Aufgaben zum Monotonieverhalten von Funktionen

1 Wir schreiben den Betrag als abschnittsweise definierte Funktion

Wir leiten die Funktion ab

2 Wir berechnen die Nullstellen der 1. Ableitung, dazu setzen wir die Ableitung gleich 0 und lösen nach . Für jeden Teil der Funktion gilt:

wenn für , ist . Dieser Wert gehört jedoch nicht zu ; somit hat keine Nullstellen auf

wenn für , ist . Dies gehört zu ; somit hat eine Nullstelle auf

wenn für , ist . Dieser Wert gehört jedoch nicht zu ; somit hat keine Nullstellen auf

An den Punkten und hingegen existiert die Ableitung nicht, so dass wir die seitlichen Grenzwerte für die Ableitung an diesen Punkten berechnen.

Da die seitlichen Ableitungen nicht übereinstimmen, gibt es die Ableitung nicht. Auf die gleiche Weise führen wir die Berechnung für durch.

Da die seitlichen Ableitungen nicht übereinstimmen, gibt es die Ableitung nicht.

3 Wir bilden offene Intervalle mit den Nullstellen der 1. Ableitung und den Punkten, an denen es die Ableitung nicht gibt. Wir stützen uns dabei auf die Darstellung der Punkte auf der Zahlengeraden.

Die Intervalle, die wir erhalten, sind und

4 Wir nehmen einen Wert aus jedem Intervall (du kannst jeden Wert im Intervall nehmen) und bestimmen das Vorzeichen, das er in der 1. Ableitung hat.

5 Wir schreiben die Intervalle, auf denen die Funktion steigt und fällt

Steigend:

Fallend:

1 Wir leiten die Funktion ab

2 Wir berechnen die Nullstellen der 1. Ableitung (sofern vorhanden). Hierfür setzen wir die Ableitung gleich 0 und lösen nach auf

Wendet man die allgemeine Formel für quadratische Gleichungen auf den Zähler an, so hebt sich die obige Gleichung bei auf. Wir stellen fest, dass die Funktion und ihre Ableitung eine Unstetigkeitsstelle bei haben.

3 Wir bilden offene Intervalle mit der Unstetigkeitsstelle und den Nullstellen der Ableitung. Wir stützen uns auf die Darstellung der Punkte auf Zahlengeraden

Die Intervalle, die wir erhalten, sind und

4 Wir nehmen einen Wert aus jedem Intervall (du kannst jeden Wert im Intervall nehmen) und bestimmen das Vorzeichen, das er in der 1. Ableitung hat.

Für das Intervall nehmen wir , setzen in die Ableitung ein und erhalten

Für das Intervall nehmen wir , setzen in die Ableitung ein und erhalten

Für das Intervall nehmen wir , setzen in die Ableitung ein und erhalten

Für das Intervall nehmen wir , setzen in die Ableitung ein und erhalten

5 Wir schreiben die Intervalle, auf denen die Funktion steigt und fällt

Steigend:

Fallend:

1 Wir leiten die Funktion ab

2 Wir berechnen die Nullstellen der 1. Ableitung (sofern vorhanden) und setzen hierfür die Ableitung gleich 0. Wir lösen nach auf

für existieren keine Werte in den reellen Zahlen, die die vorherige Gleichung erfüllen. Somit hat die Ableitung keine Nullstellen. Wir stellen fest, dass die Ableitung bei nicht existiert.

3 Wir bilden offene Intervalle mit der Unstetigkeitsstelle, in diesem Fall hat die Ableitung keine Nullstellen. Wir stützen uns auf die Darstellung der Punkte auf der Zahlengeraden.

Die Intervalle, die wir erhalten, sind y

4 Wir nehmen einen Wert aus jedem Intervall (du kannst jeden beliebigen Wert nehmen) und ermitteln das Vorzeichen, das er in der 1. Ableitung hat.

Für das Intervall nehmen wir , setzen in die Ableitung ein und erhalten

Für das Intervall nehmen wir , setzen in die Ableitung ein und erhalten

5 Wir schreiben die Intervalle, auf denen die Funktion steigt und fällt

Steigend:

Fallend:

1 Wir leiten die Funktion ab

2 Wir berechnen die Nullstellen der 1. Ableitung (sofern vorhanden). Hierfür setzen wir die Ableitung gleich 0 und lösen nach auf

Die vorherige Gleichung hebt sich auf bei . Wir stellen fest, dass der Nenner der Gleichung niemals 0 ist.

3 Wir bilden offene Intervalle mit den Nullstellen der Ableitung und stützen uns auf die Darstellung der Punkt auf der Zahlengeraden.

Die Intervalle, die wir erhalten, sind und

4 Wir nehmen einen Wert auf jedem Intervall (du kannst jeden Wert im Intervall nehmen) und bestimmen das Vorzeichen, das er in der 1. Ableitung hat.

Für das Intervall nehmen wir , setzen in die Ableitung ein und erhalten

Für das Intervall tomamos , setzen in die Ableitung ein und erhalten

Für das Intervall nehmen wir , setzen in die Ableitung ein und erhalten

5 Wir schreiben die Intervalle, auf denen die Funktion steigt und fällt

Steigend:

Fallend:

1 Wir leiten die Funktion ab

2 Damit die Funktion streng monoton steigt, muss die Ableitung größer als 0 sein.

Wir wissen, dass und somit .

Wähle einfach , um sicherzustellen, dass für jeden Wert