Aufgaben zu Konkavität, Konvexität und Wendepunkten von Funktionen
Berechne die Intervalle des Monotonieverhaltens der Funktionen:
1 
1
1
1
1
1
1 Zunächst wird die Ableitung der Funktion berechnet und gleich 0 gesetzt.
Die Nullstellen sind 
Wir unterteilen die Zahlengerade in 3 Intervalle: 
. Wir wählen einen Punkt eines jeden Intervalls und setzen ihn in 
ein:
Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion in diesem Intervall.
Ist das Ergebnis negativ, fällt die Funktion in diesem Intervall.
Die Funktion steigt also im Intervall 
und fällt in den Intervallen 
2
Zunächst wird die Ableitung der Funktion berechnet und gleich 0 gesetzt.
Die Nullstellen sind 
Wir unterteilen die Zahlengerade in 4 Intervalle: 
. Wir wählen einen Punkt eines jeden Intervalls und setzen ihn in ein:
Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion in diesem Intervall.
Ist das Ergebnis negativ, fällt die Funktion in diesem Intervall.
Die Funktion steigt also in den Intervallen 
und fällt in den Intervallen 
3
Die Berechnung der Nullstellen des Nenners ergibt die Werte, für die die Funktion nicht definiert ist.
Wir leiten die Funktion ab und berechnen ihre Nullstellen.
Wir setzen die Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen des Zählers, die den Nullstellen der Funktion entsprechen.
Sie hat keine Nullstellen in den reellen Zahlen, da die Diskriminante negativ ist: 
Die Intervalle werden also anhand der Unstetigkeitsstellen gebildet: 
Wir wählen dann einen Punkt aus jedem Intervall und setzen ihn in ein:
Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion in diesem Intervall.
Ist das Ergebnis negativ, fällt die Funktion in diesem Intervall.
Die Funktion ist also immer fallend.
4
Wir berechnen zunächst den Definitionsbereich, um zu wissen, wo die Funktion definiert ist.
Wir leiten ab:
Da der Nenner den Wert 1 hat, besitzt die Ableitung keine Nullstellen. Wenn wir also an einem Punkt von 
auswerten, sehen wir, dass der Graph steigt:
5
Zunächst wird die Ableitung der Funktion berechnet und gleich 0 gesetzt.
Ihre Nullstellen sind
Wir unterteilen die Zahlengerade in 3 Intervalle: 
. Wir wählen dann einen Punkt aus jedem Intervall und setzen ihn in ein:
Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion in diesem Intervall.
Ist das Ergebnis negativ, fällt die Funktion in diesem Intervall.
Die Funktion steigt also bei 
und fällt bei 
6
Zunächst wird der Definitionsbereich berechnet, um zu wissen, wo die Funktion definiert ist.
Da die Logarithmusfunktion nur auf positive Zahlen angewendet werden kann, 
Nun leiten wir die Funktion ab:
Wenn wir 0 setzen und den Logarithmus bestimmen, erhalten wir die Nullstelle 
Wir teilen den Definitionsbereich in 2 Intervalle: 
. Wir wählen dann einen Punkt aus jedem Intervall und setzen ihn in ein:
Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion in diesem Intervall.
Ist das Ergebnis negativ, fällt die Funktion in diesem Intervall.
Die Funktion fällt somit im Intervall 
und steigt im Intervall 
Berechne die Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen: 
1 
Zunächst wird die Ableitung der Funktion berechnet und gleich 0 gesetzt. Wir berechnen die Nullstellen.
Die Nullstellen sind 
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen die Nullstellen ein:
Wenn das Ergebnis positiv ist, entsprechen die Koordinaten 
einem Tiefpunkt.
Wenn das Ergebnis negativ ist, entsprechen die Koordinaten einem Hochpunkt.
Somit hat die Funktion bei 
zwei Tiefpunkte und bei 
einen Hochpunkt.
2 
Wir berechnen die 1. Ableitung, setzen sie gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Ihre Nullstellen sind 
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen die Nullstellen ein:
Wenn das Ergebnis positiv ist, entsprechen die Koordinaten einem Tiefpunkt.
Wenn das Ergebnis negativ ist, entsprechen die Koordinaten einem Hochpunkt.
Somit hat die Funktion bei 
einen Tiefpunkt und bei 
einen Hochpunkt.
3 
Zunächst berechnen wir den Definitionsbereich, um zu wissen, wo die Funktion definiert ist. Es ist bekannt, dass der Logarithmus nur für positive Zahlen gilt. Also:
Die ermittelten Punkte teilen die Zahlengerade in 3 Intervalle: 
Wir nehmen einen Wert in jedem Intervall und überprüfen, ob die ermittelten Zahlen größer als 0 sind. Der Definitionsbereich ist 
und somit:
Wir berechnen die 1. Ableitung, setzen sie gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Ihre Nullstellen sind 
Nur der 2. Wert wird berücksichtigt, da der 1. nicht in den Definitionsbereich der Funktion fällt. Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen die Nullstelle ein:
Wenn das Ergebnis positiv ist, entsprechen die Koordinaten einem Tiefpunkt.
Wenn das Ergebnis negativ ist, entsprechen die Koordinaten einem Hochpunkt.
Die Funktion hat also bei 
einen Hochpunkt.
4 
Wir berechnen die 1. Ableitung, setzen sie gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Da die Funktion 
die Periode 
hat, wird sie null für 
und 
Somit wird die Funktion 
null für 
und 
Wir berechnen die 2. Ableitung und werten die Nullstellen aus.
