Unter- und überbestimmte lineare Gleichungssysteme
Entscheide, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist:
Wenn man eine Gleichung aus einem unterbestimmten LGS löscht, ist das neue LGS äquivalent zum ursprünglichen.
Richtig
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeile 
mit 
und du erhältst
Das äquivalente LGS ist
Die Lösung des unterbestimmten LGS ist
Entscheide, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist:
Ein unterbestimmtes LGS wird auch homogenes LGS genannt.
Falsch
Ein homogenes LGS besitzt im Allgemeinen nur die triviale Lösung:
,
während ein unterbestimmtes LGS unendlich viele Lösungen besitzen kann.
Entscheide, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist:
Jedes unterbestimmte LGS mit widerspruchsfreien Lösungen enthält zwei gleiche Gleichungen.
Falsch
Das unterbestimmte LGS
ist widerspruchsfrei und enthält nur unterschiedliche Gleichungen. Die Lösung des unterbestimmten LGS ist
Entscheide, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist:
Aus einem überbestimmten LGS kann ein (nicht äquivalentes) unterbestimmtes LGS extrahiert werden, indem man Gleichungen entfernt.
Richtig
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen mit 
und du erhältst
Die Lösung des überbestimmten LGS ist
Durch Eliminieren der zweiten Gleichung des ursprünglichen überbestimmten LGS erhält man das unterbestimmte LGS
mit der Lösung
Finde heraus, um was für eine Art von LGS es sich im Folgenden handelt und ermittle seine Lösung(en) (wenn vorhanden)
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen mit und du erhältst
2
Ersetze die Zeile 
mit 
und du erhältst
Die Lösung des überbestimmten LGS ist
Finde heraus, um was für eine Art von LGS es sich im Folgenden handelt und ermittle seine Lösung(en) (wenn vorhanden)
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeile mit 
und du erhältst
2
Definiere 
und setze diesen Wert in die beiden Gleichungen ein
3
Die Lösung des unterbestimmten LGS ist
Löse das folgende Gleichungssystem:
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
2
Aus der vorhergehenden Matrix erhält man
3
Aus der dritten Gleichung ergibt sich
4
Setze den Wert von 
in die zweite Gleichung ein und du erhältst
5
Setze die Werte von 
in die erste Gleichung ein und du erhältst
6
Die Lösung des überbestimmten LGS ist
Löse das folgende Gleichungssystem:
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Tausche die Zeilen 
entsprechend mit 
aus und du erhältst
Ersetze die Zeilen mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeile 
mit 
und du erhältst
2
Aus der vorhergehenden Matrix erhält man
3
Setze den Wert von 
in die zweite Gleichung ein und du erhältst
4
Setze die Werte von in die erste Gleichung ein und du erhältst
5
Die Lösung des überbestimmten LGS ist
Löse das folgende Gleichungssystem:
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeile mit 
und du erhältst
2
Aus der vorhergehenden Matrix erhält man
3
Definiere und setze den Wert in die zweite Gleichung ein
4
Setze die Werte von in die erste Gleichung ein und du erhältst
5
Die Lösung des unterbestimmten LGS ist
Löse das folgende Gleichungssystem
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
2
Aus der vorhergehenden Matrix erhält man
3
Definiere 
und setze den Wert in die dritte Gleichung ein
4
Setze die Werte von 
in die zweite Gleichung ein und du erhältst
5
Setze die Werte von 
in die erste Gleichung ein und du erhältst
6
Die Lösung des unterbestimmten LGS ist
Löse das folgende Gleichungssystem
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
2
Die letzte Zeile der vorherigen Matrix ist ein Vielfaches der vorletzten, daher erhält man
3
Aus der dritten Gleichung ergibt sich 
. Definiere und setze den Wert in die zweite Gleichung ein
4
Setze die Werte von in die erste Gleichung ein und du erhältst
5
Die Lösung des unterbestimmten LGS ist
Löse das folgende Gleichungssystem:
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um und tausche die Zeilen eins und zwei miteinander aus
Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeile mit und du erhältst
2
Man erhält ein äquivalentes Gleichungssystem
3
Definiere 
und setze den Wert in die dritte Gleichung ein
4
Setze die Werte von 
in die zweite Gleichung ein und du erhältst
5
Setze die Werte von in die erste Gleichung ein und du erhältst
Löse das folgende Gleichungssystem:
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeilen mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeile 
mit 
und du erhältst
2
Aus der vorhergehenden Matrix lässt sich ablesen, dass das Gleichungssystem keine gültigen Lösungen besitzt.
Parameter bestimmen
Finde heraus, ob es einen Wert von 
gibt, für den das Gleichungssystem Lösungen besitzt. Wenn es einen gibt, löse das Gleichungssystem für diesen Wert von .
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen mit 
und du erhältst
2
Die dritte Zeile zeigt, dass das LGS für 
keine Lösungen vorliegen, da 
3
Für 
ist das überbestimmte LGS gleichwertig mit
Die dritte Gleichung ergibt
Setze den Wert von in die zweite Gleichung ein und du erhältst
Setze die Werte von in die erste Gleichung ein und du erhältst
Parameter bestimmen
Finde heraus, ob es einen Wert von gibt, für den das Gleichungssystem Lösungen besitzt. SWenn es einen gibt, löse das Gleichungssystem für diesen Wert von .
