Unter- und überbestimmte lineare Gleichungssysteme

 

Entscheide, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind:

 

1Wenn man eine Gleichung aus einem unterbestimmten LGS löscht, ist das neue LGS äquivalent zum ursprünglichen.

Richtig

 

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}} mit {f_{2} - f_{1}, f_{3} - f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 1 & 3 & -1 & -9 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeile {f_{3}} mit {12 f_{3} - 8 f_{2}} und du erhältst

 

{\left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

Das äquivalente LGS ist

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ 12y - 6z & = & -42 \end{array} \right.

 

Die Lösung des unterbestimmten LGS ist

 

z = \lambda, \ \ y = -\cfrac{7}{2} + \cfrac{1}{2} \lambda, \ \ x = \cfrac{3}{2} - \cfrac{1}{2} \lambda

 

 

2Ein unterbestimmtes LGS wird auch homogenes LGS genannt.

Falsch

 

Ein homogenes LGS besitzt im Allgemeinen nur die triviale Lösung:

 

x = 0; \  y = 0; \  z = 0,

 

während ein unterbestimmtes LGS unendlich viele Lösungen besitzen kann.

 

3Jedes unterbestimmte LGS mit widerspruchsfreien Lösungen enthält zwei gleiche Gleichungen.

Falsch

 

Das unterbestimmte LGS

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ 12y - 6z & = & -42 \end{array} \right.

 

ist widerspruchsfrei und enthält nur unterschiedliche Gleichungen. Die Lösung des unterbestimmten LGS ist

 

z = \lambda, \ \ y = -\cfrac{7}{2} + \cfrac{1}{2} \lambda, \ \ x = \cfrac{3}{2} - \cfrac{1}{2} \lambda

 

4Aus einem überbestimmten LGS kann ein (nicht äquivalentes) unterbestimmtes LGS extrahiert werden, indem man Gleichungen entfernt.

Richtig

 

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x + y + z & = & 1 \\ 2x + 3y - 4z & = & 9 \\ x - y + z & = & -1 \end{array} \right.

 

Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}} mit {f_{2} - 2f_{1}, f_{3} - f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -4 & 9 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -6 & 7 \\ 0 & -2 & 0 & -2 \end{array}\right ) }

 

Die Lösung des überbestimmten LGS ist

 

z = -1, \ \ y = 1, \ \ x = 1

 

Durch Eliminieren der zweiten Gleichung des ursprünglichen überbestimmten LGS erhält man das unterbestimmte LGS

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x + y + z & = & 1 \\ x - y + z & = & -1 \end{array} \right.

 

mit der Lösung

 

z = \lambda, \ \ y = 1 - \lambda, \ \ x = 0

Kategorisierung von Gleichungssystemen

5Finde heraus, um was für eine Art von LGS es sich im Folgenden handelt und ermittle seine Lösung(en) (wenn vorhanden)

\left \{ \begin{array}{rcr} 2x + y & = & 1 \\ -x + 2y & = & 7 \\ 3x + y & = & 0 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}} mit {f_{2} - 2f_{1}, f_{3} - f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right ) }

 

2Ersetze die Zeile {f_{2}} mit {f_{2} + 5 f_{3}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right ) }

 

Die Lösung des überbestimmten LGS ist

 

x = -1, \ \ y = 3

6Finde heraus, um was für eine Art von LGS es sich im Folgenden handelt und ermittle seine Lösung(en) (wenn vorhanden)

\left \{ \begin{array}{rcr} 2x - y + 3z & = & 1 \\ 3x + 2y - z & = & 5  \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeile {f_{2}} mit {f_{2} + 2f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 7 & 0 & 5 & 7 \end{array}\right ) }

 

2Definiere z = \lambda und setze diesen Wert in die beiden Gleichungen ein

 

\begin{array}{l} 2x - y + 3\lambda = 1 \\ 7x + 5 \lambda = 7 \end{array}

 

3Die Lösung des unterbestimmten LGS ist

 

z = \lambda, \ \ x = 1 - \cfrac{5}{7} \lambda, \ \ y = 1 + \cfrac{11}{7} \lambda

7Löse das folgende Gleichungssystem:

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + 3y - 4z & = & 9 \\ x - y + z & = & -1 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_3} mit {f_{2} - 2f_{1}, f_3 - f_1 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -4 & 9 \\ 1 & -1& 1 & -1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -6 & 7 \\ 0 & -2 & 0 & -2 \end{array}\right ) }

 

2Aus der vorhergehenden Matrix erhält man

 

\left \{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ y - 6z = 7 \\ -2y = -2 \end{array} \right.

