Aufgabe 1

1Analysiere das Gleichungssystem und ermittle, für welche Werte von  m das Gleichungssystem lösbar ist. Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und löse das Gleichungssystem auf.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+my+z =1 \\ mx+y+(m-1)z=m\\ \ \ \ \ \ \ \ x+y+z=m+1 \end{matrix}\right.

 

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+my+z =1 \\ mx+y+(m-1)z=m\\ \ \ \ \ \ \ \ x+y+z=m+1 \end{matrix}\right.

1 Identifiziere die Koeffizienten jedes Terms und stelle sie als Matrix dar.

 

Beachte, dass die Reihenfolge der Koeffizienten in jeder Spalte der Reihenfolge ihrer zugehörigen Variablen aus den Gleichungen entsprechen muss. Die Werte in der letzten Spalte, also die konstanten Glieder der Gleichungen, werden mit einem senkrechten Strich vom Rest der Gleichung getrennt dargestellt.

 

 \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & m &1 &1\\ m & 1 & m-1 &m\\ 1 & 1 & 1 & m+1 \end{array} \right )

 

2 Vereinfache die Matrix durch Addieren und Subtrahieren der Zeilen oder durch Austauschen der Reihenfolge der Spalten, bis du eine Matrix in Zeilenstufenform erhältst.

 

Benenne dafür die Zeilen und Spalten mit  \textup{F}_1, \textup{F}_2, \textup{F}_3 und \textup{C}_1, \textup{C}_2, \textup{C}_3. Addiere und subtrahiere nun die Zeilen, bis du eine Matrix in Zeilenstufenform erhältst und den Wert von m ermittelt hast.

 

 \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3-\textup{F}_1]{\textup{F}_2-m\textup{F}_1} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & m &1 &1\\ 0 & 1-m^2 & -1 &0\\ 0 & 1-m & 0 & m \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{C}_3\to \textup{C}_2]{\textup{C}_2 \to \textup{C}_3} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1& m &1\\ 0 & -1& 1-m^2 &0\\ 0 & 0 &1-m & m \end{array} \right )

 

Schreibe die unterste Zeile als Gleichung um:
 (1-m)y=m \Rightarrow y=\dfrac{m}{1-m}
Hieraus lässt sich schlussfolgern, dass das Gleichungssystem für  m=1 keine Lösungen besitzt, da der Nenner Null wäre. Das Gleichungssystem besitzt folglich Lösungen für  m\neq 1.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ x+z+my=1 \\ -z+(1-m^2 )y=0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-m)y=1 \end{matrix}\right.

 

Das Gleichungssystem wird anhand des Werts, den  m einnimmt, definiert, das heißt:

 y=\dfrac{m}{1-m},\quad z=m(1-m^2), \quad x=\dfrac{m^3-m^2-2m+1}{1-m}.

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Los geht's

Aufgabe 2

2Analysiere das Gleichungssystem und ermittle, welche Werte  m annehmen kann, damit das System lösbar ist. Setze dann den bzw. die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und löse das Gleichungssystem auf.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ x-y+z=7\\ 2x+my-4z=m\\ \ \ \ \ x+y-z=1\\ \ -x+y-z=3 \end{matrix}\right.

 

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ x-y+z=7\\ 2x+my-4z=m\\ \ \ \ \ x+y-z=1\\ \ -x+y-z=3 \end{matrix}\right.

1 Identifiziere die Koeffizienten jedes Terms und stelle sie als Matrix dar.

 

Da das Gleichungssystem für die drei Unbekannten mit Koeffizient 1 jeweils unterschiedliche Ergebnisse aufweist, ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Dies kann mathematisch bewiesen werden, indem man die erste mit der zweiten Gleichung addiert:

 \begin{matrix} \ \ x-y+z=7 \\ -x+y-z=3 \\ \hline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=10 \end{matrix}

 

Unabhängig vom Wert  m besitzt das Gleichungssystem folglich keine gültigen Lösungen.

Aufgabe 3

3Analysiere das Gleichungssystem in Abhängigkeit des Werts von  a .

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+y+2t=3\\ \ \ \ \ \ 3x-y+z-t=1\\ 5x-3y+2z-4t=a\\ \ \ \ \ 2x+y+z+t=2 \end{matrix}\right.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+y+2t=3\\ \ \ \ \ \ 3x-y+z-t=1\\ 5x-3y+2z-4t=a\\ \ \ \ \ 2x+y+z+t=2 \end{matrix}\right.

1 Identifiziere die Koeffizienten jedes Terms und stelle sie als Matrix dar.

 

 \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 3 & -1 & 1& -1 &1\\ 5 & -3 & 2 & -4 &a\\ 2 & 1 & 1 & 1& 2 \end{array} \right )

 

2 Vereinfache die Matrix durch Addieren und Subtrahieren der Zeilen oder durch Austauschen der Reihenfolge der Spalten, bis du eine Matrix in Zeilenstufenform erhältst.

