Kapitel
Wenn alle konstanten Glieder in einem System aus 
Gleichungen und 
Unbekannten null sind, ist das System homogen.
Für diese Arten von Systemen gibt es nur die triviale Lösung: 
.
Der Ausdruck in Form einer Matrix ist gegeben durch
Wir stellen fest, dass jedes lineare homogene System lösbar ist, da es die triviale Lösung zulässt. Wie bestimmen wir aber, ob ein System bestimmt oder unbestimmt ist?
Die Antwort auf diese Frage wurde 1875 von dem französischen Mathematiker Eugène Rouché in seinem Artikel Sur la discussion des equations du premier degré gegeben. Dieser erschien in der 81. Ausgabe des Compte Rendus de la Académie des Sciences. Das Ergebnis, zu dem Rouché kam, ist im deutschen Sprachgebrauch als Satz von Kronecker-Capelli bekannt.
Satz von Kronecker-Capelli
Gegeben ist die Koeffizientenmatrix 
und die erweiterte Matrix 
des Systems aus linearen Gleichungen mit Unbekannten. Wenn 
und 
der Rang von und sind, gilt:
Das System ist lösbar, wenn für die Ränge 
gilt. Außerdem, wenn gilt 
, ist das System eindeutig lösbar. Das heißt, es hat eine eindeutige Lösung.
Ist das System lösbar und es gilt , aber 
, ist das System mehrdeutig lösbar. Das heißt, es hat unendlich viele Lösungen.
Das System ist unlösbar, wenn die Ränge unterschiedlich, also 
sind. Das System hat somit keine Lösung.
Satz von Kronecker-Capelli bei homogenen Systemen
Damit ein homogenes System andere Lösungen als die triviale Lösung hat, muss der Rang der Koeffizientenmatrix niedriger sein als die Anzahl der Unbekannten.
Für den Fall 
genügt es, dass die Determinante der Koeffizientenmatrix null ist.
Das liegt daran, dass wir es hier mit dem Satz von Kronecker-Capelli zu tun haben. Hierbei gilt, 
und der Wert ist niedriger als die Anzahl der Unbekannten. Somit ist das System mehrdeutig lösbar.
Beispiel: Bestimme, ob das System eindeutig oder mehrdeutig lösbar ist
1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.
2 Wir berechnen den Rang der Koeffizientenmatrix.
Der Rang ist mindestens 1, da
Der Rang ist mindestens 2, da
Rang 3 existiert nicht, da
3 Da 
, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System mehrdeutig lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat.
Beispiel: Bestimme, ob das folgende System eindeutig oder mehrdeutig lösbar ist
1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.
2 Da , berechnen wir anstatt des Rangs der Koeffizientenmatrix ihre Determinante
3 Da 
, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System eine eindeutige Lösung hat
Übungsaufgaben zum Satz von Kronecker-Capelli
Bestimme, ob die folgenden homogenen Gleichungssysteme eindeutig oder mehrdeutig lösbar sind
1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.
2 Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 1, da
3 Da 
, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System mehrdeutig lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat.
4 Wir berechnen die Lösungen, indem wir eine Variable durch die beiden anderen ausdrücken, da das System nur aus einer Gleichung besteht
Wir setzen 
mit 
reellen Zahlen
und erhalten die Lösungen der Form 
1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.
2 Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 2, da
3 Da , stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System mehrdeutig lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat.
4 Wir berechnen die Lösungen. Hierzu wenden wir das Gaußsche Eliminationsverfahren an. Wir ersetzen die Zeile 
durch 
Wir erhalten ein äquivalentes System
Wir setzen 
Wir setzen 
und erhalten
.
Wir ersetzen die Werte für 
und erhalten
.
Die Lösungen haben die Form 
1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.
2 Wir berechnen die Determinante der Koeffizientenmatrix
3 Da 
, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System mehrdeutig lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat.
4 Wir berechnen die Lösungen. Hierzu wenden wir das Gaußsche Eliminationsverfahren an. Wir ersetzen die Zeilen 
durch 
Wir ersetzen die Zeile 
durch 
Wir erhalten ein äquivalentes Gleichungssystem
Wir setzen 
und erhalten
.
Wir setzen die Werte für in die erste Gleichung ein und erhalten
.
Die Lösungen haben die Form 
1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.
2 Wir berechnen die Determinante der Koeffizientenmatrix
3 Da , stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System eindeutig lösbar ist und eine eindeutige Lösung hat. Die Lösung ist .
1 Wir bilden die Koeffizientenmatrix.
2 Wir berechnen die Determinante der Koeffizientenmatrix
3 Da 
, stellen wir mit dem Satz von Kronecker-Capelli fest, dass das System eindeutig lösbar ist und eine eindeutige Lösung hat. Die Lösung ist 
.
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