 

3Aus der dritten Gleichung ergibt sich

 

\begin{array}{rcl} -2y & = & -2 \\ y & = & 1 \end{array}

 

4Setze den Wert von y in die zweite Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} y - 6z & = & 7 \\ 1 - 6z & = & 7 \\ -6z & = & 6 \\ z & = & -1 \end{array}

 

5Setze die Werte von y, z in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ x + 1 - 1 & = & 1 \\ x & = & 1 \end{array}

 

6Die Lösung des überbestimmten LGS ist

 

x = 1, \ \ y = 1, \ \ z = -1

8Löse das folgende Gleichungssystem:

\left \{ \begin{array}{rcl} 3x + 2y + z & = & 1 \\ 5x + 3y + 4z & = & 2 \\ x + y - z & = & 1 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Tausche die Zeilen {f_1, f_{2}, f_3} entsprechend mit {f_{3}, f_{1}, f_2  } aus und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1& -1 & 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_3} mit {f_{2} - 3 f_1, f_{3} - 5 f_1 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeile {f_3} mit { f_{3} - 2 f_2 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right ) }

 

2Aus der vorhergehenden Matrix erhält man

 

\left \{ \begin{array}{l} x + y - z = 1 \\ -y + 4z = -2 \\ z = 1 \end{array} \right.

 

3Setze den Wert von z in die zweite Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} -y + 4z & = & -2 \\ -y + 4 & = & -2 \\ -y & = & -6 \\ y & = & 6 \end{array}

 

4Setze die Werte von y, z in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ x + 6 - 1 & = & 1 \\ x & = & -4 \end{array}

 

5Die Lösung des überbestimmten LGS ist

 

x = -4, \ \ y = 6, \ \ z = 1

9Löse das folgende Gleichungssystem:

\left \{ \begin{array}{rcl} x - 9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_3} mit {f_{2} - f_1, f_{3} - f_1 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 1 & 3 & -1 & -9 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeile {f_3} mit { 12 f_{3} - 8 f_2 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

2Aus der vorhergehenden Matrix erhält man

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 9y + 5z = 33 \\ 12y - 6z = -42 \end{array} \right.

 

3Definiere z = \lambda und setze den Wert in die zweite Gleichung ein

 

\begin{array}{rcl} 12y - 6z & = & -42 \\ 12y - 6 \lambda & = & -42 \\ y & = & -\cfrac{7}{2} + \cfrac{\lambda}{2} \end{array}

 

4Setze die Werte von y, z in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x - 9y + 5z & = & 33 \\ x - 9 \left ( -\cfrac{7}{2} + \cfrac{\lambda}{2} \right ) + 5 \lambda & = & 33 \\ x & = & \cfrac{3}{2} - \cfrac{\lambda}{2} \end{array}

 

5Die Lösung des unterbestimmten LGS ist

 

x = \cfrac{3}{2} - \cfrac{\lambda}{2}, \ \ y = -\cfrac{7}{2} + \cfrac{\lambda}{2}, \ \ z = \lambda

10Löse das folgende Gleichungssystem

\left \{ \begin{array}{rcl} x - y + z + t & = & 4 \\ 2x + y - 3z + t & = & 4 \\ x - 2y + 2z - t & = & 3 \\ x -3y + 3z - 3t & = & 2 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_3, f_4} mit {f_{2} - 2f_1, f_{3} - f_1, f_4 - f_1 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & -3 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 3 & -3 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -5 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & -4 & -2 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeilen {f_2, f_4} mit { f_{2} + 3 f_3, f_4 - 2 f_3 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -5 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & -4 & -2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -7 & -7 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

2Aus der vorhergehenden Matrix erhält man

 

\left \{ \begin{array}{l} x - y + z + t = 4 \\ -y + z - 2t = -1 \\ -2z - 7t = -7 \end{array} \right.

