Was sind lineare Gleichungen?

Lineare Gleichungen ersten Grades sind nach der Form ax+b=0 aufgebaut.a ist dabei ungleich Null und steht für eine beliebige Zahl oder eine weitere Gleichung.

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Los geht's

Wie kann man lineare Gleichungen Schritt für Schritt lösen?

 

Um eine lineare Gleichung ersten Grades zu lösen, führt man generell folgende Rechenschritte durch:

 

1 Löse zuerst alle Klammern auf

z.B. bei Ausdrücken der Art

3(x-8) + 6(2-x) - (x-2)=x

Löse weiter mithilfe des Distributivgesetzes auf, nach dem a(b+c)=ab+ac ist, und achte auf die Änderung der Vorzeichen.

3(x-8) + 6(2-x) - (x-2)=x \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 3x-24+12-6x-x+2=x

 

2 Löse die Nenner auf

Wenn Bruchterme im mathematischen Ausdruck vorliegen, identifiziere zuerst die unterschiedlichen Nenner, berechne deren kleinstes gemeinsames Vielfaches (KGV) und multipliziere die Gleichung mit dem KGV. Anstelle des KGVs kannst du auch das Produkt aller Nenner berechnen, die KGV-Methode bietet sich jedoch an, da sie sich etwas einfacher durchführen lässt:

\displaystyle \frac{x-10}{2} + \frac{x+8}{4} = 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \text{KGV}(2,4) = 4

Multipliziere den ersten Bruch mit \displaystyle \frac{2}{2}

\displaystyle  \frac{2(x-10)}{4}  + \frac{(x+8)}{4} = 0  \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm}  2(x-10)  + (x+8) = 0 \cdot 4

Löse erneut die Klammer auf, um die Gleichung zu vereinfachen

\displaystyle  2x-20  + x+8 = 0  \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm}  3x+12 = 0

 

3 Fasse alle Terme mit Variable x und alle unabhängigen Terme soweit wie möglich zusammen

Forme die Gleichung nun um: bringe durch Addieren oder Subtrahieren alle Terme mit x auf eine Seite der Gleichung und alle unabhängigen Terme auf die andere. Um zum Beispiel den Term 2x aus einer Summe auf die andere Seite der Gleichung zu bringen, muss man 2x auf beiden Seiten der Gleichung abziehen, sodass -2x auf der anderen Seite steht

 8x-64 = 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm}  8x=64

 10x+12 = 7x+33 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 10x-7x=33-12

 

4 Verrechne ähnliche Terme soweit wie möglich miteinander

Addiere oder subtrahiere alle Elemente mit Variable x miteinander. Verrechne ebenso alle unabhängigen Terme miteinander, zum Beispiel:

  10x-7x=33-12 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 3x=21

  9x-3x+2x+x=5+27+54-12+7 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 9x=81

 

5 Stelle die Gleichung nun um und löse nach der Unbekannten (x) auf

Wenn ein Koeffizient vor der Variablen x steht, bringe diesen auf die andere Seite der Gleichung, indem du beide Seiten durch den Wert des Koeffizienten teilst. Dieses Verfahren nennt man umstellen. Die Elemente der Gleichung werden so umgestellt, dass die Variable alleinsteht.

 \displaystyle 9x=81 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=\frac{81}{9} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=9

 

Rechenaufgaben zu linearen Gleichungen

12x=6.

 

2x=6

Stelle die Gleichung um:

\displaystyle x=\frac{6}{2}

x=3

22x-3=6+x

2x-3=6+xGruppiere alle Terme mit Variable auf einer und alle unabhängigen Terme auf der anderen Seite der Gleichung und verrechne sie miteinander:

2x-x=6+3

x=9

32(2x-3)=6+x

 

2(2x-3)=6+x

Löse die Klammer auf:

4x-6=6+x

Fasse gleiche Terme auf der jeweiligen Seite zusammen und vereinfache:

4x-x=6+6

3x=12

Löse nach x auf:

\displaystyle x=\frac{12}{3}

 x=4

4\displaystyle \frac{x-1}{6}-\frac{x-3}{2}=-1

 

\displaystyle \frac{x-1}{6}-\frac{x-3}{2}=-1

Löse die Nenner mithilfe des kleinsten gemeinsamen Vielfachen auf

\text{KGV}(6,2)=6

x-1-3(x-3)=-6

Löse die Klammer auf, fasse gleiche Elemente zusammen und addiere sie miteinander:

x-1-3x+9=-6

x-3x=-6-9+1

-2x=-14

Forme um, sodass x alleinsteht und vereinfache soweit wie möglich:

