Aufgaben zur Diskussion von Gleichungssystemen nach dem Satz von Kronecker-Capelli

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Ihr Rang ist größer als 1, somit

Ihr Rang ist größer als 2, weshalb

Ihr Rang ist größer als 3, weshalb

Es ist nicht möglich zu berechnen, ob sie einen Rang größer als 4 hat, da es sich nicht um eine Matrix der Dimension handelt. Somit ist

2 Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

Da

3 Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an und sehen, da das System eindeutig lösbar ist. Somit

4Da das System eine eindeutige Lösung hat, können wir es entweder mit der Cramerschen Regel oder mit dem Gauß-Verfahren lösen. Da die vierte Zeile der Matrix eine Linearkombination der anderen drei Zeilen ist, nehmen wir das Untersystem von und seine entsprechende Matrix.

In diesem Fall lösen wir das System mit der Cramerschen Regel.

Für das ursprüngliche System erhalten wir und

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Ihr Rang ist größer als 1, weshalb

Ihr Rang ist größer als 2, weshalb

Ihr Rang ist größer als 3, weshalb

Es ist nicht möglich zu berechnen, ob sie einen Rang größer als 4 hat, da es sich nicht um eine Matrix der Dimension handelt. Somit ist

2 Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

Da

3 Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an und sehen, dass das System eindeutig lösbar ist. Somit

4 Da das System eine eindeutige Lösung hat, können wir es entweder mit der Cramerschen Regel oder mit dem Gauß-Verfahren lösen. Da die vierte Zeile der Matrix eine Linearkombination der anderen drei Zeilen ist, nehmen wir das Untersystem von und seine entsprechende Matrix.

In diesem Fall lösen wir das System mit der Cramerschen Regel.

Somit erhalten wir für das ursprüngliche System und

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Ihr Rang ist größer als 1, weshalb

Ihr Rang ist größer als 2, weshalb

Ihr Rang ist größer als 3, weshalb

Es ist nicht möglich zu berechnen, ob sie einen Rang größer als 5 hat, da es sich nicht um eine Matrix der Dimension handelt. Somit ist

2 Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

Da wir keine Untermatrix der Ordnung größer als erhalten können, ist

3 Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an und sehen, dass das System nicht eindeutig lösbar ist. Somit

4 Das System hat keine eindeutige Lösung und wir können es mit der Cramerschen Regel lösen. Wir setzen . Wir nehmen das Untersystem von und seine entsprechende Matrix.

In diesem Fall lösen wir das System mit der Cramerschen Regel.

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Ihr Rang ist größer als 1, weshalb

Ihr Rang ist größer als 2, weshalb

Ihr Rang ist größer als 3, weshalb

Es ist nicht möglich zu berechnen, ob sie einen Rang größer als 4 hat, da es sich nicht um eine Matrix der Dimension handelt. Somit

2 Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

Da es keine Untermatrix der Ordnung größer als gibt, ist

3 Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an und sehen, dass das System eindeutig lösbar ist. Somit

4 Das System ist eindeutig lösbar und wir können es mit der Cramerschn Regel oder dem Gauß-Verfahren lösen.

In diesem Fall lösen wir das System mit der Cramerschen Regel.

Schließlich können wir den Wert von ermitteln, indem wir eine der Gleichungen des Systems auflösen, beispielsweise

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Ihr Rang ist größer als 1, weshalb

Ihr Rang ist größer als 2, weshalb

Da

haben wir zwei Fälle für den Rang der Koeffizientenmatrix. Wenn , ist der Rang und wenn , ist der Rang .

2 Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

Da es eine Untermatrix der Ordnung mit der Determinante ungleich 0 gibt:

,

ist

3 Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an und sehen, dass das System eindeutig lösbar ist. Wenn also , ist . Wenn , ist und das System nicht lösbar.

4 In diesem Fall lösen wir das System mit der Cramerschen Regel (oder mit dem Gauß-Verfahren).

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Ihr Rang ist größer als 1, weshalb

Ihr Rang ist größer als 2, weshalb

Da

haben wir zwei Fälle für den Rang der Koeffizientenmatrix. Wenn , ist der Rang und wenn , ist der Rang .

2 Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

Da die vierte Spalte der Matrix das Doppelte der ersten Spalte der Matrix ist, können wir unsere Matrix auf die Matrix reduzieren. Das heißt,

Somit ist

3 Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an und sehen, dass das System eindeutig lösbar ist, wenn . Somit ist und . Wenn , ist , und das System nicht eindeutig lösbar.

