end{array}

 

5Setze das Ergebnis in die erste Gleichung ein, um den Wert von x zu ermitteln

 

\begin{array}{r}x = 3(2) \\ x = 6 \end{array}

 

6Die Grundseite misst also 6 \ cm und die Höhe 2 \ cm

 

2Die Grundseite eines Dreiecks ist dreimal so lang wie seine Höhe. Wenn die Fläche 35 \ cm^2 beträgt, welche Maße hat das Dreieck?

1Definiere die Variablen

 

x = Grundseite des Dreiecks

y = Höhe des Dreiecks

 

2Formuliere die Gleichungen

 

x = y + 3

 

3Stelle das Gleichungssystem auf: lege die Beziehung zwischen der Grundseite und der Höhe in der ersten Gleichung fest und in der zweiten den Umfang

 

\left\{ \begin{array}{l} x = y + 3 \\\\ \cfrac{xy}{2} = 35 \end{array} \right.

 

4Setze den Wert von x aus der ersten Gleichung in die zweite ein, um den Wert vony zu berechnen

 

\begin{array}{r} \cfrac{(y + 3)y}{2} = 35 \\ y^2 + 3y - 70 = 0 \\ (y + 10)(y - 7) = 0 \end{array}

 

man erhält y = 7 (der Werty = -10 wird nicht beachtet, da man kein negatives Ergebnis erhalten darf).

 

5Setze das Ergebnis in die erste Gleichung ein, um den Wert von x zu ermitteln

 

\begin{array}{r}x = 7 + 3 = 10 \end{array}

 

6Die Grundseite misst also 10 \ cm und die Höhe 7 \ cm

Rechenaufgaben am Beispiel Farm

 

1Auf einer Farm werden Truthähne und Schweine gezüchtet. Insgesamt kann man dort 58 Köpfe und 168 Beine zählen. Wie viele Truthähne und Schweine gibt es dort?

1Definiere die Variablen

 

x = Anzahl der Truthähne

y = Anzahl der Schweine

 

2 Stelle die Gleichungen auf, indem du die Parameter für die Anzahl der Köpfe und für die Anzahl der Beine festlegst.

 

\left\{ \begin{array}{l} x  + y = 58 \\\\ 2x + 4y = 168 \end{array} \right.

 

3Löse das Gleichungssystem durch Reduktion, indem du die erste Gleichung mit -2 multiplizierst

 

\left\{ \begin{tabular}{r} -2x  - 2y = -116 \\ 2x + 4y = 168 \\ \hline 2y = 52  \\  y = 26 \end{tabular} \right.

 

4Setze den Wert von y in die erste Gleichung ein, um den Wert von x zu ermitteln

 

\begin{array}{r}x + 26 = 58 \\ x = 32 \end{array}

 

5Es gibt also 32 Truthähne und 26 Schweine auf der Farm.

 

 

2Peter und Jörg züchten Truthähne. Jörg sagt: wenn du mir 2 Truthähne gibst, haben wir gleich viele; Peter antwortet: wenn du mir 2 Truthähne gibst, hätte ich danach dreimal mehr als du. Wie viele Truthähne besitzt jeder?

1Definiere die Variablen

 

x = Anzahl der Truthähne von Peter

y = Anzahl der Truthähne von Jörg

 

2Formuliere die Gleichungen

 

\left\{ \begin{array}{l} x - 2 = y + 2 \\\\ x + 2 = 3(y - 2) \end{array} \right.

 

3Stelle x in der ersten Gleichung frei und setze den Wert in die zweite Gleichung ein

 

\begin{array}{r} (y + 4) + 2 = 3y - 6 \\ -2y = -12 \\ y = 6 \end{array}

 

4Setze den Wert von y in die erste Gleichung ein, um den Wert von x zu ermitteln

 

\begin{array}{r}x - 2 = 6 + 2 \\ x = 10 \end{array}

 

5Peter hat 10 Truthähne und Jörg 6.

 

 

3Martha geht auf den Wochenmarkt und kauft 3 Äpfel und 2 Orangen für 8 €. Wenn sie 2 Äpfel und 3 Orangen gekauft hätte, hätte sie 7 € bezahlt. Wie viel kostet jede Frucht?

