Die Ableitung berechnen
Berechne die Ableitungen für die angegebenen Punkte:
-
bei 
. -
bei 
. -
bei 
. -
bei 
.
Es sei daran erinnert, dass eine Möglichkeit zur Berechnung der Ableitung in ihrer Definition besteht, d. h. in der Berechnung des folgenden Grenzwerts
1 bei
Die Ableitung berechnen
Wir eliminieren die Klammern und berechnen
Wir streichen Terme und faktorisieren 
im Zähler
Wir vereinfachen und berechnen den Grenzwert
Und schließlich
Wir werten aus
Wir werten die Ableitung am Punkt aus
2 bei .
Die Ableitung berechnen
Wir eliminieren die Klammern und berechnen
Wir streichen Terme und faktorisieren im Zähler
Wir vereinfachen und berechnen den Grenzwert
Schließlich
Auswerten
Wir werten die Ableitung am Punkt aus
3 bei
Die Ableitung berechnen
Wir berechnen
Wir vereinfachen und berechnen den Grenzwert
Auswerten
Wir werten die Ableitung am Punkt aus
4 bei .
Die Ableitung berechnen
Mutliplikation mit dem Konjugierten, um zu rationalisieren
Wir berechnen
Wir vereinfachen und berechnen den Grenzwert
Auswerten
Wir werten die Ableitung am Punkt aus
Wie hoch ist die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs, das sich gemäß der Gleichung 
in der fünften Sekunde seiner Fahrt bewegt? Die Strecke wird in Metern und die Zeit in Sekunden gemessen.
Wir berechnen die Ableitung
Die Geschwindigkeit ist gleich der Ableitung der Gleichung der Position, in diesem Fall 
Wir eliminieren die Klammern und berechnen
Wir streichen Terme und faktorisieren im Zähler
Wir vereinfachen und berechnen den Grenzwert
Auswerten
Bestimme die Koordinaten
Gegeben ist der Graph der Gleichung 
. Bestimme die Koordinaten der Punkte auf diesem Graphen, an denen die Tangente einen Winkel von 45° mit der x-Achse bildet.
Wir berechnen die Ableitung
Wir eliminieren die Klammern und berechnen
Wir streichen Terme und faktorisieren im Zähler
Wir vereinfachen und berechnen den Grenzwert
Wir setzen die Ableitung gleich und erhalten den Wert der Abszisse
Wir möchten, dass die Tangente an den Graphen einen Winkel von 45° mit der x-Achse bildet. Ihre Steigung muss also einen Wert von 
haben
Somit
4x-3=1 \hspace{2cm} 4x=4 \hspace{2cm} x=1
Die Ordinate erhalten und den Punkt ermitteln
Wir setzen den Punkt in 
ein und erhalten so die Ordinate des Punktes
Auf Stetigkeit und Ableitbarkeit untersuchen
Aufgrund der schlechten Umweltbedingungen beginnt eine Kolonie von einer Million Bakterien erst nach zwei Monaten mit der Vermehrung. Die Funktion, die die Population der Kolonie in Abhängigkeit von der Zeit (ausgedrückt in Monaten) darstellt, ist gegeben durch:
Folgendes wird verlangt:
-
Überprüfe, ob die Population eine stetige Funktion der Zeit ist.
-
Berechne die mittlere Änderungsrate der Population auf den Intervallen [0, 2] und [0, 4].
-
Berechne die momentane Änderungsrate bei t = 4.
1 Stetigkeit
Eine konstante Exponentialfunktion ist stetig, da 
bei 
stetig ist.
Es muss nur noch überprüft werden, ob am Punkt stetig ist
Da diese drei Werte gleich sind, ist die Funktion bei 2 stetig und somit in allen Punkten stetig.
2 Mittlere Änderungsrate bei [0, 2] und [0, 4]
[0, 2]
[0, 4]
3 Momentane Änderungsrate bei t = 4
Die Ableitung ist durch folgende Funktion gegeben
Die Ableitung bei t=4 ist
Die Ableitung der Exponentialfunktion wurde mit Hilfe der direkten Formel ermittelt.
