Kapitel
Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
Wir nehmen an, dass zwei Ereignisse 
eine Partition auf den Ergebnisraum 
bilden. Das heißt, die Ereignisse 
sind paarweise unvereinbar und bilden zusammen den Ergebnissraum . Somit gilt 
. Außerdem: 
für 
. Also gilt für ein beliebiges Ereignis 
von 
:
Beispiel für das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
1Es gibt drei Schachteln mit Glühbirnen. Die erste enthält 
Glühbirnen, von denen vier durchgebrannt sind; in der zweiten sind sechs Glühbirnen, von denen eine durchgebrannt ist, und in der dritten Schachtel sind drei von insgesamt acht Glühbirnen durchgebrannt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer der Schachteln entnommene Glühbirne durchgebrannt ist?
Lösung:
Wir notieren folgende Ereignisse:
: Glühbirne aus Schachtel 
nehmen.
: Glühbirne aus Schachtel 
nehmen.
: Glühbirne aus Schachtel 
nehmen.
: Defekte Glühbirnen.
Unter Berücksichtigung des Gesetzes des totalen Wahrscheinlichkeit gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, eine Glühbirne aus einer beliebigen Schachtel zu nehmen, beträgt 
, und die Wahrscheinlichkeit, eine durchgebrannte Glühbirne aus jeder der Schachteln zu ziehen, hängt von der Gesamtzahl der Glühbirnen in der Schachtel und der Anzahl der durchgebrannten Glühbirnen in derselben Schachtel ab.
Die Wahrscheinlichkeit, eine durchgebrannte Glühbirne zu ziehen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, eine durchgebrannte Glühbirne aus jeder Schachtel zu ziehen, und kann wie folgt berechnet werden:
Um die Brüche zu addieren, ermitteln wir den kleinsten gemeinsamen Nenner und multiplizieren jeden Bruch mit der entsprechenden Zahl.
Mit KI zusammenfassen:
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