 

1Definiere die Variablen

 

x = Preis für einen Apfel

y = Preis für eine Orange

 

2Stelle das Gleichungsystem auf

 

\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 8 \\\\ 2x + 3y = 7 \end{array} \right.

 

3Löse das Gleichungssystem durch Reduktion, indem du die erste Gleichung mit -2 und die zweite mit 3 multiplizierst

 

\begin{tabular}{r} -6x - 4y = -16 \\ 6x + 9y = 21 \\ \hline 5y = 5 \\ y = 1 \end{array}

 

4Berechne den Wert von x, indem du den Wert von y in die erste Gleichung einsetzt

 

\begin{array}{r} 3x + 2(1) = 8 \\ 3x = 6 \\ x = 2 \end{array}

 

5 Ein Apfel kostet 2 € und eine Orange 1

 

Arithmetische Aufgaben

 

1Die Zehnerstelle einer gesuchten zweistelligen Zahl ist das doppelte ihrer Einerstelle. Zieht man 27 von der gesuchten Zahl ab, erhält man die Zahl, die sich aus der Umkehrung der Reihenfolge der Ziffern ergibt. Welche Zahl wird gesucht?

1Definiere die Variablen

 

x = Ziffer der Einerstelle

y = Ziffer der Zehnerstelle

 

2Stelle die Gleichung für die gesuchte Zahl auf

 

\begin{array}{l}10x + y \end{array}

 

3 Stelle die Gleichung für Zahl mit umgekehrten Ziffern auf

 

\begin{array}{l}10y + x \end{array}

 

4Stelle das Gleichungssystem auf

 

\left\{ \begin{array}{l} y = 2x \\\\ (10y + x) - 27 = 10x + y \end{array} \right.

 

5Setze den Wert von y in die zweite Gleichung ein

 

10 \cdot 2x + x - 27 = 10x + 2x

 

6Löse die Gleichung

 

\begin{array}{r}20x + x - 12x = 27 \\ x = 3 \end{array}

 

7Berechne den Wert von y

 

y = 2 \cdot 3 = 6

 

8Die gesuchte Zahl ist 63

 

 

2Gesucht ist eine zweistellige Zahl, deren Zehlerstelle und Einerstelle zusammen 5 ergeben. Zieht man 27 von der gesuchten Zahl ab, erhält man die Zahl, die sich aus der Umkehrung der Reihenfolge der Ziffern ergibt.

1Definiere die Variablen

 

x = Ziffer der Einerstelle

y = Ziffer der Zehnerstelle

 

2Lege die Bedingungen fest

 

10x + y = gesuchte Zahl

10y + x = umgekehrte Zahl

 

3Stelle das Gleichungssystem auf

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5 \\\\ 10x + y = 10y + x - 27 \end{array} \right.

 

4Stelle y in der ersten Gleichung frei und setze den Wert in die zweite Gleichung ein

 

\begin{array}{r} 10x + 5 - x = 10(5 - x) + x - 27 \\ 18x = 18 \\ x = 1 \end{array}

 

5Setze den Wert von x in die erste Gleichung ein

 

\begin{array}{r} y = 5 - 1 = 4 \end{array}

 

6Gesucht ist die Zahl 41

 

Rechenanwendungen im Kauf und Verkauf

 

1Jürgen hat einen Computer und einen Fernseher für insgesamt 2000 € gekauft und für 2260 € wieder verkauft.

Wie viel hat jedes Gerät gekostet, wenn man beachtet, dass er beim Verkauf des Computers 10\% und beim Verkauf des Fernsehers 15\% verdient hat?

 

1Definiere die Variablen

 

x = Preis des Computers

y = Preis des Fernsehers

 

2Definiere die Verkaufspreise

 

x + \cfrac{10x}{100}

y + \cfrac{15y}{100}

 

3Stelle ein Gleichungssystem mit einer Gleichung für den Kauf und einer für den Verkauf auf

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2000 \\\\ x + \cfrac{10x}{100} + y + \cfrac{15y}{100} = 2260 \end{array} \right.

 

4Löse die Nenner auf

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2000 \\ 110x + 115y = 226000 \end{array} \right.

 

5Löse das Gleichungssystem durch Reduktion, indem du die erste Gleichung mit -110 multiplizierst

 

\begin{tabular}{r} -110x - 110y = -220000 \\ 110x + 115y = 226000 \\ \hline 5y = 6000 \\ y = 1200 \end{tabular}

 

6Setze den Wert von y in die erste Gleichung ein

 

\begin{array}{r}x + 1200 = 2000 \\ x = 800 \end{array}

 

Der Computer hat also 800 € und der Fernseher 1200 € gekostet.

