Übungen zu den Anwendungen der Ableitung – Teil 2

Die Definitionsmenge von ist

Um die Intervalle zu bestimmen, in denen der Graph der Funktion steigt, müssen wir die Intervalle ermitteln, in denen die Ableitung positiv ist. Und um die Intervalle zu bestimmen, in denen der Graph der Funktion fällt, müssen wir die Intervalle ermitteln, in denen die Ableitung negativ ist. Daher müssen wir zunächst die Funktion ableiten:

Wir ermitteln nun die Intervalle, in denen positiv oder negativ ist. Hierzu berechnen wir die Nullstellen von :

Da , erhalten wir und .

Beachte, dass mit der Ableitung ein Vorzeichenwechsel einhergeht.

Wenn also (das heißt ), dann ). Um dies feststellen zu können, probieren wir (zum Beispiel) mit , wodurch wir erhalten.

Und wenn , ist .

Und schließlich, wenn , ist .

Somit sind die Intervalle, in denen die Funktion streng monoton steigend ist,

Die Intervalle, in denen streng monoton fallend ist, sind

Die Definitionsmenge von ist

Die Funktion ist also für die Zahl 0 nicht definiert.

Um die Intervalle zu bestimmen, in denen der Graph der Funktion steigt, müssen wir die Intervalle ermitteln, in denen die Ableitung positiv ist. Und um die Intervalle zu bestimmen, in denen der Graph der Funktion fällt, müssen wir die Intervalle ermitteln, in denen die Ableitung negativ ist. Daher müssen wir zunächst die Funktion ableiten:

Um nun die Intervalle bestimmen zu können, in denen positiv oder negativ ist, müssen wir zunächst die Nullstellen von ermitteln:

Wir erhalten somit , weshalb und . Außerdem müssen wir beachten, dass und dort nicht definiert ist.

Die Logik, der wir hier folgen, ist, dass das Vorzeichen um die Nullstellen oder Punkte der Unbestimmtheit ändert.

Wir stellen fest, dass wenn (das heißt ), ist . Um dies feststellen zu können, probieren wir (zum Beispiel) mit , wodurch wir erhalten.

Und wenn , ist .

Wenn , ist .

Und wenn , ist .

Die Intervalle, in denen streng monoton steigend ist, sind

Die Intervalle, in denen streng monoton fallend ist, sind

Um die Maxima und Minima der Funktion zu bestimmen, müssen wir die Ableitung der Funktion berechnen.

Die Funktion hat ein Maximum oder Minimum, wenn . Das heißt

,

was erfüllt ist, wenn . Und somit .

Um bestimmen zu können, ob ein Maximum ist, können wir die 1. oder 2. Ableitung nutzen. In diesem Fall ist es einfacher, die 1. Ableitung zu verwenden, um die Berechnung der 2. Ableitung zu vermeiden. Hierfür werten wir an einem Punkt links von und an einem Punkt rechts davon aus (nur nicht bei -3 und 3). Da -1 links von liegt, prüfen wir:

Da 1 rechts von liegt, prüfen wir:

Wir stellen fest, dass die Ableitung links von positiv ist (die Funktion steigt) und rechts von negativ ist (die Funktion fällt).

Der Wert von bei ist:

Dies bedeutet, dass ein Maximum (und der einzige Extrempunkt von ) ist.

Um die Maxima und Minima der Funktion zu bestimmen, müssen wir die Ableitung der Funktion berechnen.

Die Funktion hat ein Maximum oder Minimum, wenn . Das heißt

,

was erfüllt ist, wenn .

Um bestimmen zu können, ob ein Maximum ist, können wir die 1. oder 2. Ableitung nutzen. In diesem Fall ist es einfacher, die 1. Ableitung zu verwenden, um die Berechnung der 2. Ableitung zu vermeiden. Hierfür werten wir an einem Punkt links von und an einem Punkt rechts davon aus. Da -6 links von liegt, prüfen wir:

Da -4 rechts von liegt, prüfen wir::

Wir stellen fest, dass die Ableitung links von positiv (die Funktion steigt) und rechts von negativ (die Funktion fällt) ist.

