Aufgaben zur Anwendung der Ableitung 1

Berechne die Punkte, an denen die Tangente an den Graphen parallel zur x-Achse ist.

Die x-Achse hat die Gleichung , weshalb

Wir setzen die 1. Ableitung gleich , um die Berührungspunkte zu ermitteln.

;     (wir vereinfachen durch )

Wir ermitteln die zweiten Koordinaten durch Einsetzen in die Funktion

An den Graphen wurde eine Tangente gezeichnet, deren Steigung ist und die durch den Punkt verläuft. Finde den Berührungspunkt.

Der Berührungspunkt sei

Wir setzen die 1. Ableitung mit der Steigung gleich

Die Gleichungen der Tangenten sind:

Der Punkt gehört zur Geraden .

Somit ist der Berührungspunkt .

Finde die Punkte des Graphen , für die die Tangente einen Winkel von mit der x-Achse bildet.

Wir setzen die 1. Ableitung mit der Steigung gleich und lösen die Gleichung

Die 2. Koordinaten erhalten wir durch Einsetzen in die Funktion

Gegeben ist die Funktion . Finde den Winkel, den die Tangente an den Graphen der Funktion im Ursprung mit der x-Achse bildet.

Berechne die Gleichung der Tangente und der Normalen des Graphen im Punkt der Abszisse: .

Tangentengleichung:

Normalengleichung:

Ermittle die Koeffizienten der Gleichung , wenn du weißt, dass ihr Graph durch und verläuft und in diesem letzten Punkt die Tangente die Steigung hat.

Verläuft durch

Verläuft durch

Wir lösen das System und erhalten:

Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte und . Die Tangente im Punkt auf der x-Achse ist parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten. Berechne den numerischen Wert von und .

Verläuft durch

Verläuft durch

Wir lösen das System und erhalten

Gegeben ist die Funktion . Berechne und ; ihr Graph verläuft durch die Punkte und . Die Tangenten an den Abszissenpunkten und sind parallel zur x-Achse.

In welchem Punkt des Graphen verläuft die Tangente parallel zur Sehne, die die Punkte und verbindet?

Die Steigung der Sehne muss gleich der Ableitung der Funktion sein.

Die Gleichung für eine Kreisbewegung lautet: . Wie hoch sind die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach sieben Sekunden?

Ein Beobachter befindet sich vom Startturm einer Rakete entfernt. Wenn sie senkrecht abhebt, misst sie die Veränderung des Winkels zwischen der Sichtlinie zur Rakete und dem horizontalen Bodenwinkel in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit. Wir wissen, dass . Berechne:

a Auf welcher Höhe befindet sich die Rakete, wenn ?

b Wie schnell ist die Rakete, wenn ?

In einen kugelförmigen Ballon wird Gas mit einer Geschwindigkeit von /min gepumpt. Wie schnell ändert sich der Radius des Ballons bei konstantem Druck, wenn der Durchmesser beträgt?

Um dieses Problem zu lösen, benötigen wir die Formel für das Volumen in Abhängigkeit vom Radius:

Außerdem wissen wir, dass die Änderungsrate des Volumens mit der Einheit angegeben.

Um die Funktionen miteinander in Beziehung zu setzen, müssen wir das Volumen in Abhängigkeit von der Zeit schreiben. Wir tun dies, indem wir schreiben, da der Radius ebenfalls mit der Zeit variiert. Somit:

Nun leiten wir das Volumen in Abhängigkeit von der Zeit ab (wir verwenden die Kettenregel):

Wir stellen fest, dass wir in der obigen Gleichung bereits alles haben, was wir brauchen. Wir kennen bereits , das konstant ist. Außerdem ist die Variable, nach der wir suchen. Wir bestimmen zunächst .

Wir kennen die Zeit nicht, aber wir wissen, dass der Durchmesser 120 cm beträgt, d.h. der Radius ist 60 cm oder 0,6 m. Wir setzen diese Werte ein:

Die Antwort lautet also 1,33 m/min.

Finde den Schnittwinkel zwischen den Graphen und

1 Wir wenden die Formel an

2 Wir setzen die beiden Graphen gleich

3 Wir berechnen die Steigungen

4 Wir setzen in die Formel für den Winkel zwischen zwei Graphen ein