Lösen nach Einsetzungsverfahren und grafischer Methode

 

1 Löse das folgende Gleichungssystem mithilfe des Einsetzungsverfahrens und der grafischen Methode.

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = -1\\3x + 4y & = 0\end{cases}

 

1Beginne mit der Andwendung des Einsetzungsverfahrens:

 

Beim Einsetzungsverfahren löst man nach einer der in der ersten Gleichung vorkommenden Variablen auf und setzt das Ergebnis in die zweite Gleichung ein. Löse nach x aus der zweiten Gleichung auf

 

\displaystyle 3x = -4y \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{3}y

 

Hier wählt man am Besten die zweite Gleichung, da diese gleich Null ist; das macht den Vorgang etwas einfacher. Setze nun den Wert von x in die erste Gleichung ein

 

\displaystyle -1 = 2\left( -\frac{4}{3}y \right) + 3y = -\frac{8}{3}y + 3y = \frac{1}{3}y

 

Das heißt, y = -3. Setze nun den Wert von y in den für x erhaltenen Term ein:

 

\displaystyle x = -\frac{4}{3}y = -\frac{4}{3}(-3) = 4

 

Als Lösung erhält man folglich x = 4, y = -3.

 

2 Löse das Gleichungssystem nun mithilfe der grafischen Methode:

 

Bei der grafischen Methode werden die beiden Geraden in einem Koordinatensystem visuell dargestellt. Um die Gleichung zu lösen, muss der Schnittpunkt der beiden Geraden ermittelt werden:

 

imagen

 

Die Grafik zeigt, dass die Lösung x = 4 und y = -3 ist. Denke daran, bei der Zeichnung der Grafik sehr genau vorzugehen.

 

2Löse das folgende Gleichungssystem mithilfe des Einsetzungsverfahrens:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 3y}{2} & = 5\\3x - y & = 5y\end{cases}

 

Ein Vorteil des Einsetzungsverfahrens ist, dass die Gleichung nicht vereinfacht werden muss, um die Variable zu berechnen. Das heißt, sie kann ohne Umwege gelöst werden.

 

Ermittle zuerst den Wert von x aus der zweiten Gleichung:

 

\displaystyle 3x = 5y + y = 6y \quad \Longrightarrow \quad x = 2y

 

Setze nun den Wert von x in die erste Gleichung ein:

 

\displaystyle 5 = \frac{2y + 3y}{2} = \frac{5y}{2} \quad \Longrightarrow \quad 10 = 5y

 

Du erhältst y = 2. Setze nun den Wert von y in den für x ermittelten Term ein:

 

\displaystyle x = 2y = 2(2) = 4

 

Die Lösung der Gleichung ist folglich x = 4 und y = 2.

 

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Los geht's

Lösen nach Gleichsetzungsverfahren

 

Zur Erinnerung: das Gleichsetzungsverfahren kann nur dann verwendet werden, wenn ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen gelöst werden soll. Diese Methode sowie die grafische Methode sind auf 2 \times 2-Gleichungssysteme beschränkt.

 

3 Löse das folgende Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 3y}{2} & = 5\\4 - \frac{2x - y}{2} & = 1\end{cases}

 

Um das Gleichungssystem durch Gleichsetzen zu lösen, muss im ersten Schritt in beiden Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst werden. Löse in beiden Gleichungen nach x auf:

 

\displaystyle \frac{x + 3y}{2} = 5 \quad \Longrightarrow \quad x + 3y = 10

 

folglich ist x = 10 - 3y. Für die zweite Gleichung ergibt sich

 

\displaystyle 4 - \frac{2x - y}{2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2x - y = (4 - 1)\cdot 2 = 6

 

folglich ist 2x = 6 + y y x = (6 + y)/2. Setze nun beide Gleichungen miteinander gleich

 

\displaystyle 10 - 3y = \frac{6 + y}{2}

 

Löse in dieser Gleichung nach y auf:

 

\displaystyle 6 + y = 2(10 - 3y) = 20 - 6y \quad \Longrightarrow \quad 7y = 14

 

folglich ist y = 2. Setze nun den Wert von y in die erste Gleichung ein

 

\displaystyle \frac{x + 3(2)}{2} = 5 \quad \Longrightarrow x + 6 = 10

 

folglich ist x = 4. Die Lösung ist folglich x = 4 y y = 2.

