Aufgaben zur Ableitbarkeit und Stetigkeit

Untersuche die Stetigkeit und die Ableitbarkeit der Funktion .

1 Zunächst untersuchen wir die Stetigkeit bei

Die Funktion ist stetig.

2 Wir untersuchen die Ableitbarkeit.

Da die seitlichen Ableitungen bei unterschiedlich sind, ist die Funktion an diesem Punkt nicht ableitbar.

Untersuche die Stetigkeit und die Ableitbarkeit der Funktion

1 Zunächst untersuchen wir die Stetigkeit bei

Die Funktion ist stetig.

2 Wir untersuchen die Ableitbarkeit.

Da die seitlichen Ableitungen bei unterschiedlich sind, ist die Funktion an diesem Punkt nicht ableitbar.

Untersuche die Stetigkeit und die Ableitbarkeit der Funktion

1 Zunächst untersuchen wir die Stetigkeit bei

Die Funktion ist nicht stetig und somit auch nicht ableitbar.

Untersuche die Stetigkeit und die Ableitbarkeit der Funktion

1 Zunächst untersuchen wir die Stetigkeit bei

Die Funktion ist stetig.

2 Wir untersuchen die Ableitbarkeit.

Da die seitlichen Ableitungen bei unterschiedlich sind, ist die Funktion an diesem Punkt nicht ableitbar.

Ermittle den Punkt, an dem keine Ableitung hat. Begründe das Ergebnis, indem du es grafisch darstellst.

1 Wir wandeln in eine abschnittsweise definierte Funktion um

2 Wir untersuchen die Stetigkeit bei

Die Funktion ist im gesamten Bereich stetig.

3 Wir untersuchen die Ableitbarkeit.

Da die seitlichen Ableitungen bei unterschiedlich sind, ist die Funktion an diesem Punkt nicht ableitbar.

Bei gibt es eine Spitze, sodass sie an diesem Punkt nicht ableitbar ist.

Ermittle die Punkte, an denen keine Ableitung hat. Begründe das Ergebnis durch Darstellung des Graphen.

1 Wir wandeln in eine abschnittsweise definierte Funktion um

2 Wir untersuchen die Stetigkeit bei und

Die Funktion ist im gesamten Bereich stetig.

3 Wir untersuchen die Ableitbarkeit.

Da die seitlichen Ableitungen bei und unterschiedlich sind, ist die Funktion an diesen Punkten nicht ableitbar.

Wir sehen, dass wir bei x = 2 und x = 3 zwei Winkelpunkte haben, sodass die Funktion an diesen Punkten nicht ableitbar ist.

Untersuche die Stetigkeit und Ableitbarkeit der wie folgt definierten Funktion:

1 Die Funktion ist bei nicht stetig, da sie keine Abbildung besitzt. Sie kann deshalb auch nicht abgeleitet werden. Wir untersuchen die Stetigkeit bei

Die Funktion ist bei stetig.

2 Wir untersuchen die Ableitbarkeit.

Da die seitlichen Ableitungen unterschiedlich sind, ist die Funktion bei nicht ableitbar.

Gegeben ist die Funktion:

Für welche Werte von kann sie abgeleitet werden?

1 Wir untersuchen die Stetigkeit bei

Damit die Funktion bei stetig ist, müssen die seitlichen Grenzwerte gleich sein

2 Wir untersuchen die Ableitbarkeit bei

Ableitbar für . Für ist die Funktion nicht stetig.

Untersuche, für welche Werte von und die Funktion stetig und ableitbar ist:

1 Wir untersuchen die Stetigkeit bei

Damit die Funktion bei stetig ist, müssen die seitlichen Grenzwerte gleich sein, also 

2 Wir untersuchen die Ableitbarkeit bei

Ableitbar für .

Ermittle die Werte von und , für die die folgende Funktion an allen Punkten ableitbar ist:

Damit eine Funktion an allen Punkten ableitbar ist, muss sie an allen Punkten stetig sein. In diesem Fall ist die Funktion bei nicht stetig, da sie keine Abbildung hat. Die Funktion ist an diesem Punkt nicht definiert, das Ergebnis von ist keine reelle Zahl.

Für und existieren keine Werte, für die die Funktion stetig ist.

Es gibt also keine Werte von und , für die die Funktion ableitbar ist.

Untersuche, für welche Werte von und die Funktion stetig und ableitbar ist:

1 Wir untersuchen die Stetigkeit bei und

Damit die Funktion im gesamten Bereich stetig ist, muss und sein

2 Wir untersuchen die Ableitbarkeit bei und

Sie ist nicht ableitbar bei .

Sie ist ableitbar bei .