Wie löst man ein LGS mit zwei Variablen?

Um Gleichungssysteme mit zwei Variablen zu lösen, wendet man folgende Rechenverfahren an:

Das Einsatzverfahren

Schritt 1. Löse eine der Gleichungen nach einer der beiden Variablen auf.

Schritt 2. Setze den Ausdruck, den du als Ergebnis erhältst, in die andere Gleichung ein, um eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

Schritt 3. Löse die Gleichung.

Schritt 4. Setze das Ergebnis daraus in die Gleichung ein, in der du nach der ersten Variablen aufgelöst hast.

Schritt 5. Die beiden Werte stellen die Lösungen des Gleichungssystems dar.

 

Unsere besten verfügbaren Mathe-Nachhilfelehrer
Elisabeth
5
5 (35 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (65 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (73 Bewertungen)
Rafael
50€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Lucas
5
5 (46 Bewertungen)
Lucas
33€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (36 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Peter
5
5 (25 Bewertungen)
Peter
35€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (36 Bewertungen)
Thomas
94€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (20 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (35 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (65 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (73 Bewertungen)
Rafael
50€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Lucas
5
5 (46 Bewertungen)
Lucas
33€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (36 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Peter
5
5 (25 Bewertungen)
Peter
35€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (36 Bewertungen)
Thomas
94€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (20 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Los geht's

Rechenbeispiel: Lösung eines Gleichungssystems durch das Einsatzverfahren

 

1 {\left\{\begin{matrix} 3x - 4y = -6 \\ 2x + 4y = 16 \end{matrix}\right.}

 

Schritt 1. Löse eine der Gleichungen nach einer der beiden Variablen auf. Wähle dafür die Variable mit dem niedrigsten Koeffizienten. {2x = 16 - 4y}
{x = 8 - 2y}
Schritt 2. Ersetze x in der anderen Gleichung mit dem erhaltenen Wert: {3(8-2y) - 4y = -6}

Schritt 3. Löse die Gleichung:{24 - 6y -4y = -6}
{-10y = -30}
{y = 3}

Schritt 4. Setze den Wert in die Gleichung ein, die du durch Auflösen nach der ersten Variablen erhalten hast.{x = 8 - 2(3) = 8 - 6}
{x = 2}

Schritt 5. Lösung:
{x = 2, y = 3}

 

Das Gleichsetzungsverfahren

 

Schritt 1. Löse beide Gleichungen nach derselben Variable auf.

Schritt 2. Setze die erhaltenen Ausdrücke miteinander gleich, sodass deine Gleichung nur noch eine Unbekannte enthält.

Schritt 3. Löse die Gleichung.

Schritt 4. Setze das Ergebnis in eine der Gleichungen ein, die du zu Beginn nach der Unbekannten aufgelöst hast.

Schritt 5. Die beiden Werte stellen die Lösungen des Gleichungssystems dar.

 

Rechenbeispiel: Lösung eines Gleichungssystems durch das Gleichsetzungsverfahren

 

1 {\left\{\begin{matrix} 3x - 4y = -6 \\ 2x + 4y = 16 \end{matrix}\right.}

 

Schritt 1. Löse beide Gleichungen beispielsweise gleichermaßen nach {x} auf: {3x = -6 + 4y \quad \quad x = \dfrac{-6+4y}{3}}
{2x = 16 - 4y \quad \quad x = \dfrac{16 - 4y}{2}}
Schritt 2. Setze beide Ausdrücke miteinander gleich: {\dfrac{-6+4y}{3} = \dfrac{16 - 4y}{2}}

Schritt 3. Löse die Gleichung:{2(-6 + 4y) = 3(16 - 4y)}
{-12+8y = 48 - 12y}
{8y + 12y = 48 + 12}
{20y = 60}
{y = 3}

Schritt 4. Setze den Wert von {y} in eine der beiden Gleichungen ein, die du durch Auflösen nach {x} erhalten hast:{x = \dfrac{-6+4y}{3} = \dfrac{-6+4(3)}{3} = \dfrac{-6+12}{3} = \dfrac{6}{3}}
{x = 2}

Schritt 5.

Lösung:
{x = 2, y = 3}

 

Reduktionsverfahren

Schritt 1. Die beiden Gleichungen werden jeweils mit einem geeigneten Ausdruck multipliziert.

Schritt 2. Bilde die Differenz der beiden Gleichungen, sodass eine der Variablen wegfällt.

Schritt 3. Löse die erhaltene Gleichung.

Schritt 4. Setze das Ergebnis in eine der Ursprungsgleichungen ein und löse diese auf.

Schritt 5. Die beiden Werte stellen die Lösungen des Gleichungssystems dar.