 

4 Löse das folgende Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens:

 

\displaystyle \begin{cases}3x + 2y & = 7\\4x - 3y & = -2\end{cases}

 

Wie im vorherigen Beispiel muss zuerst in beiden Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst werden. Löse in diesem Fall nach y auf. Für die erste Gleichung erhältst du:

 

\displaystyle 3x + 2y = 7 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{7 - 3x}{2}

 

Für die zweite Gleichung erhältst du:

 

\displaystyle 4x - 3y = -2 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{4x + 2}{3}

 

Setze nun die beiden Gleichungen miteinander gleich

 

\displaystyle \frac{7 - 3x}{2} = \frac{4x + 2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 3(7 - 3x) = 2(4x + 2)

 

folglich ist

 

\displaystyle 21 - 9x = 8x + 4 \quad \Longrightarrow \quad 17x = 17

 

das heißt x = 1. Setze den Wert von x in die erste Gleichung ein und du erhältst

 

\displaystyle 3(1) + 2y = 7 \quad \Longrightarrow \quad 2y = 7 - 3 = 4

 

folglich ist y = 2. Die Lösungen sind daher x = 1 y y = 2.

 

Lösen nach Reduktionsverfahren

 

Zur Erinnerung: beim Reduktionsverfahren müssen alle Variablen x aus allen Gleichungen mit Ausnahme der ersten Gleichung eliminiert werden. Anschließend müssen in allen Gleichungen mit Ausnahme der ersten und zweiten Gleichung alle Variablen y eliminiert werden.

 

Diese Methode entspricht dem Gaußschen Eliminationsverfahren, mit dem einzigen Unterschied, dass die dem Gleichungssystem zugehörige Matrix nicht verwendet wird.

 

5 Löse das folgende Gleichungssystem mithilfe des Reduktionsverfahrens:

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = -1\\3x + 4y & = 0\end{cases}

 

Im ersten Schritt müssen alle x der zweiten Gleichung eliminiert werden. Multipliziere die erste Gleichung dafür mit 3/2 und ziehe das Ergebnis von der zweiten Gleichung ab:

 

\displaystyle \frac{3}{2}(2x + 3y = -1) \quad \Longrightarrow \quad 3x + \frac{9}{2}y = -\frac{3}{2}

 

Setze nun die vorherige Gleichung mit der zweiten Gleichung gleich:

 

\displaystyle \begin{array}{r}\begin{cases}\quad \; 3x + 4y & = 0\\-(3x + \frac{9}{2} y & = -\frac{3}{2})\end{cases}\\\hline-\frac{1}{2}y = \frac{3}{2}\end{array}

 

folglich ist y = -3. Setze den Wert von y in die erste Gleichung ein:

 

\displaystyle -1 = 2x + 3(-3) = 2x - 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 8

 

Folglich ist x = 4.

 

Man sieht, dass es sich um dasselbe Gleichungssystem wie in der vorherigen Aufgabe handelt und dass man trotz unterschiedlichem Lösungsweg zum selben Ergebnis kommt.

