Das Additions-/Subtraktionsverfahren

 

Mit der Methode des Additions-/Subtraktionsverfahrens addiert oder subtrahiert man 2 Gleichungen, um eine dritte Gleichung zu erhalten. Diese dritte Gleichung hat eine Variable weniger als die Ausgangsgleichungen, wodurch die anderen Variablen bestimmt werden können.

 

Beispiel

Gegeben sind folgende Gleichungssysteme:

 

\left\{\begin{matrix} 2x+4y=10\\ x+3y=7 \end{matrix}\right.

 

Wir stellen fest, dass es sich um ein System mit zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten handelt. Wir gehen also davon aus, dass das System nur eine einzige Lösung hat. Somit:

 

Schritt 1: Wir überprüfen, ob beide Gleichungen addiert oder subtrahiert werden können und wir somit eine der Variablen kürzen können.

 

Da wir nicht direkt kürzen können, müssen wir eine der beiden Gleichungen mit irgendeinem Wert multiplizieren, sodass wir in beiden Gleichungen eine Variable haben, deren Koeffizient in beiden Gleichungen übereinstimmt.

 

Schritt 2: Sobald wir Variablen haben, deren Koeffizienten übereinstimmen, können diese subtrahiert werden und eine der Variablen kann somit weggekürzt werden.

 

Schritt 3: Wir müssen in der erhaltenen Gleichung die Variable bestimmen.

 

Schritt 4: Wir setzen die Variable in eine der beiden Gleichungen ein, um den Wert der anderen Variablen zu erhalten.

 

Wir lösen:

 

2x+4y=10

x+3y=7

 

Schritt 1: Da keine der Variablen den gleichen Koeffizienten hat, müssen wir multiplizieren. Die zweite Gleichung muss mit 2 multipliziert werden:

 

2(x+3y=7)   \ \ \rightarrow  \ \  2x+6y=14

 

Nun haben wir :

 

\left\{\begin{matrix} 2x+4y=10\\ 2x+6y=14 \end{matrix}\right.

 

Schritt 2: Da wir bei einer der Variablen gleiche Koeffizienten haben, können wir die Gleichungen subtrahieren:

 

- \begin{array}{c}  2x+4y = 10   \\  \underline{2x+6y = 14} \\ 0-2y=-4 \\  \end{array}

 

Schritt 3: Wir bestimmen y .

 

0-2y=-4  \ \ \rightarrow  \ \ y=\frac{-4}{-2}   \ \ \rightarrow  \ \  y=2

 

Paso 4: Wir setzen y in die erste oder zweite Gleichung ein.

 

2x+4y=10      \ \ \rightarrow  \ \   2x+4(2)=10 \ \ \rightarrow  \ \ 2x=2 \ \ \rightarrow  \ \ x=1

x+3y=7       \ \ \rightarrow  \ \ x+3(2)=7 \ \ \rightarrow  \ \ x=7-6 \ \ \rightarrow  \ \ x=1

 

Unsere besten verfügbaren Mathe-Nachhilfelehrer
Viktor
5
5 (145 Bewertungen)
Viktor
70€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (31 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (65 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Jonas
5
5 (12 Bewertungen)
Jonas
40€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (70 Bewertungen)
Rafael
50€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (35 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (36 Bewertungen)
Thomas
90€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (19 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Viktor
5
5 (145 Bewertungen)
Viktor
70€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (31 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (65 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Jonas
5
5 (12 Bewertungen)
Jonas
40€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (70 Bewertungen)
Rafael
50€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (35 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (36 Bewertungen)
Thomas
90€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (19 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Los geht's

Das System lösen - Ganzzahlige Koeffizienten

 

1 \left\{\begin{matrix} 3x-4y=-6\\ 2x+4y=16 \end{matrix}\right.

 

Da die Variable y in beiden Gleichungen den gleichen Koeffizienten hat, aber mit jeweils unterschiedlichem Vorzeichen, können wir die beiden Gleichungen addieren.

+ \begin{array}{c}  3x-4y = -6   \\  \underline{2x+4y = 16} \\ 5x+0=10 \\  \end{array}

 

Wir bestimmen die Variable, um ihren Wert herauszufinden:

 

 

5x=10  \ \ \rightarrow  \ \  x= \frac{10}{5}  \ \ \rightarrow  \ \ x=2

 

Wir setzen den Wert für x in die zweite Ausgangsgleichung ein.