2x=14

\displaystyle x=\frac{14}{2}

x=7

5 \displaystyle \frac{3}{2}(2x+4)=x+20

 

\displaystyle \frac{3}{2}(2x+4)=x+20

Löse die Klammer auf und vereinfache

\displaystyle \frac{6x}{2}+\frac{12}{2}=x+20

Entferne die Nenner, gruppiere ähnliche Elemente und addiere sie miteinander

\displaystyle 3x+6=x+20

3x - x=20 - 6

2x=14

x=7

6\displaystyle 2-\left[-2\cdot(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

\displaystyle 2-\left[-2\cdot(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

Löse die äußere Klammer auf

\displaystyle 2-\left(-2x-2-\frac{x-3}{2}\right)=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

Löse die innere Klammer auf

\displaystyle 2+2x+2+\frac{x-3}{2}=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

Entferne den Bruch

24+24x+24+6\cdot(x-3) = 8x-(5x-3)+36x

Löse die Klammer auf

24+24x+24+6x-18=8x-5x+3+36

Fasse gleich Elemente zusammen und addiere

24x+6x-8x+5x-36x=3-24-24+18

-9x=-27

Teile die Gleichung auf beiden Seiten durch -9

\displaystyle x=\frac{-27}{-9}

x=3

74(x-10)=-6(2-x)-6x

 

4(x-10)=-6(2-x)-6x

Löse die Klammern auf

4x-40=-12+6x-6x

Bringe alle Terme mit Variable x auf eine Seite der Gleichung, alle unabhängigen Terme auf die andere

4x-6x+6x=-12+40

Addiere ähnliche Elemente miteinander, um die Gleichung zu vereinfachen

4x=28

Teile die Gleichung auf beiden Seiten durch 4

\displaystyle x=\frac{28}{4}

x=7

82(x+1)-3(x-2)=x+6

 

2(x+1)-3(x-2)=x+6

Löse die Klammern auf

2x+2-3x+6=x+6

Bringe alle Terme mit Variable x auf eine Seite der Gleichung, alle unabhängigen Terme auf die andere

2x-3-x=6-2-6

Addiere ähnliche Elemente miteinander, um die Gleichung zu vereinfachen

\displaystyle -2x=-2

Teile durch -2

\displaystyle  x=\frac{-2}{-2}

\displaystyle x=1

9\displaystyle \frac{x-1}{4}-\frac{x-5}{36}=\frac{x+5}{9}

 

\displaystyle \frac{x-1}{4}-\frac{x-5}{36}=\frac{x+5}{9}

Bestimme das KGV der Nenner

\text{KGV}(4,36,9)=36

Multipliziere die Gleichung mit 36

\displaystyle \frac{36(x-1)}{4}-\frac{36(x-5)}{36}=\frac{36(x+5)}{9}

Vereinfache

\displaystyle 9(x-1)-(x-5)=4(x+5)

Löse die Klammern auf

9x-9-x+5=4x+20

Bringe alle Terme mit Variable x auf eine Seite der Gleichung, alle unabhängigen Terme auf die andere

9x-x-4x=20+9-5

Addiere ähnliche Elemente miteinander, um die Gleichung zu vereinfachen

\displaystyle 4x=24

Teile durch 4

\displaystyle x=\frac{24}{4}

\displaystyle x=6

10\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\left)=3\left(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\left)-\frac{3}{8}(3x-2)

\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\left)=3\left(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\left)-\frac{3}{8}(3x-2)

Löse die Klammern auf

\displaystyle \frac{6(x+1)}{8}-\frac{6(2x-3)}{16}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}

\displaystyle \frac{6x+6}{8}-\frac{12x-18}{16}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}

Bestimme das KGV der Nenner

\text{KGV}(8,16,4)=16

Multipliziere die Gleichung mit 16

\displaystyle \frac{16(6x+6)}{8}-\frac{16(12x-18)}{16}=\frac{16\times 9}{4}x-\frac{16 \times 3}{4}-\frac{16\times 9}{8}x+\frac{16\times 6}{8}

2(6x+6)-(12x-18)=36x-12-18x+12

Löse die Klammern auf

12x+12-12x+18=36x-12-18x+12

Bringe alle Terme mit Variable x auf eine Seite der Gleichung, alle unabhängigen Terme auf die andere und vereinfache