 

6 Löse das folgende Gleichungssystem mithilfe des Reduktionsverfahrens:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + y}{2} & = x - 1\\\frac{x - y}{2} & = y + 1\end{cases}

 

Bevor das Reduktionsverfahren angewendet werden kann, muss das Gleichungssystem so umgeschrieben werden, dass alle unabhängigen Terme auf der rechten Seite stehen. Multipliziere dafür beide Gleichungen mit 2:

 

\displaystyle \begin{cases}x + y & = 2(x-1) = 2x - 2\\x - y & = 2(y + 1) = 2y + 2\end{cases}

 

Bringe nun alle Variablen auf die linke Seite:

 

\displaystyle \begin{cases}-x + y & = -2\\x - 3y & = 2\end{cases}

 

Addiere die erste mit der zweiten Gleichung:

 

\displaystyle \begin{array}{r}\begin{cases}\quad \; -x + y & = -2\\+(x - 3 y & = 2)\end{cases}\\\hline-2y = 0\end{array}

 

Folglich ist y = 0. Setze den Wert von y in die erste Gleichung ein:

 

\displaystyle -x + 0 = -2 \quad \Longrightarrow \quad x = 2

 

Als Lösung erhält man x = 2 und y = 0.

 

Lösen nach einer beliebigen Methode

 

7 Löse das folgende Gleichungssystem nach der Methode deiner Wahl:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} & = 4\\\frac{x}{3} + y & = 1\end{cases}

 

Das Gleichungssystem kann durch Einsetzen gelöst werden. Löse dafür die zweite Gleichung nach y auf

 

\displaystyle y = 1 - \frac{x}{3}

 

Setze nun den Wert von y in die erste Gleichung ein:

 

\displaystyle 4 = \frac{x}{2} + \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{x}{3} \right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{3} - \frac{x}{9}

 

Durch umschreiben der unabhängigen Terme auf die rechte Seite und der Variablen auf die linke, sieht die Gleichung nun wie folgt aus:

 

\displaystyle \frac{7x}{18} = \frac{11}{3}

 

durch Auflösen nach x erhält man

 

\displaystyle x = \frac{11 \cdot 18}{3 \cdot 7} = \frac{66}{7}

 

Setze nun den Wert von x in den Term ein, den du für y ermittelt hast und du erhältst

 

\displaystyle y = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{66}{7} = 1 - \frac{22}{7} = - \frac{15}{7}

 

Die Lösung ist folglich x = 66/7 y y = -15/7

 

8 Finde die Lösungen des folgenden Gleichungssystems:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{2} & = 0\\\frac{x + 2y}{3} - \frac{x + y + 2}{4} & = 0\end{cases}

 

Um dieses Gleichungssystem zu lösen, müssen zuerst die Brüche durch Auflösen der Nenner eliminiert werden. Multipliziere hierfür mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. Für die erste Gleichung erhältst du:

 

\displaystyle \left( \frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{2} = 0 \right) \cdot 6 \quad \Longrightarrow \quad 2x + 2 + 3y - 3 = 0

 

folglich ist 2x + 3y = 1. Für die zweite Gleichung ergibt sich:

 

\displaystyle \left( \frac{x + 2y}{3} - \frac{x + y + 2}{4} = 0 \right) \cdot 12 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 8y - 3x - 3y - 6 = 0

 

und folglich x + 5y = 6.Das Gleichungssystem sieht nun wie folgt aus:

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = 1\\x + 5y & = 6\end{cases}

 

Löse nun nach einer Methode deiner Wahl auf. Wir verwenden das Einsetzungsverfahren. Zuerst lösen wir in der zweiten Gleichung nach x auf:

 

\displaystyle x = 6 - 5y

 

Dann setzen wir den Wert von x in die erste Gleichung ein:

 

\displaystyle 1 = 2(6 - 5y) + 3y = 12 - 10y + 3y = 12 - 7y

 

folglich ergibt sich7y = 11 oder y = 11/7. Nun setzen wir den Wert von y in den für x erhaltenen Term ein:

 

\displaystyle x = 6 - 5 \cdot \frac{11}{7} = 6 - \frac{55}{7} = -\frac{13}{7}

 

Die Lösung ist daher x = -13/7 y y = 11/7.

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.