Somit erhalten wir für 
Hochpunkte der Form 
und für 
Tiefpunkte der Form 
Ermittle die Intervalle der Konkavität und Konvexität sowie die Wendepunkte der Funktionen:
1 
Wir berechnen die 2. Ableitung, setzen sie gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Ihre Nullstelle ist 
Wir unterteilen die Zahlengerade in 2 Intervalle: 
und nehmen einen Punkt in jedem Intervall:
Ist das Ergebnis positiv, ist der Graph konvex.
Ist das Ergebnis negativ, ist der Graph konkav.
Der Graph ist also konkav bei 
und konvex bei 
.
Um die Wendepunkte zu finden, setzen wir die Nullstellen der 2. Ableitung in die 3. Ableitung ein. Erhält man einen Wert ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt.
Da 
, ist der Punkt 
ein Wendepunkt.
2 
Wir berechnen die 2. Ableitung, setzen sie gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Ihre Nullstellen sind 
Wir unterteilen die Zahlengerade in 3 Intervalle 
und nehmen einen Punkt in jedem Intervall:
Ist das Ergebnis positiv, ist der Graph konvex.
Ist das Ergebnis negativ, ist der Graph konkav.
Der Graph ist somit konkav bei 
und konvex bei 
.
Um die Wendepunkte zu finden, werden die Nullstellen der 2. Ableitung durch die 3. Ableitung ersetzt. Erhält man einen Wert ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt.
Da 
, sind 
Wendepunkte.
3 
Wir berechnen die 2. Ableitung, setzen sie gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Ihre Nullstellen sind 
Wir unterteilen die Zahlengerade in 3 Intervalle: 
. Wir nehmen einen Punkt in jedem Intervall und kommen zu folgendem Schluss:
Wenn das Ergebnis positiv ist, ist der Graph konvex.
Wenn das Ergebnis negativ ist, ist der Graph konkav.
Der Graph ist somit konkav bei 
und konvex bei 
.
Um die Wendepunkte zu finden, werden die Nullstellen der 2. Ableitung durch die 3. Ableitung ersetzt. Erhält man einen Wert ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt.
Da 
Wendepunkte.
Die Entwicklung des Aktienkurses eines bestimmten Unternehmens ist unter der Annahme, dass die Börse in einem Monat mit 30 Tagen 
Tage in Betrieb bleibt, definiert durch:
1 1 Berechne die Höchst- und Mindestnotierungen sowie die Tage, an denen sie angefallen sind, an anderen Tagen als dem ersten und letzten Tag.
2 Bestimme die Zeiträume, in denen die Aktien gestiegen oder gefallen sind.
1 Berechne die Höchst- und Mindestnotierungen sowie die Tage, an denen sie angefallen sind, an anderen Tagen als dem ersten und letzten Tag.
Wir leiten die Funktion ab, setzen sie gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Wir erhalten die 2. Ableitung der Funktion und werten die Nullstellen aus. Somit:
Wenn der Wert positiv ist, haben wir einen Tiefpunkt.
Wenn der Wert negativ ist, haben wir einen Hochpunkt.
Daher hatte das Unternehmen am 3. Handelstag einen Höchststand von 
und am 27. Tag einen Tiefststand von 
.
2 Bestimme die Zeiträume, in denen die Aktien gestiegen oder gefallen sind.
Wir unterteilt die Zahlen von 1 bis 30 in die Intervalle 
unter Berücksichtigung der Nullstellen der 1. Ableitung. Dann wird aus jedem Intervall ein Wert entnommen und ausgewertet, um die Intervalle herauszufinden, in denen die Funktion steigt oder fällt:
Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion in diesem Intervall.
Ist das Ergebnis negativ, fällt die Funktion in diesem Intervall.
In den ersten 3 Tagen stieg der Börsenkurs an. Dann, bis zum 27. Tag, war der Aktienkurs rückläufig. Nach diesem Tag begann er wieder zu steigen.
Angenommen, die in Prozent gemessene Leistung 
eines Schülers in einer einstündigen Prüfung entspricht dem Ausdruck
,
wobei 
die Zeit in Stunden angibt.
1 An welchen Punkten nimmt die Leistung zu oder ab?
2 Wann ist die Leistung gleich 0?
3 Wann ist die Leistung am höchsten und wie hoch ist sie?
1 An welchen Punkten nimmt die Leistung zu oder ab?
Wir leiten die Funktion ab, setzen sie gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Die Nullstelle der 1. Ableitung teilt das Intervall 
in die Intervalle 
Anschließend nehmen wir einen Wert aus jedem Intervall und setzen ihn in die Ableitung ein, um herauszufinden, in welchen Intervallen die Funktion steigt oder fällt:
Ist das Ergebnis positiv, steigt die Funktion in diesem Intervall.
Ist das Ergebnis negativ, fällt die Funktion in diesem Intervall.
Daher ist die Leistung in der ersten Hälfte der Prüfung höher als in der zweiten Hälfte.
2 Wann ist die Leistung gleich 0?
Wir setzen die Funktion gleich 0 und berechnen ihre Nullstellen.
Somit ist die Leistung zu Beginn und am Ende der Prüfung gleich 0.
3 Wann ist die Leistung am höchsten und wie hoch ist sie?
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen die Nullstelle der 1. Ableitung ein.
Die höchste Leistung wird also nach einer halben Stunde erreicht. Wenn man die Funktion auswertet, beträgt die höchste Leistung 
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