12+18=36x-18x

\displaystyle 30 =18x

Teile die gesamte Gleichung durch 6 und löse nach x auf

\displaystyle  3x=5

\displaystyle   x=\frac{5}{3}

11\displaystyle \frac{4}{x-3}=\frac{5}{x-2}

 

\displaystyle \frac{4}{x-3}=\frac{5}{x-2}

Multipliziere die Gleichung auf beiden Seiten mit dem Produkt der Nenner, das heißt mit

(x-3)(x-2)

\displaystyle \frac{4(x-3)(x-2)}{x-3}=\frac{5(x-3)(x-2)}{x-2}

Vereinfache

4(x-2)=5(x-3)

Löse die Klammern auf

4x-8=5x-15

Stelle die Gleichung um, sodass alle Variablen auf der einen und alle unabhängigen Terme auf der anderen Seite stehen

-8+15=5x-4x

x=7

12\displaystyle 2-\left[-2\cdot(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

\displaystyle 2-\left[-2\cdot(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

Löse die Klammern auf

\displaystyle 2-\left(-2x-2-\frac{x-3}{2}\right)=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

\displaystyle 2+2x+2+\frac{x-3}{2}=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

Bestimme das KGV der Nenner

\text{KGV}(2,3,12)=12

Multipliziere die Gleichung mit 12

\displaystyle 24+24x+24+\frac{12(x-3)}{2}=\frac{24x}{3}-\frac{12(5x-3)}{12}+36x

\displaystyle 24+24x+24+6(x-3)=8x-(5x-3)+36x

Löse die Klammern auf

\displaystyle 24+24x+24+6x-18=8x-5x+3+36x

Bringe alle Terme mit Variable x auf eine Seite der Gleichung, alle unabhängigen Terme auf die andere und vereinfache

\displaystyle 24x+6x- 8x+5x-36x=3-24-24+18

\displaystyle -9x=-27

Löse nach x auf

\displaystyle x=\frac{-27}{-9}

\displaystyle  x=3

13\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}=\frac{-5x-4}{14}+\frac{7x}{6}

\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}=\frac{-5x-4}{14}+\frac{7x}{6}

Bestimme das KGV der Nenner

\text{KGV}(7,3,14,6)=42

Multipliziere mit 42

\displaystyle \frac{42(3x+1)}{7}-\frac{42(2-4x)}{3}=\frac{42(-5x-4)}{14}+\frac{42(7x)}{6}

Teile 42 durch die jeweiligen Nenner, um den Koeffizienten zu erhalten, zum Beispiel

\frac{42}{7}=6

\displaystyle 6(3x+1)-14(2-4x) = 3(-5x-4)+49x

Löse die Klammern auf

18x+6-28+56x=-15x-12+49x

Bringe alle Terme mit Variable x auf eine Seite der Gleichung, alle unabhängigen Terme auf die andere und vereinfache

18x+56x+15x-49x=-12-6+28

\displaystyle 40x=10

Teile durch 10 und löse nach x auf

\displaystyle  4x=1

\displaystyle  x=\frac{1}{4}

14\displaystyle \frac{5}{x-7}=\frac{3}{x-2}

 

\displaystyle \frac{5}{x-7}=\frac{3}{x-2}

Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Produkt der Nenner, das heißt mit

(x-7)(x-2)

\displaystyle \frac{5(x-7)(x-2)}{x-7}=\frac{3(x-7)(x-2)}{x-2}

Vereinfache

5(x-2)=3(x-7)

Löse die Klammern auf

5x-10=3x-21

Bringe alle Terme mit Variable x auf eine Seite der Gleichung, alle unabhängigen Terme auf die andere und vereinfache

5x-3x=-21+10

\displaystyle 2x=-11

Löse nach x auf

\displaystyle x=-\frac{11}{2}

15\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1=x

 

\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1=x
Löse die Klammern auf

\displaystyle \frac{2}{3}\left(x-1+\frac{x-2}{3}\right)+1=x

\displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}+\frac{2x-4}{9}+1=x

Bestimme das KGV der Nenner

\text{KGV}(3,9)=9

Multipliziere die Gleichung mit 9

\displaystyle \frac{18}{3}x-\frac{18}{3}+\frac{18x-36}{9}+9=9x

Vereinfache

6x-6+2x-4+9=9x

Bringe alle Terme mit Variable x auf eine Seite der Gleichung, alle unabhängigen Terme auf die andere und multipliziere die Gleichung mit -1

-x=1

x=-1

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.