Der Wert von bei ist:

Dies bedeutet, dass ein Maximum von ist.

Um bestimmen zu können, ob ein Minimum ist, können wir die 2. oder 1. Ableitung nutzen. In diesem Fall ist es einfacher, die 1. Ableitung zu verwenden, um die Berechnung der 2. Ableitung zu vermeiden. Hierfür werten wir an einem Punkt links von aus. Wir wie zuvor gesehen haben, ist  .

Da 2 außerdem rechts von liegt, prüfen wir:

Wir stellen fest, dass die Ableitung links von negativ (die Funktion fällt) und rechts von positiv ist (die Funktion steigt).

Der Wert von bei ist:

Dies bedeutet, dass ein Maximum von ist.

Um die Maxima und Minima der Funktion zu bestimmen, müssen wir die Ableitung der Funktion berechnen. Wir stellen fest, dass wir die Funktion wie folgt vereinfachen können:

Die Ableitung ist also:

Wir vereinfachen den Zähler und erhalten:

Die Funktion hat ein Maximum oder Minimum, wenn . Das heißt

,

was erfüllt ist, wenn . Und somit .

Um bestimmen zu können, ob determianr si ein Maximum ist, können wir die 2. oder 1. Ableitung nutzen. In diesem Fall ist es jedoch einfacher, die 1. Ableitung zu verwendnen, um die Berechnung der 2. Ableitung zu vermeiden. Hierfür werten wir an einem Punkt links von und an einem Punkt rechts davon aus (jedoch niemals größer als 3).  Da 1 links von liegt, prüfen wir:

Da 2 außerdem rechts von liegt, prüfen wir:

Wir stellen fest, dass die Ableitung links von negativ (die Funktion fällt) und rechts von positiv ist (die Funktion steigt).

Der Wert von bei ist:

Dies bedeutet, dass ein Minimum (und der einzige Extrempunkt von ) ist.

Die 1. Ableitung ist gegeben durch:

Die Steigung der Tangente für ist gegeben durch

Die Funktion von ist

Daher verläuft die Funktion durch den Punkt und die Tangente muss durch denselben Punkt verlaufen.

1 Um die Gleichung der Tangente zu bestimmen, verwenden wir die Punkt-Steigungs-Formel mit und :

Die Gleichung der Tangente ist also

2 Um nun die Gleichung der Geraden zu bestimmen, gehen wir ganz ähnlich vor, nun aber mit und :

Die Gleichung der Geraden ist somit

oder

Zunächst müssen wir den Wendepunkt der der Ableitung finden. Diesen ermitteln wir mit der 2. Ableitung der Funktion. Die 1. Ableitung ist gegeben durch

Die 2. Ableitung ist gegeben durch

Der Wendepunkt ist gefunden, wenn . Das heißt

ist somit der Wendepunkt.

Der Wert der Ableitung am Wendepunkt ist:

Die Steigung von für ist also 4. Die Tangente muss diese Steigung haben.

Wenn wir die Funktion für auswerten, erhalten wir:

Daher verläuft die Funktion durch den Punkt und die Tangente muss durch denselben Punkt verlaufen.

1 Um die Gleichung der Tangente bestimmen zu können, verwenden wir die Punkt-Steigungs-Formel mit und :

Die Gleichung der Tangente ist also

2 Um nun die Gleichung der Geraden zu bestimmen, gehen wir ganz ähnlich vor, nun aber mit und :

Die Gleichung der Geraden ist also

oder

a Geht dem Automaten jemals das Geld aus?

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir verifizieren, dass für alle . Das ist gar nicht so einfach, da wir die Nullstellen von bestimmen müssen und es sich um eine Gleichung 3. Grades handelt. Der einfachste Weg ist, die Funktion grafisch darzustellen:

Wir stellen fest, dass der Graph im gesamten Intervall positiv ist. Wir sehen auch, dass der Graph sehr große Werte, sogar größere als , annimmt.

Daraus können wir schließen, dass dem Automaten nie die Münzen ausgehen.

b Die Abrechnung wird nach 24 Stunden gemacht. Erzielt die Maschine einen Gewinn für die Besitzer des Automaten?