 

 \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3-5\textup{F}_1]{\textup{F}_2-3\textup{F}_1}\\ \xrightarrow[\textup{F}_4-2\textup{F}_1]{} \end{array} \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 0 & -4 & 1& -7 &-8\\ 0 & -8 & 2 & -14 &a-15\\ 0 & -1 & 1 & -3& -4 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_4- \textup{F}_2]{\textup{F}_3 -2\textup{F}_2} \end{array} \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 0 & -4 & 1& -7 &-8\\ 0 & 0 & 0 & 0 &a+1\\ 0 & 3 & 0 & 4& 4 \end{array} \right )

 

Schreibe die dritte Zeile als Gleichung um:
 0=a+1,
Hieraus lässt sich schlussfolgern, dass das Gleichungssystem für  a=-1 alle möglichen Lösungen besitzt. Die Werte der Unbekannten sind abhängig vom Wert, der  z zugewiesen wird:

 

 \left\{ \begin{matrix} \ x+y+2t=3\\ -4y-7t=-8-z\\ \ \ \ \ \ 3y+4t=4 \end{matrix}\right.

 

Im Umkehrschluss besitzt das Gleichungssystem für  a\neq -1 keine gültigen Lösungen.

Aufgabe 4

4Analysiere für welche Werte von a und b das Gleichungssystem gültige Lösungen besitzt.

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ x+y+z=a\\ \ \ \ \ \ \ \ \ x-y=0\\ 3x+y+bz=0 \end{matrix}\right.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ x+y+z=a\\ \ \ \ \ \ \ \ \ x-y=0\\ 3x+y+bz=0 \end{matrix}\right.

1 Identifiziere die Koeffizienten jedes Terms und stelle sie als Matrix dar.

 

 \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 3 & -1 & 1& -1 &1\\ 5 & -3 & 2 & -4 &a\\ 2 & 1 & 1 & 1& 2 \end{array} \right )

 

2 Vereinfache die Matrix durch Addieren und Subtrahieren der Zeilen oder durch Austauschen der Reihenfolge der Spalten, bis du eine Matrix in Zeilenstufenform erhältst.

 

 \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3+\textup{F}_2]{\textup{F}_1+\textup{F}_2} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 &a\\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 4& 0 & b & 0 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[]{\textup{F}_3- 2\textup{F}_1} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 &a\\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & b-2 & -2a \end{array} \right )

 

Das Gleichungssystem besitzt für  b\neq 2 gültige Lösungen, unabhängig vom Wert, den  a einnimmt, denn der Koeffizient von  z ist dann ungleich Null. Die Lösungen sind folglich durch die Werte bestimmt, die  a und  b einnehmen:

 

 z=-\dfrac{2a}{b-2},\quad x=\dfrac{ab}{2(b-2)}, \quad y=\dfrac{ab}{2(b-2)} .

 

Für  b= 2 und  a\neq 0 besitzt das Gleichungssystem keine Lösungen, da  0=-2a wäre.

 

Im Umkehrschluss besitzt das Gleichungssystem für  b= 2 und  a=0 unendlich viele Lösungen:

 

 \left\{ \begin{matrix} 2x+z=0\\ \ x-y=0 \end{matrix}\right. \quad \Longrightarrow \quad x=-\lambda,\quad y=-\lambda,\quad z=2\lambda.

Aufgabe 5

5 Bestimme für welchen Wert von  k das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

 \left\{ \begin{matrix} x+y+z=0\\ x-y+z=0\\ \ \ \ \ kx+z=0 \end{matrix}\right.

 

 \left\{ \begin{matrix} x+y+z=0\\ x-y+z=0\\ \ \ \ \ kx+z=0 \end{matrix}\right.

1 Identifiziere die Koeffizienten jedes Terms und stelle sie als Matrix dar.

 

 \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 3 & -1 & 1& -1 &1\\ 5 & -3 & 2 & -4 &a\\ 2 & 1 & 1 & 1& 2 \end{array} \right )

 

2 Vereinfache die Matrix durch Addieren und Subtrahieren der Zeilen oder durch Austauschen der Reihenfolge der Spalten, bis du eine Matrix in Zeilenstufenform erhältst.

 

 \begin{array}{c} \xrightarrow[\frac{1}{2}\textup{F}_1]{\textup{F}_1-\textup{F}_2}\\ \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 &0\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ k& 0 & 1 & 0 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3-\textup{F}_2]{\textup{F}_1+\textup{F}_2} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 &0\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ k-1& 0 & 0 & 0 \end{array} \right )

 

Damit das Gleichungssystem alle möglichen Lösungen besitzt, muss die Matrix eine Reihe aus Nullen enthalten, das heißt das Gleichungssystem besitzt für  k= 1 unendlich viele Lösungen:

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ y=0\\ x+z=0 \end{matrix}\right. \quad \Longrightarrow \quad z=\lambda,\quad x=-\lambda,\quad y=0.

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.