Kapitel
Das Additions-/Subtraktionsverfahren
Mit der Methode des Additions-/Subtraktionsverfahrens addiert oder subtrahiert man 
Gleichungen, um eine dritte Gleichung zu erhalten. Diese dritte Gleichung hat eine Variable weniger als die Ausgangsgleichungen, wodurch die anderen Variablen bestimmt werden können.
Beispiel
Gegeben sind folgende Gleichungssysteme:
Wir stellen fest, dass es sich um ein System mit zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten handelt. Wir gehen also davon aus, dass das System nur eine einzige Lösung hat. Somit:
Schritt 1: Wir überprüfen, ob beide Gleichungen addiert oder subtrahiert werden können und wir somit eine der Variablen kürzen können.
Da wir nicht direkt kürzen können, müssen wir eine der beiden Gleichungen mit irgendeinem Wert multiplizieren, sodass wir in beiden Gleichungen eine Variable haben, deren Koeffizient in beiden Gleichungen übereinstimmt.
Schritt 2: Sobald wir Variablen haben, deren Koeffizienten übereinstimmen, können diese subtrahiert werden und eine der Variablen kann somit weggekürzt werden.
Schritt 3: Wir müssen in der erhaltenen Gleichung die Variable bestimmen.
Schritt 4: Wir setzen die Variable in eine der beiden Gleichungen ein, um den Wert der anderen Variablen zu erhalten.
Wir lösen:
Schritt 1: Da keine der Variablen den gleichen Koeffizienten hat, müssen wir multiplizieren. Die zweite Gleichung muss mit multipliziert werden:
Nun haben wir :
Schritt 2: Da wir bei einer der Variablen gleiche Koeffizienten haben, können wir die Gleichungen subtrahieren:
Schritt 3: Wir bestimmen 
.
Schritt 4: Wir setzen in die erste oder zweite Gleichung ein.
Das System lösen - Ganzzahlige Koeffizienten
Da die Variable in beiden Gleichungen den gleichen Koeffizienten hat, aber mit jeweils unterschiedlichem Vorzeichen, können wir die beiden Gleichungen addieren.
Wir bestimmen die Variable, um ihren Wert herauszufinden:
Wir setzen den Wert für 
in die zweite Ausgangsgleichung ein.
Die Lösung ist :
y 
Wir möchten, dass die Variable wegfällt. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 
und die zweite mit .
Wir addieren Glied für Glied und erhalten den Wert für .
Wir setzen den Wert für in die erste Ausgangsgleichung ein.
Wir möchten, dass die Variable wegfällt. Dazu multiplizieren wir die zweite Gleichung mit 
.
Wir addieren Glied für Glied und erhalten den Wert für .
Wir setzen den Wert für in die zweite Ausgangsgleichung ein.
Wir möchten, dass die Variable wegfällt. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit 
.
Wir setzen den Wert für in die zweite Ausgangsgleichung ein.
Wir möchten, dass die Variable wegfällt. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit
Wir berechnen den Wert für
Wir setzen den Wert für in die erste Gleichung ein.
Das System lösen - Rationale Koeffizienten
Wir kürzen die Nenner in der zweiten Gleichung, indem wir mit 
multiplizieren.
Dieser Bruch entspricht 
. Somit ändert sich die Proportionalität der Gleichung nicht; es handelt sich einfach nur um einen Trick, der die Berechnung einfacher macht.
Wir erhalten:
Um die Nenner in der zweiten Gleichung loszuwerden, multiplizieren wir 
mit 
. Das neue System lautet:
Wir wenden das Additionsverfahren an. Dazu müssen wir eine der Unbekannten loswerden, indem wir die beiden Gleichungen addieren. Wir multiplizieren also die erste Gleichung mit 
und werden so unser los. Indem wir die beiden Gleichungen addieren, erhalten wir eine Gleichung mit einer Unbekannten ()/p>
Wir erhalten den Wert für
Wir setzen den Wert für in die erste Ausgangsgleichung ein.
Wir entfernen die Nenner. Dazu multiplizieren wir die Gleichungen mit 2, da in beiden nur dieser Nenner vorkommt:
Da auf der linken Seite der Gleichungen mit oder durch die gleiche Zahl multipliziert und dividiert wird, kann 2 weggekürzt werden
Wir lösen die Klammern auf
Wir ordnen die Terme, die Variablen auf einer Seite und das konstante Glied auf der anderen Seite
Da in den Gleichungen x und -x vorkommt, können wir direkt vereinfachen (Addition der Gleichungen) und die Variable x entfernen, da -x+x=0. Wir addieren Glied für Glied und berechnen den Wert für .
Wir setzen den Wert für in die zweite Gleichung des Systems ein (man kann auch die erste Gleichung nehmen) und bestimmen
Wir entfernen die Nenner der zweiten Gleichung, indem wir mit 100 multiplizieren.
Wir kürzen 100 aus den Termen, in denen sie als Faktor vorkommt; somit gilt 
wir addieren ähnliche Terme, um zu vereinfachen
Wir möchten, dass wegfällt. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 
Wir erhalten den Wert für .
Wir setzen den Wert für in die erste Gleichung ein und bestimmen.
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