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir den Geldbetrag zu Beginn und am Ende des 24-Stunden-Zeitraums ermitteln. Also und . Wir erhalten

und

Nach 24 Stunden sind also Euro im Automaten. Dies bedeutet einen Gewinn von Euro pro Tag.

c Zu welchem Zeitpunkt ist der Geldbetrag am höchsten und zu welchem Zeitpunkt am niedrigsten?

Wir definieren die Zeitpunkte der höchsten und niedrigsten Einnahmen als die Momente, in denen das meiste bzw. das wenigste Geld im Automaten ist.

Aus der Abbildung geht hervor, dass der Automat am wenigsten Geld hat, wenn ist, da dies der einzige Fall ist, in dem ist. Dieses Minimum kann nicht mit der Ableitung ermittelt werden.

Für die höchste Einnahme müssen wir das Maximum der Funktion bestimmen. Wir müssen also ableiten:

Wir ermitteln die Nullstellen wie folgt:

Die Nullstellen sind also 16 und 22.

Wir berechnen die 2. Ableitung:

und stellen fest, dass . Ein Maximum befindet sich somit bei . Bei der Auswertung von ist ein lokales Minimum (dessen Wert jedoch größer ist als der von .

Bevor wir zu dem Schluss kommen, dass der Zeitpunkt des maximalen Ertrags ist, müssen wir prüfen, ob größer ist als :

Der Zeitpunkt des höchsten Betrags ist also, wenn . Das heißt in Stunde 16.

d Zu welchem Zeitpunkt zahlt der Automat den höchsten Gewinn aus?

Der höchste Gewinn wird ausgezahlt, wenn so stark wie möglich fällt. Die Funktion fällt nur zwischen 16 und 22, sodass zu einem dieser Zeitpunkte der höchste Gewinn ausgezahlt wird. Dies kann auf zwei Arten ermittelt werden. Eine Möglichkeit besteht darin, das Minimum von zu bestimmen, das, da es sich um eine Parabel handelt, der Mittelpunkt ihrer Nullstellen (16 und 22) ist, also 19.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Wendepunkt mithilfe der 2. Ableitung zu ermitteln. In diesem Fall . Wenn wir gleich 0 setzen, erhalten wir

und somit . Genau wie wir es vorher berechnet hatten. Folglich wird in Stunde 19 der höchste Gewinn ausgezahlt.

Um den Wendepunkt zu bestimmen, benötigen wir die 2. Ableitung. Daher beginnen wir mit der Berechnung der 1. Ableitung:

Die 2. Ableitung ist

Da wir möchten, dass sich der Wendepunkt bei befindet, gehen wir wie folgt vor:

Wir erhalten die Gleichung und somit . Außerdem soll die Tangente an diesem Punkt einen Winkel von mit der x-Achse bilden. Wir wissen, dass der Tangens dieses Winkels die Steigung ist und somit

Die Tangente muss eine Steigung von 1 haben muss, das heißt . Wir erhalten

Daraus folgt, dass oder .

Deshalb ist und .

Zunächst müssen wir den Wendepunkt ermitteln. Dazu muss die 2. Ableitung gleich null sein. Wir berechnen zuerst die 1. Ableitung:

Die 2. Ableitung ist also

Wenn wir also gleich 0 setzen, erhalten wir oder . Der Wendepunkt liegt also bei . Nun werten wir für aus:

,

sodass der Wendepunkt der Punkt ist.

Die Steigung der Tangente ist . Wir werten also für aus:

Damit können wir nun die Gleichung der Tangente mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Formel ermitteln:

Die Gleichung der Tangente ist somit

Da wir bereits wissen, wo sich die Maxima und Minima befinden, benötigen wir die 1. Ableitung der Funktion:

,

wobei die kritischen Werte bei und liegen müssen (beachte, dass es keine Rolle spielt, ob es sich um Minima oder Maxima handelt, da der Leitkoeffizient 1 ist und sich das Maximum immer auf der linken Seite befindet). Es muss also gelten, dass und :

Daraus folgt, dass sowie

Wir erhalten , wenn wir bestimmen.