 

3Definiere t = \lambda und setze den Wert in die dritte Gleichung ein

 

\begin{array}{rcl} -2z - 7t & = & -7 \\ -2z - 7 \lambda & = & -7 \\ z & = & \cfrac{7}{2} - \cfrac{7 \lambda}{2} \end{array}

 

4Setze die Werte von z, t in die zweite Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} -y + z - 2t & = & -1 \\ -y +  \left ( \cfrac{7}{2} - \cfrac{7 \lambda}{2} \right ) - 2 \lambda & = & -1 \\ y & = & \cfrac{9}{2} - \cfrac{11 \lambda}{2} \end{array}

 

5Setze die Werte von y, z, t in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x - y + z + t & = & 4 \\ x - \left ( \cfrac{9}{2} - \cfrac{11 \lambda}{2} \right ) + \left ( \cfrac{7}{2} - \cfrac{7 \lambda}{2} \right ) + \lambda & = & 4 \\ x & = & 5 - 3 \lambda \end{array}

 

6Die Lösung des unterbestimmten LGS ist

 

x = 5 - 3 \lambda, \ \  y = \cfrac{9}{2} - \cfrac{11 \lambda}{2}, \ \ z = \cfrac{7}{2} - \cfrac{7 \lambda}{2}, \ \ t = \lambda

11Löse das folgende Gleichungssystem

\left \{ \begin{array}{rcl} x - 2y - 2z + t & = & 4 \\ x + y + z - t & = & 5 \\ x - y - z + t & = & 6 \\ 6x -3y - 3z + 2t & = & 32 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_3, f_4} mit {f_{2} - f_1, f_{3} - f_1, f_4 - 6 f_3 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 6 \\ 6 & -3 & -3 & 2 & 32 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & -4 & -4 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeilen {f_3, f_4} mit { 3f_{3} - f_2, f_4 - f_2 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & -4 & -4 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -5 \end{array}\right ) }

 

2Die letzte Zeile der vorherigen Matrix ist ein Vielfaches der vorletzten, daher erhält man

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 2y - 2z + t = 4 \\ 3y + 3z - 2t = 1 \\ 2t = 5 \end{array} \right.

 

3Aus der dritten Gleichung ergibt sich t = \cfrac{5}{2}. Definiere z = \lambda und setze den Wert in die zweite Gleichung ein

 

\begin{array}{rcl} 3y + 3z - 2t & = & 1 \\ 3y + 3 \lambda - 2 \cfrac{5}{2} & = & 1 \\ y & = & 2 - \lambda \end{array}

 

4Setze die Werte von y, z, t in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x - 2y - 2z + t & = & 4 \\ x - 2 \left ( 2 - \lambda \right ) - 2 \lambda + \cfrac{5}{2} & = & 4 \\ x & = & \cfrac{11}{2} \end{array}

 

5Die Lösung des unterbestimmten LGS ist

 

x = \cfrac{11}{2}, \ \ y = 2 - \lambda, \ \ z = \lambda, \ \ t = \cfrac{5}{2}

12Löse das folgende Gleichungssystem:

\left \{ \begin{array}{rcl} 2x - 5y + 4z + u - v & = & -3 \\ x - 2y + z - u + v & = & 5 \\ x - 4y + 6z + 2u + v & = & 10  \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um und tausche die Zeilen eins und zwei miteinander aus

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeilen {f_2, f_3} mit { f_{2} - 2 f_1, f_3 - f_1 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & -2 & 5 & 3 & 0 & 5 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeile {f_3} mit { f_{3} - 2 f_2 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & -2 & 5 & 3 & 0 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 & 31 \end{array}\right ) }

 

2Man erhält ein äquivalentes Gleichungssystem

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 2y + z - u + v = 5 \\ -y + 2z + 3u - 3v = -13 \\ z - 3u + 6v = 31 \end{array} \right.

 

3Definiere u = \lambda, v = \mu und setze den Wert in die dritte Gleichung ein

 

\begin{array}{rcl} z - 3u + 6v & = & 31 \\ z & = & 3 \lambda - 6 \mu + 31  \end{array}

 

4Setze die Werte von z, u, v in die zweite Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} -y + 2z + 3u - 3v & = & -13 \\ -y + 2 \left ( 3 \lambda - 6 \mu + 31 \right ) + 3 \lambda -3 \mu & = & -13 \\ y & = & 75 + 9 \lambda - 15 \mu \end{array}

 

5Setze die Werte von z, u, v in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x - 2y + z - u + v & = & 5 \\ x - 2 \left ( 75 + 9 \lambda - 15 \mu \right ) + (3 \lambda - 6 \mu + 31) - \lambda + \mu & = & 5 \\ x & = & 124 + 16 \lambda - 25 \mu \end{array}

13Löse das folgende Gleichungssystem:

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y - z  & = & 1 \\ 3x + 2y + z & = & 1 \\ 5x + 3y + 4z  & = & 2 \\ -2x -y + 5z & = & 6 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_3, f_4} mit {f_{2} - 3f_1, f_{3} - 5 f_1, f_4 + 2 f_1 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1  \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2  \\ -2 & -1 & 5 & 6 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1  \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3  \\ 0 & 1 & 3 & 8 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeilen {f_3, f_4} mit { f_{3} - 2 f_2, f_4 + f_2 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1  \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3  \\ 0 & 1 & 3 & 8 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1  \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1  \\ 0 & 0 & 7 & 6 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeile {f_4} mit {f_4 - 7 f_3 } und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 6 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right ) }

 

2Aus der vorhergehenden Matrix lässt sich ablesen, dass das Gleichungssystem keine gültigen Lösungen besitzt.