4 In diesem Fall lösen wir das System mit der Cramerschen Regel (oder dem Gauß-Verfahren).

Wir können auch etwas über das nicht eindeutig lösbare System sagen. Wenn und , ist Und auch und

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Ihr Rang ist größer als 1, weshalb

Die Determinante einer beliebigen Untermatrix der Ordnung ist oder

Da

haben wir zwei Fälle für den Rang der Koeffizientenmatrix. Wenn , ist der Rang und wenn , ist der Rang .

2 Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

Wenn , ist

und

3 Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an und sehen, dass das System eindeutig lösbar ist, wenn . Somit ist und . Wenn , ist , und das System also nicht eindeutig lösbar.

4 In diesem Fall lösen wir das System mit der Cramerschen Regel (oder dem Gauß-Verfahren).

Wir können auch etwas über das nicht eindeutig lösbare System sagen. Wenn und , ist und somit Schließlich ist .

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Die Determinante dieser Matrix ist

2 Wir bilden die erweiterte Matrix und berechnen ihren Rang.

und

3 Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an und sehen, dass das System eindeutig lösbar ist, wenn . Somit ist und . Wenn , ist und . Also gibt es Untermatrizen von der Ordnung 2 und 3 mit einer Determinante ungleich 0. Somit ist das System nicht lösbar.

4 In diesem Fall lösen wir das System mit dem Gauß-Verfahren.

Wenn wir die 2. Zeile von der 3. Zeile subtrahieren, erhalten wir

Also ist . Und schließlich

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Matrix. 2 Wir berechnen die Determinante der Matrix Wir stellen fest, dass die Matrix eine Untermatrix der Ordnung 2 hat und die Determinante gleich ist. Also haben wir verschiedene Fälle für die Berechnung des Rangs der Matrizen und . Wir wenden den Satz von Kronecker-Capelli an. 3 Das System ist eindeutig lösbar, wenn , , und für alle ist und ; Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Determinante von ungleich 0 ist und dass keine Untermatrix der Ordnung größer als 3 hat. 4 Wenn und , ist Daraus folgt und aus können wir die Determinante ableiten. Der Rang von ist also 2. Daraus schließen wir, dass das System nicht lösbar ist. 5 Wenn und , ist Daraus folgt und aus können wir die Determinante ableiten. Daraus schließen wir, dass der Rang von 3 ist. Erneut ist das System nicht lösbar.

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Matrix.

2 Wir berechnen die Determinante der Matrix

Wir stellen außerdem fest, dass die Matrix también que la matriz eine Untermatrix der Ordnung 2 mit der folgenden Determinante hat

Auf diese Weise haben wir verschiedene Fälle, um den Rang der Matrizen und zu berechnen. Hierzu wenden wir den Satz von Kronecker-Capelli an.

3 Das System ist eindeutig lösbar. Wenn , ist und ; dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Determinante von ungleich 0 ist und dass keine Untermatrix der Ordnung größer als 3 hat. Wir lösen das System für diesen Fall mit der Cramerschen Regel.

4 Wenn , ist

Daraus folgt, dass und aus der können wir die folgende Determinante extrahieren

Somit ist der Rang von gleich 2. Dies zeigt uns, dass das System nicht lösbar ist.

5 Wenn , ist

Daraus folgt, dass . Aus können wir die folgende Determinante extrahieren

Der Rang von ist 2. Das System ist nicht eindeutig lösbar. Wir wenden die Cramersche Regel an und mit können wir das Gleichungssystem für diesen Fall lösen, Da

,

haben wir

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und berechnen ihren Rang.

Die Determinante von ist

Für den Fall, dass ist, ist der Rang von 3 und , was bedeutet, dass das System nur die triviale Lösung haben kann.

2 Wenn , ist der Rang der Matrix 2 und somit

Da , ist das System nicht eindeutig lösbar und wir können es mit der Cramerschen Regel lösen. Wir nehmen ,

1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Matrix.

2 Wir berechnen die Determinante der Matrix

Wir stellen außerdem fest, dass die Matrix eine Untermatrix der Ordnung 2 mit einer Determinante gleich 2 hat.

Auf diese Weise haben wir verschiedene Möglichkeiten, den Rang der Matrizen und zu berechnen. Hierzu wenden wir den Satz von Kronecker-Capelli an.

3 Das System ist eindeutig lösbar, wenn und somit ist und ; dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Determinante von ungleich 0 ist und dass keine Untermatrix der Ordnung größer als 3 mit einer Determinante von 0 hat.

4 Wenn , ist

Daraus folgt, dass ist, und da aus die folgende Determinante abgeleitet werden kann,

Wir schließen daraus, dass der Rang von 3 ist. Wenn , ist das System nicht lösbar. Und wenn , können wir sagen, dass das System nicht eindeutig lösbar ist. Also ist .