Kapitel
- Ableitungen von trigonometrischen Funktionen
- Ableitungen von trigonometrischen Umkehrfunktionen
- Ableitungen von zusammengesetzten Logarithmusfunktionen und trigonometrischen Funktionen
- Ableitungen von zusammengesetzten Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen
- Höhere Ableitungen
- Implizite Ableitung
- Zusätzliche Problemstellungen zur Ableitung
Ableitungen von trigonometrischen Funktionen
Wir werden uns Übungen zur Ableitung trigonometrischer Funktionen ansehen und versuchen, das Verfahren so detailliert wie möglich zu beschreiben. Es wird vorausgesetzt, dass die Ableitungen der trigonometrischen Grundfunktionen bereits bekannt sind.
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird 
anstelle von 
verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Wir verwenden also in unserer Aufgabe 
und 
. Unsere Ableitung ist also
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Somit
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
wir vereinfachen und erhalten
Daraus folgt:
Ableitungen von trigonometrischen Umkehrfunktionen
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Ableitungen von zusammengesetzten Logarithmusfunktionen und trigonometrischen Funktionen
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Bevor wir ableiten, sollten wir beachten, dass unsere Funktion aufgrund der Eigenschaften des Logarithmus wie folgt geschrieben werden kann
Wir nehmen
und erhalten
Nun lösen wir also unsere Ableitungen. Wir beginnen mit 
Nun leiten wir 
ab
Und somit:
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung. Wir lösen zunächst die Ableitung der Funktion im Argument des Sinus und leiten wie folgt ab
Somit:
Ableitungen von zusammengesetzten Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Zusätzlich zur Berücksichtigung der Kettenregel wenden wir die implizite Ableitung an, um die Ableitung von 
zu ermitteln.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Zusätzlich zur Berücksichtigung der Kettenregel wenden wir die implizite Ableitung an, um die Ableitung von zu ermitteln.
Wir lösen also unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Zunächst können wir aufgrund der Eigenschaften von Logarithmen die Basis in den natürlichen Logarithmus ändern. Daraus folgt:
Und somit:
Nun wollen wir unsere Ableitung lösen, indem wir die Quotientenregel für die Ableitung anwenden
Höhere Ableitungen
Um die Formel zu erhalten, müssen wir zunächst die ersten Ableitungen ermitteln und sehen, ob sich daraus ein Muster ergibt
Hierbei ist zu beachten, dass die vierte Ableitung eine Konstante ist, 
, sodass ab der fünften Ableitung die Ableitungen immer 0 sind, d. h.
Um die Formel zu erhalten, müssen wir zunächst die ersten Ableitungen ermitteln und sehen, ob sich daraus ein Muster ergibt
Im Allgemeinen ist die n-te Ableitung gegeben durch
Um die Formel zu erhalten, müssen wir zunächst die ersten Ableitungen ermitteln und sehen, ob sich daraus ein Muster ergibt
Mit diesen ersten Ableitungen erhält man, dass die n-te Ableitung die folgende Form hat
Um die Formel zu erhalten, müssen wir zunächst die ersten Ableitungen ermitteln und sehen, ob sich daraus ein Muster ergibt
Die Formel für die n-te Ableitung ist gegeben durch
Implizite Ableitung
In den folgenden Aufgaben leiten wir implizit ab. Diese Ableitung erfolgt in der Regel, wenn wir eine Variable nicht durch eine andere ableiten können. Daher leiten wir die Variablen durch dieselbe unabhängige Variable ab, d. h. die Ableitung von wird als 
geschrieben, wann immer sie erscheint.
Wir leiten implizit ab. Unsere Funktion lautet
Wir leiten ab und erhalten
Wir schreiben die Ableitung in einer einfacheren Form
Wir lassen die Terme mit los términos con auf der linken Seite des Ausdrucks stehen
Wir können auf der linken Seite bestimmen
Somit lautet unsere Ableitung
Zuerst werden wir unseren Ausdruck in eine etwas praktischere Form bringen und beginnen dann mit der Ableitung
Wir leiten ab
Und vereinfachen
Wir können auf der rechten Seite faktorisieren
Wir erhalten das Ergebnis
Zusätzliche Problemstellungen zur Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um unsere Ableitung zu erhalten, wenden wir die Quotientenregel an
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibweise.
Wir lösen nun unsere Ableitung
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibeweise.
Vor dem Lösen wenden wir die Eigenschaften von Logarithmen an, um den Ausdruck zu vereinfachen und etwas einfacher zu gestalten
Das heißt, die Ableitung einer Konstanten ist unmittelbar
Leite folgende Funktion ab
Um die Ableitung zu erhalten, wenden wir die Kettenregel an, bei der die Zusammensetzung von zwei Funktionen Folgendes ergibt:
ihre Ableitung ist
Oftmals wird anstelle von verwendet, es geht lediglich um die Schreibeweise.
Nun lösen wir also unsere Ableitung
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