 

Parameter bestimmen

14Finde heraus, ob es einen Wert von m gibt, für den das Gleichungssystem Lösungen besitzt. Wenn es einen gibt, löse das Gleichungssystem für diesen Wert von m.

\left \{ \begin{array}{rcl} x + m y + z & = & 1 \\ m x + y + (m - 1) z & = & m \\ x + y + z & = & m + 1 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}} mit {f_{2} - m f_{1}, f_{3} - f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & m & 1 & 1 \\ m & 1 & m-1 & m \\ 1 & 1 & 1 & m + 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & m & 1 & 1 \\ 0 & 1 - m^2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 - m & 0 & m \end{array}\right ) }

 

2Die dritte Zeile zeigt, dass das LGS für m = 1 keine Lösungen vorliegen, da 0 \neq 1

 

3Für m \neq 1ist das überbestimmte LGS gleichwertig mit

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x + my + z & = & 1 \\ (1 - m^2) y - z & = & 0 \\ (1 - m) y & = & m \end{array} \right.

 

Die dritte Gleichung ergibt

 

y = \cfrac{m}{1 - m}

 

Setze den Wert von y in die zweite Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl}(1 - m^2) y - z & = & 0 \\ (1 - m^2) \cfrac{m}{1 - m} - z & = & 0 \\  z & = & (1 + m) m \end{array}

 

Setze die Werte von y, z in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x + my + z  & = & 1 \\ x + m\cfrac{m}{1 - m} + (1 + m)m & = & 1 \\  x & = & \cfrac{m^3 - m^2 - 2m + 1}{1 - m} \end{array}

15Finde heraus, ob es einen Wert von m gibt, für den das Gleichungssystem Lösungen besitzt. SWenn es einen gibt, löse das Gleichungssystem für diesen Wert von m.

\left \{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 7 \\ 2x + m y - 4z & = & m \\ x + y - z & = & 1 \\ -x + y - z & = & 3 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeile {f_4} mit {f_4 + f_{1}}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7 \\ 2 & m & -4 & m \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7 \\ 2 & m & -4 & m \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right ) }

 

2Die vierte Zeile zeigt, dass das LGS für keinen Wert von m Lösungen besitzt, da 0 \neq 10

16Bestimme die Lösung(en) des folgenden LGS für die Werte von a

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + 2t & = & 3 \\ 3x - y + z - t & = & 1 \\ 5x - 3y + 2z - 4t & = & a \\ 2x + y + z + t & = & 2 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}, f_4} mit {f_{2} - 3 f_{1}, f_{3} - 5 f_{1}, f_4 - 2 f_1} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 5 & -3 & 2 & -4 & a \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 1 & -7 & -8 \\ 0 & -8 & 2 & -14 & a - 15 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -4 \end{array}\right ) }

 

2Ersetze die Zeilen {f_{3}, f_4} mit {f_{3} - 2 f_{2},  f_4 - f_2} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 1 & -7 & -8 \\ 0 & -8 & 2 & -14 & a - 15 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -4 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 1 & -7 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a + 1 \\ 0 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right ) }

 

3Die dritte Zeile zeigt, dass das LGS für a = -1 unterbestimmt ist, da 0 = 0

 

4Für a \neq -1 besitzt das LGS keine Lösungen.

17Bestimme die Lösung(en) des folgenden LGS für die Werte von a und b

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y & = & 0 \\ 3x + y + b z & = & 0 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{1}, f_{3}} mit {f_{1} + f_{2}, f_{3} + f_{2}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & b & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & b & 0 \end{array}\right ) }

 

2Ersetze die Zeile {f_{3}} mit {f_{3} - 2 f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & b & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b - 2 & -2a \end{array}\right ) }

 

3Die dritte Zeile zeigt:

 

für b = 2 und a \neq 0, besitzt das LGS keine Lösungen

 

für b = 2 und a = 0 ist das LGS unterbestimmt;

 

für b \neq 2 ist das LGS für jeden Wert von a überbestimmt.