 

 

2Anton sagt zu Peter: "Ich habe doppelt so viel Geld wie du." Peter antwortet: "Wenn du mir 6€ gibst, haben wir beide gleichviel Geld." Wie viel Geld besitzt jeder?

1Definiere die Variablen

 

x = Anton´s Geld

y = Peter´s Geld

 

2Stelle das Gleichungssystem auf: halte in der ersten Gleichung fest, was Anton sagt und in der zweiten, was Peter sagt. Beachte dabei, dass er 6 € weniger hat, wenn er 6 € hergibt.

 

\left\{ \begin{array}{l} x = 2y \\\\ y + 6 = x - 6 \end{array} \right.

 

3Setze den Wert von x in die zweite Gleichung ein

 

\begin{array}{r}y + 6 = 2y - 6 \\ y = 12 \end{array}

 

4Berechne den Wert von x in der ersten Gleichung

 

\begin{array}{r}x = 2 \cdot 12 \\ x = 24 \end{array}

 

5Anton hat also 24 € und Peter 12 €.

 

 

3In einem Unternehmen arbeiten 60 Personen. 16\% der Männer und 20\% der Frauen tragen eine Brille. Wenn insgesamt 11 Personen eine Brille tragen, wie viele Männer und Frauen arbeiten dann im Unternehmen?

1Definiere die Variablen

 

x = Zahl der Männer

y = Zahl der Frauen

 

2Lege die Bedingungen für die Zahl der männlichen und weiblichen Brillenträger

fest

\begin{array}{l}\cfrac{16x}{100} \\\\  \cfrac{20y}{100} \end{array}

 

3Stelle das Gleichungssystem auf

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 60 \\\\ \cfrac{16x}{100} + \cfrac{20y}{100} = 11 \end{array} \right.

 

4Löse die Nenner in der zweiten Gleichung auf

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 60 \\\\ 16x + 20y = 1100 \end{array} \right.

 

5Löse das LGS mithilfe des Einsatzverfahrens, indem du x in der ersten Gleichung freistellst/p>

x = 60 - y

 

6Setze den Wert von x in die zweite Gleichung ein und löse

 

\begin{array}{r}16(60 - y) + 20y = 1100 \\ 4y = 140 \\ y = 35 \end{array}

 

7Setze den Wert von y in die erste Gleichung ein

 

\begin{array}{r}x + 35 = 60 \\ x = 25  \end{array}

 

8Es arbeiten folglich 25 Männer und 35 Frauen im Unternehmen.

 

 

4Für den Kauf von zwei Haushaltsgeräten hast du 3500 € bezahlt. Wenn wir auf das erste Gerät einen Rabatt von 10\% und auf das zweite einen Rabatt von 8\% erhalten hätten, hätten wir insgesamt 3170 € bezahlt. Wie viel hat jedes Gerät gekostet?

 

1Definiere die Variablen

 

x = Preis Gerät 1

y = Preis Gerät 2

 

2Definiere die Konditionen der Rabatte

 

\begin{array}{l} x - \cfrac{10x}{100} \\\\  y - \cfrac{8y}{100} \end{array}

 

3Stelle das Gleichungssystem auf

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3500 \\\\ x - \cfrac{10x}{100} + y - \cfrac{8y}{100} = 3170 \end{array} \right.

 

4Löse die Nenner in der zweiten Gleichung auf

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3500 \\\\ 90x + 92y = 317000 \end{array} \right.

 

5Löse das Gleichungssystem durch Reduktion, indem du die erste Gleichung mit -90 multiplizierst

 

\begin{tabular}{r} -90x - 90y = 317000 \\ 90x + 92y = 317000 \\ \hline 2y = 2000  \\ y = 1000 \end{array}

 

6Berechne den Wert von x, indem du den Wert von y in die erste Gleichung einsetzt

 

\begin{array}{r} x + 1000 = 3500 \\ x = 2500 \end{array}

 

7 Gerät 1 hat also 2500 € gekostet, Gerät 2 1000 €.

 

>

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 5,00 (1 Note(n))
Loading...

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.