Finde den Punkt, an dem 
keine Ableitung hat. Begründe das Ergebnis, indem du es grafisch darstellst.
Die Funktion ist äquivalent zu der folgenden Funktion
überprüfen
Wir untersuchen die Stetigkeit bei 
Wir stellen fest, dass
Somit ist ist die Funktion stetig im gesamten Bereich 
Die Ableitung ist andererseits gegeben durch
Wir untersuchen die Ableitbarkeit bei 
Also sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gegeben durch
Da sie nicht gleich sind, können wir daraus schließen, dass nicht ableitbar ist bei: .
Wir analysieren den Graphen
Bei gibt es eine Spitze. Somit ist an diesem Punkt keine Ableitung möglich.
Finde die Punkte, an denen 
keine Ableitung hat. Begründe das Ergebnis, indem du es grafisch darstellst.
Die Funktion ist äquivalent zu der folgenden Funktion
und überprüfen
Wir untersuchen die Stetigkeit bei 
y en 
Wir stellen fest, dass
Somit ist ist die Funktion stetig im gesamten Bereich .
Wir untersuchen die Ableitbarkeit bei und
Wir überprüfen die seitlichen Grenzwerte für
Und die seitlichen Grenzwerte von sind
Da die seitlichen Ableitungen nicht übereinstimmen, kann die Funktion nicht abgeleitet werden bei: und .
Wir analysieren den Graphen
Wir sehen, dass wir bei und zwei winklige Punkte haben, so dass die Funktion dort nicht ableitbar ist.
Untersuche die Stetigkeit und Ableitbarkeit der wie folgt definierten Funktion:
Die Funktion ist bei x = 0 nicht stetig, da sie keine Abbildung hat. Somit ist sie auch nicht ableitbar.
Wir untersuchen die Stetigkeit bei 
Der Wert in der Funktion lautet
Die seitlichen Grenzwerte sind
Da diese gleich sind, hat die Funktion an diesem Punkt einen Grenzwert und außerdem
Somit ist stetig bei
Wir möchten sehen, ob sie mit den Formeln der unmittelbaren trigonometrischen Ableitung ableitbar ist.
Wir berechnen die seitlichen Grenzwerte für
Da die seitlichen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist die Ableitung an diesem Punkt nicht möglich.
Parameter bestimmen
Gegeben ist die Funktion:
Für welche Werte von a ist sie ableitbar
Wir untersuchen die Stetigkeit bei 
Damit sie stetig ist, müssen die seitlichen Grenzwerte gleich sein
Wir lösen die quadratische Gleichung
Wir untersuchen die Stetigkeit bei
Die seitlichen Grenzwerte der Ableitung sind
Damit sie ableitbar ist, müssen die seitlichen Grenzwerte gleich sein
Um ableitbar zu sein, muss sie auch stetig sein, also ist sie nur für 
ableitbar, denn für 
ist sie nicht stetig
Untersuche, für welche Werte von a und b die Funktion stetig und ableitbar ist:
Wir untersuchen die Stetigkeit bei x = 0
Damit sie stetig ist, müssen die seitlichen Grenzwerte gleich sein
Wir untersuchen die Ableitbarkeit bei x = 0
Damit sie ableitbar ist, müssen die seitlichen Grenzwerte gleich sein
Bestimme die Werte von a und b, sodass die folgende Funktion an allen Punkten ableitbar ist:
Damit eine Funktion an allen Punkten ableitbar ist, muss sie an allen Punkten stetig sein. In diesem Fall ist die Funktion bei x = 0 nicht stetig, da sie keine Abbildung hat. Die Funktion ist an diesem Punkt nicht definiert, das Ergebnis von a/0 ist keine reelle Zahl.
Es gibt keine Werte für a und b, durch die die Funktion stetig wird.
Daher gibt es keine Werte von a und b, für die die Funktion ableitbar ist.
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