Optimierung

Die Funktion, die es zu optimieren oder genauer gesagt zu maximieren gilt, ist die Funktion, die durch den Flächeninhalt des Dreiecks definiert ist. Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist seine Basis die Seite und seine Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Wir erhalten

Unter der Bedingung, dass der Umfang des Dreiecks beträgt, können wir die Variablen in Beziehung setzen:

Dieses Ergebnis können wir in die Funktion einsetzen:

Um die lokalen Extrema zu finden, leiten wir ab, setzen wir gleich 0 und berechnen die Nullstellen.


Schließlich können wir unser Ergebnis mit dem Kriterium der 2. Ableitung überprüfen. Es sei daran erinnert, dass wir ein lokales Maximum erhalten, wenn die 2. Ableitung ein negatives Vorzeichen hat, und ein lokales Minimum, wenn die 2. Ableitung ein positives Vorzeichen hat. Wir führen also die 2. Ableitung durch und werten für aus, da die Lösung verworfen wird, weil es kein Dreieck gibt, dessen Seite 0 ist.



Es ist also bewiesen, dass es bei ein Maximum gibt.
Die Basis misst und die schrägen Seiten messen ebenfalls . Das Dreieck mit der größten Fläche wäre also ein gleichseitiges Dreieck.

Zunächst müssen wir die zu optimierende Funktion ermitteln. Diese Funktion wird durch das Volumen der Schachtel definiert, die als Seiten , und als Höhe hat. Somit lautet unsere Funktion
Es ist zu beachten, dass wir hier nur eine Variable haben, so dass wir direkt zur Bestimmung der lokalen Extrema übergehen können. Wir denken daran, dass wir dazu unsere Funktion ableiten und die resultierende Gleichung gleich 0 setzen müssen. Diese Gleichung lässt sich nach folgender Formel lösen Daraus ergeben sich die folgenden zwei Lösungen

Wir stellen fest, dass die Lösung nicht gültig ist, da die Seite negativ wäre. Unser einziges lokales Extremum ist also .

Berechnet man die 2. Ableitung der Funktion und wertet sie für aus, erhält man

haben.

Die zu minimierende Funktion ist durch die Fläche der Papieroberfläche gegeben. Nun müssen wir aus den Bedingungen des Problems Gleichungen extrahieren, die die Variablen in Beziehung setzen. Aus der Abbildung und da wir gedruckten Text haben müssen, können wir schließen, dass . Wir lösen nach auf und erhalten . Wenn wir in der Funktion ersetzen, erhalten wir
Nun können wir die Funktion ableiten, um die lokalen Extrema zu ermitteln:
Wir setzen die Ableitung gleich 0

Das bedeutet, dass wir die Gleichung lösen müssen. Beachte, dass

Unsere Lösungen sind also und . Wir müssen die Lösung verwerfen, da sie negativ ist. Es gibt also nur eine Lösung für unser Problem. Daher brauchen wir die 2. Ableitung nicht zu berechnen und können daraus schließen, dass wir bei und die Abmessungen finden, die die Papierfläche minimieren.

Zunächst stellen wir die zu lösende Gleichung auf, die wir optimieren müssen. Wir nennen die erste Zahl und die zweite Zahl . Da das Fünffache des Quadrats des ersten minus das Sechsfache des Quadrats des zweiten das Minimum sein muss, lautet unsere Funktion . Und wir setzen die beiden Variablen durch die Bedingung in Beziehung, dass die Summe von zwei Zahlen ist, d. h.
Danach ersetzen wir den Wert von  und erhalten
Wir leiten die Funktion ab und erhalten Schließlich lösen wir die folgende Gleichung und erhalten

Wir kennen nun den Wert für , nämlich . Somit ist die Lösung für unser Problem. Wir überprüfen mittels der 2. Ableitung und erhalten . Somit ist ein Minimum der Funktion .