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeile mit 
2
Die vierte Zeile zeigt, dass das LGS für keinen Wert von Lösungen besitzt, da 
Parameter bestimmen
Bestimme die Lösung(en) des folgenden LGS für die Werte von 
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
2
Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
3
Die dritte Zeile zeigt, dass das LGS für 
unterbestimmt ist, da 
4
Für 
besitzt das LGS keine Lösungen.
Parameter bestimmen
Bestimme die Lösung(en) des folgenden LGS für die Werte von und 
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
2
Ersetze die Zeile mit 
und du erhältst
3
Die dritte Zeile zeigt:
für 
und 
, besitzt das LGS keine Lösungen
für und 
ist das LGS unterbestimmt;
für 
ist das LGS für jeden Wert von überbestimmt.
Parameter bestimmen
Bestimme, für welche Werte von 
das folgende LGS unendlich viele Lösungen besitzt
1
Schreibe das LGS in eine Matrix um. Ersetze die Zeile mit 
und du erhältst
2
Ersetze die Zeile mit 
und du erhältst
3
Die dritte Zeile zeigt, dass das LGS für 
unterbestimmt ist, d.h. unendlich viele Lösungen besitzt.
Der Besitzer eines Lokals hat Softdrinks, Bier und Wein im Wert von 
€ (netto) eingekauft. Für den Wein hat er 
€ weniger als für die Softdrinks und das Bier zusammen bezahlt. Berechne, wie viel er für jede Art von Getränk bezahlt hat und beachte dabei, dass die Mehrwertsteuer für die Softdrinks 
, für das Bier 
und für den Wein 
beträgt, sodass sich eine Rechnung von insgesamt 
€ inkl. Mehrwertsteuer ergibt.
1
Stelle anhand der Variablen 
die Beträge für Softdrinks, Bier und Wein in € dar. Definiere die zugrundeliegenden Bedingungen anhand von Gleichungen
Der Besitzer eines Lokals hat Softdrinks, Bier und Wein im Wert von € (netto) eingekauft.
Für den Wein hat er € weniger als für die Softdrinks und das Bier zusammen bezahlt.
Beachte, dass die Mehrwertsteuer für die Softdrinks , für das Bier und für den Wein beträgt, sodass sich eine Rechnung von insgesamt € inkl. Mehrwertsteuer ergibt. €
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 
2
Man erhält das folgende Gleichungssystem
3
Schreibe die drei Gleichungen in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen mit 
und du erhältst
4
Das überbestimmte LGS ist äquivalent zu
Die zweite Gleichung ergibt
Setze den Wert von in die dritte Gleichung ein und du erhältst
Setze die Werte von in die erste Gleichung ein und du erhältst
5
Die Lösungen sind 
€, 
€, €.
Ein Unternehmen besitzt drei Bergwerke mit Erzen unterschiedlicher Zusammensetzung:
| Nickel (%) | Kupfer (%) | Eisen (%) | |
|---|---|---|---|
| Bergwerk A | 1 | 2 | 3 |
| Bergwerk B | 2 | 5 | 7 |
| Bergwerk C | 1 | 3 | 1 |
Wei viele Tonnen werden aus jedem Bergwerk benötigt, um 7 Tonnen Nickel, 18 Tonnen Kupfer und 16 Tonnen Eisen zu erzeugen?
1
Stelle anhand der Variablen die Anzahl der Tonnen der Minen A, B und C dar. Definiere die zugrundeliegenden Bedingungen anhand von Gleichungen:
2
Schreibe die drei Gleichungen in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen 
mit 
und du erhältst
Ersetze die Zeile mit 
und du erhältst
3
Das überbestimmte LGS ist äquivalent zu
Die dritte Gleichung ergibt
Setze den Wert von in die zweite Gleichung ein und du erhältst
Setze die Werte von in die erste Gleichung ein und du erhältst
Ein Vater ist doppelt so alt wie das Alter seiner beiden Kinder zusammen. Vor wenigen Jahren (genauer gesagt vor so vielen Jahren, wie die Differenz des aktuellen Alters der beiden Kinder ergibt), war der Vater dreimal so alt wie seine beiden Kinder damals zum damaligen Zeitpunkt. Wenn so viele Jahre wie die Summe des aktuellen Alters der beiden Kinder vorbeigegangen sind, sind die drei Personen zusammen 150 Jahre alt. Wie alt war der Vater, als seine beiden Kinder geboren wurden?
1
Stelle anhand der Variablen das aktuelle Alter des Vaters sowie des älteren und des jüngeren Kindes dar. Definiere die zugrundeliegenden Bedingungen anhand von Gleichungen
Ein Vater ist doppelt so alt wie das Alter seiner beiden Kinder zusammen.
Vor wenigen Jahren (genauer gesagt vor so vielen Jahren, wie die Differenz des aktuellen Alters der beiden Kinder ergibt), war der Vater dreimal so alt wie seine beiden Kinder damals zum damaligen Zeitpunkt.
Wenn so viele Jahre wie die Summe des aktuellen Alters der beiden Kinder vorbeigegangen sind, sind die drei Personen zusammen 150 Jahre alt.
2
Man erhält das folgende Gleichungssystem
3
Schreibe die drei Gleichungen in eine Matrix um. Ersetze die Zeilen mit und du erhältst
Ersetze die Zeile mit 
und du erhältst
4
Das überbestimmte LGS ist äquivalent zu
Die dritte Gleichung ergibt
Setze den Wert von in die zweite Gleichung ein und du erhältst
Setze die Werte von in die erste Gleichung ein und du erhältst
5
Der Vater war bei der Geburt seiner Kinder 35 und 40 Jahre alt.
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