18Bestimme, für welche Werte von k das folgende LGS unendlich viele Lösungen besitzt

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 0 \\ x - y + z & = & 0 \\ kx + z & = & 0 \end{array} \right.

1Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeile {f_{2}} mit {\cfrac{1}{2}(f_{2} + f_{1})} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ) }

 

2Ersetze die Zeile {f_{3}} mit {f_{3} - f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ k - 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

3Die dritte Zeile zeigt, dass das LGS für k = 1 unterbestimmt ist, d.h. unendlich viele Lösungen besitzt.

 

Anwendungsbeispiele linearer Gleichungssysteme

 

19Der Besitzer eines Lokals hat Softdrinks, Bier und Wein im Wert von 500 € (netto) eingekauft. Für den Wein hat er 60 € weniger als für die Softdrinks und das Bier zusammen bezahlt. Berechne, wie viel er für jede Art von Getränk bezahlt hat und beachte dabei, dass die Mehrwertsteuer für die Softdrinks 6 \%, für das Bier 12 \% und für den Wein 30 \% beträgt, sodass sich eine Rechnung von insgesamt 592.4 € inkl. Mehrwertsteuer ergibt.

1Stelle anhand der Variablen x, y, z die Beträge für Softdrinks, Bier und Wein in € dar. Definiere die zugrundeliegenden Bedingungen anhand von Gleichungen

 

Der Besitzer eines Lokals hat Softdrinks, Bier und Wein im Wert von 500 € (netto) eingekauft.

 

x + y + z = 500

 

Für den Wein hat er 60 € weniger als für die Softdrinks und das Bier zusammen bezahlt.

 

x + y - z = 60

 

Beachte, dass die Mehrwertsteuer für die Softdrinks 6 \%, für das Bier 12 \% und für den Wein 30 \% beträgt, sodass sich eine Rechnung von insgesamt 592.4 € inkl. Mehrwertsteuer ergibt. €

 

\cfrac{6x}{100} + \cfrac{12y}{100} + \cfrac{30z}{100} = 92.4

 

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 100

 

6x + 12y + 30z = 9240

 

2Man erhält das folgende Gleichungssystem

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 540 \\ x + y - z & = & 60 \\ 6x + 12y + 30z & = & 9240 \end{array} \right.

 

3Schreibe die drei Gleichungen in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}} mit {f_{1} -  f_{2}, f_{3} - 6 f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 500 \\ 1 & 1 & -1 & 60 \\ 6 & 12 & 30 & 9240 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 500 \\ 0 & 0 & 2 & 440 \\ 0 & 6 & 24 & 6240 \end{array}\right ) }

 

3Das überbestimmte LGS ist äquivalent zu

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 500 \\ 2z & = & 440 \\ 6y + 24z & = & 6240 \end{array} \right.

 

Die zweite Gleichung ergibt

 

z = 220

 

Setze den Wert von z in die dritte Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl}6y + 24z & = & 6240 \\ 6y + 24(220) & = & 6240 \\ y & = & 160 \end{array}

 

Setze die Werte von y, z in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 500 \\ x + 160 + 220 & = & 500 \\ x & = & 120 \end{array}

 

4Die Lösungen sind x = 120 €, y = 160 €, z = 220 €.

20Ein Unternehmen besitzt drei Bergwerke mit Erzen unterschiedlicher Zusammensetzung:

Nickel (%) Kupfer (%) Eisen (%)
Bergwerk A 1 2 3
Bergwerk B 2 5 7
Bergwerk C 1 3 1

Wei viele Tonnen werden aus jedem Bergwerk benötigt, um 7 Tonnen Nickel, 18 Tonnen Kupfer und 16 Tonnen Eisen zu erzeugen?

1Stelle anhand der Variablen x, y, z die Anzahl der Tonnen der Minen A, B und C dar. Definiere die zugrundeliegenden Bedingungen anhand von Gleichungen:

 

\left \{ \begin{array}{rcl} \cfrac{x}{100} + \cfrac{2y}{100} +\cfrac{z}{100} & = & 7 \\ \cfrac{2x}{100} + \cfrac{5y}{100} + \cfrac{3z}{100} & = & 18 \\ \cfrac{3x}{100} + \cfrac{7y}{100} + \cfrac{z}{100} & = & 16 \end{array} \right.

