Mit dem Satz von Kronecker-Capelli lässt sich die Art der Lösung eines Systems aus  m linearen Gleichungen mit  n Unbekannten bestimmen, ausgehend von der Berechnung des Rangs der durch die Koeffizienten gebildeten Matrix  A und des Rangs der um die konstanten Glieder erweiterten Matrix  A' .

Der Satz von Kronecker-Capelli - Grundlagen

Gegeben ist die Koeffizientenmatrix  A und die erweiterte Matrix  A' des Systems aus  m linearen Gleichungen mit  n Unbekannten. Wenn r und  r' jeweils der Rang von  A und  A' sind, gilt:

Das System ist lösbar, wenn die Ränge übereinstimmen r = r'. Außerdem, wenn r = n, ist das System eindeutig lösbar. Das heißt, es hat eine einzige Lösung.

Wenn das System lösbar ist, r = r', aber r < n, ist das System mehrdeutig lösbar. Das heißt, es hat unendlich viele Lösungen.

Das System ist nicht lösbar, wenn die Ränge unterschiedlich sind, also r \neq r'. Das heißt, das System hat keine Lösung.

 

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Los geht's

Anwendung des Satzes von Kronecker-Capelli

Wir sehen uns folgendes Gleichungssystem an. Löse es, sofern möglich.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x-y-2z&= -2\\ -x+y+z&= 0 \\ x-2y+z&=8 \\ 2x-2y&=6 \\ \end{matrix}\right.

 

 1  Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2& -1& -2& \\ -1& 1& 1& \\ 1& -2& 1& \\ 2& -2& 0& \end{pmatrix}

 

Der Rang ist höher als 1, somit

 

 \left | 2\right |= 2 \neq 0 .

 

Der Rang ist höher als 2, weil

 

 \begin{vmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{vmatrix} =1 \neq 0.

 

Der Rang ist höher als 3, weil

 

 \begin{vmatrix} 2& -1& -2& \\ -1& 1& 1& \\ 1& -2& 1& \\ \end{vmatrix} = 2 \neq 0.

 

Wenn der Rang höher als 4 ist, können wir keine Berechnung vornehmen, weil die Matrix keine  4\times 4 Matrix ist. Deshalb gilt  r(A)=3.

 

 2  Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

 

 A' = \begin{pmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ 2& -2& 0 & 6 \end{pmatrix}

 

Da

 

 \begin{vmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ 2& -2& 0 & 6 \end{vmatrix}= 0,

 

 r(A')=3.

 

 3  Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an. Das System ist eindeutig lösbar:

 

 r(A)=3,\qquad r(A')=3, \qquad n=3.

 

 4 Da das System eindeutig lösbar ist, können wir es entweder mit der Cramerschen Regel oder dem Gaußschen Verfahren lösen. Da die vierte Zeile der Matrix  A' eine lineare Kombination aus den anderen drei Zeilen ist, nehmen wir das Untersystem von  3 \times 3 und seine entsprechende Matrix.

 

 \left\{ \begin{matrix} 2x-y-2z&= -2\\ -x+y+z&= 0 \\ x-2y+z&=8 \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow

 

\begin{pmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ \end{pmatrix}

 

In diesem Fall lösen wir das System mit der Cramerschen Regel.

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} -2 & -1& -2\\ 0& 1& 1\\ 8& -2& 1\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{8-6}{2}=1

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & -2& -2\\ -1& 0& 1\\ 1& 8& 1\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{-2-2}{2}=-2

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & -1& -2\\ -1& 1& 0\\ 1& -2& 8\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{-2+8}{2}=3

 

Somit gilt für das ursprüngliche System Folgendes:  x=1, y=-2 und  z=3.

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.