Und schließlich wissen wir, dass . Somit:

Wir erhalten . Die Werte sind also

und die Funktion ist .

Wir wissen, dass einen Wendepunkt bei hat. Das bedeutet:

1 muss durch den Punkt verlaufen:

Deshalb ist .

2 Die 2. Ableitung von muss 0 sein bei . Wir berechnen also die Ableitungen:

und

,

wobei erfüllt sein muss, dass :

Daraus folgt, dass .

Wir müssen nun noch die Konstanten , und bestimmen. Wir wissen jedoch bereits, dass die Funktion folgende Form hat

Wir wissen, dass die Funktion (Steigung 2) am Punkt tangiert. Daraus folgt, dass sein muss:

Wir erhalten also .

Wir wissen außerdem, dass einen kritischen Punkt bei hat. Dies bedeutet, dass

1 durch den Punkt verläuft, oder dass . Somit:

oder

2 Die Ableitung von für muss 0 sein. Das heißt:

oder

Wir stellen fest, dass (1) und (2) ein Gleichungssystem bilden. Eine Möglichkeit, dieses zu lösen, besteht darin, (1) mit 3 zu multiplizieren und das Ergebnis von (2) zu subtrahieren. Wir erhalten:

Im Anschluss setzen wir diesen Wert in (1) ein, um oder zu erhalten.

Somit

Da der Graph die x-Achse bei schneidet, muss sein. Das heißt

oder

Uns ist außerdem ein Wendepunkt von bekannt. Dies bedeutet zwei Dinge:

1 muss durch den Punkt verlaufen

das heißt

oder

2 Außerdem wissen wir, dass der Wendepunkt bei liegt. Wir benötigen also die 2. Ableitung von und berechnen zunächst die 1. Ableitung:

Die 2. Ableitung ist

Hieraus folgt, dass . Das heißt

Und schließlich .

Wir setzen nun in die beiden vorherigen Gleichungen ein. Wenn wir in Gleichung (2) einsetzen, erhalten wir . Das heißt

und wenn wir in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir . Das heißt

Wenn wir in Gleichung (3) einsetzen, erhalten wir

Das heißt . Wenn wir dann in den Ausdruck für einsetzen, erhalten wir

Die Werte sind also

Wir möchten, dass der Graph durch den Koordinatenursprung verläuft. Das heißt . Wenn wir die Funktion im Ursprung auswerten, erhalten wir:

Daraus folgt, dass sowie . Wir haben also bereits einen der drei Werte gefunden.

Außerdem wissen wir, dass einen lokalen Extrempunkt bei haben muss. Dies bedeutet zwei Dinge:

1 Erstens: . Das heißt, dass durch den Punkt verlaufen muss. Wenn wir also für 2 auswerten, erhalten wir

Wir bringen den Nenner durch Multiplikation auf die andere Seite und erhalten

das heißt

2 Außer dass durch verlaufen muss, muss auch gelten, dass , damit die Funktion einen lokalen Extrempunkt an diesem Punkt hat. Deshalb müssen wir die Ableitung von mithilfe der Quotientenregel bestimmen:

Wir vereinfachen und erhalten

Wir werten für die Zahl 2 aus und erhalten:

Es muss gelten, dass , damit die Ableitung definiert ist. Der Ausdruck ist also äquivalent zu . Da wir wissen, dass , muss  sein. Somit ist .

Setzen wir dann die Gleichung des vorherigen Falls ein, erhalten wir:

das heißt .

Unsere Ergebnisse sind , und .

Da die Funktion Extremstellen für und haben soll, müssen und sein.

Deshalb berechnen wir zunächst die Ableitung der Funktion

Nun werten wir für aus:

Und wir werten für aus:

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem

Die Lösung ist und . Deshalb sind die Werte

und unsere Funktion ist

Um festzustellen, ob es sich um Minima oder Maxima handelt, berechnen wir dann die 2. Ableitung:

Wir werten für aus:

und erhalten ein Minimum für . Ähnlich verhält es sich, wenn wir für auswerten:

Wir erhalten ein Maximum für .