 

2Schreibe die drei Gleichungen in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_1, f_{2}, f_{3}} mit {100 f_{1}, 100 ( f_{2} - 2 f_1), 100 (f_{3} - 3 f_{1})} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} \cfrac{1}{100} & \cfrac{2}{100} & \cfrac{1}{100} & 7 \\ \cfrac{2}{100} & \cfrac{5}{100} & \cfrac{3}{100} & 18 \\ \cfrac{3}{100} & \cfrac{7}{100} & \cfrac{1}{100} & 16 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 700 \\ 0 & 1 & 1 & 400 \\ 0 & 1 & -2 & -5 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeile {f_{3}} mit {f_{3} - f_2} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 700 \\ 0 & 1 & 1 & 400 \\ 0 & 1 & -2 & -500 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 700 \\ 0 & 1 & 1 & 400 \\ 0 & 0 & -3 & -900 \end{array}\right ) }

 

3Das überbestimmte LGS ist äquivalent zu

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 700 \\ y + z & = & 400 \\ -3z & = & -900 \end{array} \right.

 

Die dritte Gleichung ergibt

 

z = 300

 

Setze den Wert von z in die zweite Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl}y + z & = & 400 \\ y + 300 & = & 400 \\ y & = & 100 \end{array}

 

Setze die Werte von y, z in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 700 \\ x + 2(100) + 300 & = & 700 \\ x & = & 200 \end{array}

21Ein Vater ist doppelt so alt wie das Alter seiner beiden Kinder zusammen. Vor wenigen Jahren (genauer gesagt vor so vielen Jahren, wie die Differenz des aktuellen Alters der beiden Kinder ergibt), war der Vater dreimal so alt wie seine beiden Kinder damals zum damaligen Zeitpunkt. Wenn so viele Jahre wie die Summe des aktuellen Alters der beiden Kinder vorbeigegangen sind, sind die drei Personen zusammen 150 Jahre alt. Wie alt war der Vater, als seine beiden Kinder geboren wurden?

1Stelle anhand der Variablen x, y, z das aktuelle Alter des Vaters sowie des älteren und des jüngeren Kindes dar. Definiere die zugrundeliegenden Bedingungen anhand von Gleichungen

 

Ein Vater ist doppelt so alt wie das Alter seiner beiden Kinder zusammen.

 

\begin{array}{rcl} x & = & 2(y + z) \\ x - 2y -2z & = & 0 \end{array}

 

Vor wenigen Jahren (genauer gesagt vor so vielen Jahren, wie die Differenz des aktuellen Alters der beiden Kinder ergibt), war der Vater dreimal so alt wie seine beiden Kinder damals zum damaligen Zeitpunkt.

 

\begin{array}{rcl} x - (y - z) & = & 3[y - (y - z) + z - ( y - z)] \\ x + 2y - 8z & = & 0 \end{array}

 

Wenn so viele Jahre wie die Summe des aktuellen Alters der beiden Kinder vorbeigegangen sind, sind die drei Personen zusammen 150 Jahre alt.

 

\begin{array}{rcl} x + (y + z) + y + (y + z) + z  + ( y + z) & = & 150 \\ x + 4y + 4z & = & 150 \end{array}

 

2Man erhält das folgende Gleichungssystem

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x - 2y - 2z & = & 0 \\ x + 2y - 8z & = & 0 \\ x + 4y + 4z & = & 150 \end{array} \right.

 

3Schreibe die drei Gleichungen in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen {f_{2}, f_{3}} mit {f_{2} - f_{1}, f_{3} - f_{1}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -8 & 0 \\ 1 & 4 & 4 & 150 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 6 & 150 \end{array}\right ) }

 

Ersetze die Zeile {f_{3}} mit {2 f_{3} - 3 f_{2}} und du erhältst

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 6 & 150 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 30 & 300 \end{array}\right ) }

 

3Das überbestimmte LGS ist äquivalent zu

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x - 2y - 2z & = & 0 \\ 4y - 6z & = & 0 \\ 30z & = & 300 \end{array} \right.

 

Die dritte Gleichung ergibt

 

z = 10

 

Setze den Wert von z in die zweite Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl}4y - 6z & = & 0 \\ 4y - 6(10) & = & 0 \\ y & = & 15 \end{array}

 

Setze die Werte von y, z in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\begin{array}{rcl} x - 2y - 2z & = & 0 \\ x - 2(15) - 2(10) & = & 0 \\ x & = & 50 \end{array}

 

4Der Vater war bei der Geburt seiner Kinder 35 und 40 Jahre alt.

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.