 

Rechenbeispiel: Lösung eines Gleichungssystems durch das Reduktionsverfahren

 

1 {\left\{\begin{matrix} 3x - 4y = -6 \\ 2x + 4y = 16 \end{matrix}\right.}

 

Schritt 1. Es bietet sich an, die Variable y zu eliminieren, um die Gleichungen nicht verändern zu müssen; lass uns hier aber x eliminieren, um das Verfahren besser zu veranschaulichen. {\left\{\begin{matrix} 3x - 4y = -6 & \xrightarrow{\times 2} & 6x - 8y = -12\\ 2x + 4y = 16 & \xrightarrow{\times (-3)} & -6x - 12y = -48 \end{matrix}\right.}
Schritt 2 und 3. Bilde die Differenz und löse die Gleichung: {\left\{\begin{matrix} 6x - 8y = -12\\ -6x - 12y = -48\\ \hline \end{matrix}\right.}
{\hspace{2} 4y = 36}
{y = 3}
Schritt 4. Setze den Wert von {y} in die zweite Ursprungsgleichung ein:{2x + 4(3) = 16}
{2x + 12 = 16}
{2x = 4}
{x = 2}
Schritt 5. Lösung:
{x = 2, y = 3}

 

Übungsaufgaben zur Lösung von 2x2-Gleichungssystemen

 

1 {\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 4y = 0 \end{matrix}\right.}

 

Lösen durch das Einsatzverfahren.

{\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 4y = 0 \end{matrix}\right.}

Schritt 1.

{3x = -4y \quad \quad x = \dfrac{-4y}{3}}

Schritt 2 und 3.

{2(\frac{-4y}{3}) + 3y = -1}
{\frac{-8y}{3} + 3y = -1}
{-8y + 9y = -3}
{y = -3}

Schritt 4.

{x = \frac{-4(-3)}{3} = \frac{12}{3}}
{x = 4}

Schritt 5.

{x = 4, y = -3}

Lösen durch das Gleichsetzungsverfahren.

{\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 4y = 0 \end{matrix}\right.}

Schritt 1.

{3x = -4y \quad \quad x = \dfrac{-4y}{3}}
{2x = -1 -3y \quad \quad x = \dfrac{-1-3y}{2}}

Schritt 2 und 3.

{\dfrac{-4y}{3} = \dfrac{-1-3y}{2}}
{3(-1 - 3y) = 2(-4y)}
{-3-9y = -8y}
{y = -3}

Schritt 4.

{x = \frac{-4(-3)}{3} = \frac{12}{3}}
{x = 4}

Schritt 5.

{x = 4, y = -3}

Lösen durch das Reduktionsverfahren.

{\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 4y = 0 \end{matrix}\right.}

Schritt 1.

{\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 & \xrightarrow{\times 3} & 6x + 9y = -3\\ 3x + 4y = 0 & \xrightarrow{\times (-2)} & -6x - 8y = 0 \end{matrix}\right.}

Schritt 2 und 3.

{\left\{\begin{matrix} 6x + 9y = -3\\ -6x - 8y = 0\\ \hline \end{matrix}\right.}
{y = -3}

Schritt 4.

{x = \frac{-4(-3)}{3} = \frac{12}{3}}
{x = 4}

Schritt 5.
{x = 4, y = -3}

Lösen anhand der grafischen Methode

Stelle beide Gleichungen grafisch im Koordinatensystem dar und du erhältst:

grafische-methode-1
Abbildung 1: Grafische Darstellung

1 {\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{matrix}\right.}

 

Lösen durch das Einsatzverfahren.

{\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{matrix}\right.}

Schritt 1.

{3x = 7 - 2y \quad \quad x = \dfrac{7 - 2y}{3}}

Schritt 2 und 3.

{4( \frac{7 - 2y}{3}) - 3y = -2}
{\frac{28 - 8y}{3} - 3y = -2}
{28 -8y - 9y = -6}
{-17y = -34}
{y = 2}

Schritt 4.

{x = \frac{7 - 2(2)}{3} = \frac{7 - 4}{3} = \frac{3}{3}}
{x = 1}

Schritt 5.
{x = 1, y = 2}

Lösen durch das Gleichsetzungsverfahren.

{\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{matrix}\right.}

Schritt 1.
{3x = 7 - 2y \quad \quad x = \dfrac{7 - 2y}{3}}
{4x = -2 + 3y \quad \quad x = \dfrac{-2 + 3y}{4}}

Schritt 2 und 3.
{\dfrac{7 - 2y}{3} = \dfrac{-2 + 3y}{4}}
{4(7 - 2y) = 3(-2 + 3y}
{28-8y = -6 + 9y}
{-17y = -34}
{y = 2}

Schritt 4.

{x = \frac{7 - 2(2)}{3} = \frac{7 - 4}{3} = \frac{3}{3}}
{x = 1}

Schritt 5.

{x = 1, y = 2}

Lösen durch das Reduktionsverfahren.

{\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{matrix}\right.}

Schritt 1.
{\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 & \xrightarrow{\times 3} & 9x + 6y = 21\\ 4x - 3y = -2 & \xrightarrow{\times 2} & 8x - 6y = -4 \end{matrix}\right.}

Schritt 2 und 3.
{\left\{\begin{matrix} 9x + 6y = 21\\ 8x - 6y = -4\\ \hline \end{matrix}\right.}
{17x = 17}
{x = 1}

Schritt 4.

{3(1) + 2y = 7}
{2y = 7 - 3}
{y = 2}

Schritt 5.

{x = 1, y = 2}

Lösen anhand der grafischen Methode

Stelle beide Gleichungen grafisch im Koordinatensystem dar und du erhältst:

grafische-methode-2
Abbildung 2: Grafische Darstellung

>

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 5,00 (1 Note(n))
Loading...

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.