 

 

3(2)-4y = -6  \ \ \rightarrow  \ \  6 -4y = -6  \ \ \rightarrow  \ \  y= \frac{-6-6}{-4} \ \ \rightarrow  \ \ y=3

 

Die Lösung ist :

 

x=2 y y=3

 

2 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=7 \ \ \\ 4x-3y=-2 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=7 \ \ \\ 4x-3y=-2 \end{matrix}\right.

 

Wir möchten, dass die Variable y wegfällt. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3 und die zweite mit 2 .

 

Wir addieren Glied für Glied und erhalten den Wert für x.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=7 & \overset{\times 3}{\longrightarrow} \\ 4x-3y=-2 & \overset{\times 2}{\longrightarrow} \end{matrix}\right. \hspace{.3cm} \left\{\begin{matrix} 9x+6y=21\\ 8x-6y=-4 \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} \hspace{4.8cm} \overline{\ \ \ \ \ \ \ 17x =17 \ \ } \\ \hspace{4.8cm} \ \ \ \ \ \ \ \ \ x =1 \ \ \\ \end{matrix}

 

Wir setzen den Wert für x in die erste Ausgangsgleichung ein.

 

\displaystyle 3\cdot 1 +2y=7 \hspace{2cm} 2y=4 \hspace{2cm} y=2

 

3 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=24\\ x+3y=3 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=24\\ x+3y=3 \end{matrix}\right.

 

Wir möchten, dass die Variable x wegfällt. Dazu multiplizieren wir die zweite Gleichung mit -3.

 

Wir addieren Glied für Glied und erhalten den Wert für y.

 

\displaystyle \begin{matrix} 3x+2y=24\\ -3x-9y=-9 \ \\ \overline{\ \ \ \ \ \ \ -7y=15 \ \ } \end{matrix} \hspace{2cm} y=-\frac{15}{7}

 

Wir setzen den Wert für y  in die zweite Ausgangsgleichung ein.

 

\displaystyle x+3\left( -\frac{15}{7}\right)=3 \hspace{2cm} x-\frac{45}{7}=3

 

\displaystyle 7x-45=21 \hspace{2cm} 7x=66 \hspace{2cm} x=\frac{66}{7}

 

4 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1\\ 3x+4y=0 \ \ \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1\\ 3x+4y=0 \ \ \end{matrix}\right.

 

Wir möchten, dass die Variable x wegfällt. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3 und die zweite mit -2.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \ \ \ \6x+9y=-3 \\ -6x-8y=0\\ \end{matrix}\right.\\ \begin{matrix} \hspace{.8cm}\overline{\hspace{1.7cm}y=-3} \end{matrix}

 

Wir setzen den Wert für y in die zweite Ausgangsgleichung ein.

 

\displaystyle 3x + 4 \cdot (-3) = 0 \hspace{2cm} 3x=12 \hspace{2cm} x=4

5 \displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=58\\ 2x+4y=168 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=58\\ 2x+4y=168 \end{matrix}\right.

 

 

Wir möchten, dass die Variable x wegfällt. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit -2

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} -2x-2y=-116\\ 2x+4y=168 \end{matrix}\right.\\ \begin{matrix} \hspace{1cm}\overline{\hspace{1.1cm}2y=52} \end{matrix}

 

Wir berechnen den Wert für y

 

y=26

 

 

Wir setzen den Wert für y in die erste Gleichung ein.

 

x+26=58 \hspace{2cm} x=32

 

Das System lösen - Rationale Koeffizienten

 

6 \displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ x-\frac{10x}{100}+y-\frac{8y}{100}=3170 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ x-\frac{10x}{100}+y-\frac{8y}{100}=3170 \end{matrix}\right.

 

Wir kürzen die Nenner in der zweiten Gleichung, indem wir x mit \displaystyle \frac {100}{100} multiplizieren.

 

Dieser Bruch entspricht 1. Somit ändert sich die Proportionalität der Gleichung nicht; es handelt sich einfach nur um einen Trick, der die Berechnung einfacher macht.

 

Wir erhalten:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ \frac{100x}{100}-\frac{10x}{100}+\frac{100y}{100}-\frac{8y}{100}=3170 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ \frac{90x}{100}+\frac{92y}{100}=3170 \end{matrix}\right.

 

Um die Nenner in der zweiten Gleichung loszuwerden, multiplizieren wir 3170 mit 100 . Das neue System lautet:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ 90x+92y=317000 \end{matrix}\right.