Angenommen, ist das Gewicht eines Diamanten. Da der Wert des Diamanten proportional zum Quadrat des Gewichts ist, muss der Wert unseres Diamanten durch gegeben sein, wobei eine positive Proportionalitätskonstante ist. Wenn man einen Diamanten von in zwei Teile mit den Gewichten und aufteilt, erhält man eine Gleichung, die nicht nur die Gewichte der Teile, sondern auch ihre Werte in Beziehung setzt: . Die Werte der einzelnen Teile sind also latex]kx^{2},\quad k(2-x)^{2}.[/latex] Und die Funktion, die wir optimieren wollen, ist durch die Summe dieser Werte gegeben, nämlich . Um die Extremwerte dieser Funktion zu finden, müssen wir ableiten und gleich 0 setzen

Wie wir sehen können, haben wir eine Lösung für unser Problem erhalten. Um zu prüfen, ob diese Lösung einen Minimalwert ergibt, ermitteln wir die 2. Ableitung und prüfen, ob sie tatsächlich positiv ist:

Auf diese Weise muss der Diamant in zwei gleiche Teile von je 1 g geteilt werden.

Die Funktion, die wir maximieren müssen, ist das doppelte Volumen eines Kegels, also . Da die Basis aus zwei kreisförmigen Platten mit dem Radius besteht, lautet die Gleichung für die Variablen . Wir ersetzen in der Funktion und erhalten . Nun leiten wir ab und setzen gleich 0, um die Extremwerte zu ermitteln.

Wir lösen die vorherige Gleichung und erhalten

Schließlich müssen wir die 2. Ableitung für auswerten, um zu überprüfen, ob wir daraus ein Maximum für die Funktion des Volumens erhalten

für die Funktion des Volumens gibt.

Aus dieser Aussage können wir schließen, dass wir die Funktion minimieren müssen, die die Fläche der zylindrischen Dose definiert, die durch gegeben ist. Da die Dose ein Fassungsvermögen von einem Liter haben muss, ist ihr Volumen gleich , weshalb . Wenn wir dann nach auflösen, erhalten wir Wir leiten die Funktion ab und erhalten

Um die Extremwerte zu finden, setzen wir die obige Gleichung gleich 0 und lösen nach auf.

Nun können wir den Wert von anhand des Wertes von ermitteln und erhalten . Wir überprüfen mit der 2. Ableitung und erhalten

Somit sind die Maße der Dose mit minimal.

Wenn das Quadrat die Seitenlänge und der Kreis den Radius hat, dann lautet die zu optimierende Funktion: Da der Draht eine Länge von hat, ergibt sich aus der Summe der Umfänge des Kreises und des Quadrats die Gleichung für die Variablen: . Wir ersetzen in und erhalten Als nächstes leiten wir die Funktion ab und setzen sie gleich 0, um die Extremwerte zu erhalten:

Mit diesem Wert für ergibt sich Folgendes:
Drahtstück für den Kreis=

und

Drahtstück für das Quadrat=

Wie immer bei dieser Art von Problemen, besteht der letzte Teil der Minimierung darin, die zweite Ableitung zu finden und zu prüfen, ob sie für die gefundenen Werte positiv ist.

Unsere zu optimierende Funktion ist diejenige, die durch die Fläche des Kreissektors definiert ist; aus der Abbildung ergibt sich: Da der Umfang beträgt, ist . Wir ersetzen in der Funktion und erhalten Als nächstes leiten wir die Funktion ab und setzen gleich 0, um einen Extremwert zu bestimmen:

Nachdem wir einen Wert für erhalten haben, können wir Werte für und bestimmen.

In diesem Fall ist die 2. Ableitung von konstant und negativ

ergeben.

Die Fläche des Dreiecks ist durch gegeben. Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck, das mit dem Radius des Kreises, einer Seite des Dreiecks und seiner Höhe gebildet wird. Wir wenden den Satz des Pythagoras an und erhalten Wir ersetzen in und erhalten . Wie immer, leiten wir nun ab: Wir setzen gleich 0 und erhalten

Mit diesen Werten können wir das Folgende über die Werte des Dreiecks sagen:

Basis: ,

Seite:

Um zu prüfen, ob diese Werte ein Maximum für die Fläche ergeben, müssen wir die 2. Ableitung für auswerten und erhalten in der Tat einen negativen Wert