 

Wir wenden das Additionsverfahren an. Dazu müssen wir eine der Unbekannten loswerden, indem wir die beiden Gleichungen addieren. Wir multiplizieren also die erste Gleichung mit -90 und werden so unser x los. Indem wir die beiden Gleichungen addieren, erhalten wir eine Gleichung mit einer Unbekannten (y)/p>

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500 \ \ \ & \overset{\times (-90)}{\longrightarrow} \\ 90x+92y=317000 & \end{matrix}\right. \hspace{.3cm} \left\{\begin{matrix} -90x-90y=-315000\\ \ 90x+92y= \ 317000 \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} \hspace{6.4cm} \overline{ \hspace{1.8cm} 2y =2000 \ \ } \\ \hspace{4.8cm} \hspace{3.6cm} y =1000 \ \ \\ \end{matrix}

 

Wir erhalten den Wert für y

 

y=1000

 

Wir setzen den Wert für y in die erste Ausgangsgleichung ein.

 

\displaystyle x+1000=3500 \hspace{2cm} x=2500

 

7 \displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{2}=x-1\\ \frac{x-y}{2}=y+1 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{2}=x-1\\ \frac{x-y}{2}=y+1 \end{matrix}\right.

 

 

Wir entfernen die Nenner. Dazu multiplizieren wir die Gleichungen mit 2, da in beiden nur dieser Nenner vorkommt:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2\left(\frac{x+y}{2}\right)=2(x-1)\\ 2\left(\frac{x-y}{2}\right)=2(y+1) \end{matrix}\right.

 

Da auf der linken Seite der Gleichungen mit oder durch die gleiche Zahl multipliziert und dividiert wird, kann 2 weggekürzt werden

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2(x-1)\\ x-y=2(y+1) \end{matrix}\right.

 

Wir lösen die Klammern auf

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2x-2\\ x-y=2y+2 \end{matrix}\right.

 

Wir ordnen die Terme, die Variablen auf einer Seite und das konstante Glied auf der anderen Seite

 

\left\{\begin{matrix} x+y-2x=-2\\ x-y-2y=2 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} -x+y=-2\\ x-3y=2 \end{matrix}\right.

 

Da in den Gleichungen x und -x vorkommt, können wir direkt vereinfachen (Addition der Gleichungen) und die Variable x entfernen, da -x+x=0. Wir addieren Glied für Glied und berechnen den Wert für y.

 

 \begin{matrix} -x+y=-2\\ x-3y=2\ \ \\ \overline{\ \ \ \ \ -2y=0\ \ \ \ } \end{matrix}\hspace{2cm}y=0

 

Wir setzen den Wert für y in die zweite Gleichung des Systems ein (man kann auch die erste Gleichung nehmen) und bestimmen

 

\displaystyle x-3y =2

\displaystyle x-3\cdot 0 =2

\displaystyle x=2

 

8 \displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2000\\ x+\frac{10x}{100}+y+\frac{15y}{100}=2260 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2000\\ x+\frac{10x}{100}+y+\frac{15y}{100}=2260 \end{matrix}\right.

 

 

Wir entfernen die Nenner der zweiten Gleichung, indem wir mit 100 multiplizieren.

 

\displaystyle x+\frac{10x}{100}+y+\frac{15y}{100}=2260

 

\displaystyle 100x+100\left(\frac{10x}{100}\right)+100y+100\left(\frac{15y}{100}\right)=100\times 2260

 

Wir kürzen 100 aus den Termen, in denen sie als Faktor vorkommt; somit gilt \displaystyle \frac{100}{100}=1

 

\displaystyle 100x+10x+100y+15y=226000

 

wir addieren ähnliche Terme, um zu vereinfachen

 

\displaystyle 110x+115y=226000

 

Wir möchten, dass x wegfällt. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit -110

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2000\\ 110x+115y=226000 \end{matrix}\right. \begin{matrix} \overset{\times (-110)}{\longrightarrow}\\ \hspace{1cm} \end{matrix}\left{\begin{matrix} -110x-110y=-220000\\ \ 110x+115y=226000 \end{matrix}\right.\\ \begin{matrix} \hspace{5cm}\overline{\hspace{2cm}5y=6000\hspace{1.2cm}} \end{matrix}\\

 

Wir erhalten den Wert für y.

 

\displaystyle y=\frac{6000}{5}

\displaystyle y=1200

 

Wir setzen den Wert für y in die erste Gleichung ein und bestimmen.

 

\displaystyle x+y=2000

\displaystyle x+1200=2000

\displaystyle x=2000-1200

\displaystyle x=800

 

Falls du Hilfe bei Mathe brauchst, kannst du bei Superprof den/die richtige*n Mathe-Nachhilfelehrer*in für dich finden.

https://www.superprof.de/unterrichtsangebot/mathematik/deutschland/

>

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 5,00 (1 Note(n))
Loading...

Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.