Übungsaufgaben zum Satz von Rolle und zum Satz von Bolzano-Weierstraß

Ist der Satz von Rolle auf die Funktion auf dem Intervall anwendbar?

Die Funktion ist stetig bei .

Der Satz von Rolle ist nicht anwendbar, weil die Lösung am Punkt nicht ableitbar ist, da die Ableitungen in jeder Umgebung unterschiedliche Werte haben, und wenn sie ableitbar ist, sollten sie gleich sein.

Untersuche, ob die Funktion die Bedingungen des Satzes von Rolle in den Intervallen und erfüllt, und wenn ja, bestimme die Werte von .

ist eine stetige Funktion auf den Intervallen und und ableitbar auf den offenen Intervallen und , da es sich um eine Polynomfunktion handelt.

Además se cumple que:

Por tanto es aplicable el teorema de Rolle. Significa que ahora busquemos el punto donde la derivada de la función vale cero.

La derivada de la función es , entonces ahora valuamos en

e igualamos con cero, quedando la ecuación , cuya solución es .
En otras palabras

y

Erfüllt die Funktion die Bedingungen des Satzes von Rolle auf dem Intervall ?

Die Funktion ist stetig auf dem Intervall und ableitbar auf , da es sich um eine Polynomfunktion handelt.

Allerdings ist der Satz von Rolle nicht erfüllt, da .

Beweise, dass die Gleichung eine einzige Lösung in hat.

Wir beweisen dies durch den Widerspruchsbeweis.

Angenommen, die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen und mit ableitbar ist, weil es sich um eine Polynomfunktion handelt, können wir den Satz von Rolle anwenden.

Daher existiert , so dass .

Wenn also , haben wir .

Mit anderen Worten: ist eine reelle Nullstelle des Polynoms . Dies ist falsch, da es keine reellen Nullstellen zulässt, weil die Diskriminante negativ ist \displaystyle \bigtriangleup =(6)^2-4(12)(2)=36-96=-60<0[/latex]

Da die Ableitung bei keinem Wert 0 wird, steht sie im Widerspruch zum Satz von Rolle, so dass die Hypothese, es gebe zwei Nullstellen, falsch ist.

Wie viele reelle Nullstellen hat die Gleichung ?

Die Funktion ist stetig und ableitbar im gesamten Bereich

Wenn wir diese Eigenschaften kennen, können wir den Satz von Bolzano-Weierstraß anwenden. Dieser besagt, dass, wenn wir zwei reelle Nullstellen finden, bei denen die Funktion bei der Auswertung unterschiedliche Vorzeichen erhält, wir mindestens eine reelle Zahl haben, bei der die Funktion 0 wird.

Die vorgeschlagenen Werte sind und :

Daher hat die Gleichung mindestens eine Lösung auf dem Intervall .

Andererseits stellen wir fest, dass otro lado observamos que eine negative Diskriminante hat , d.h. sie ist nicht monoton steigend, daher ist der Wert, den wir ermitteln, für den die Funktion 0 wird, eindeutig.

Zeige, dass die Gleichung eine einzige reelle Lösung auf dem Intervall hat.

Die Funktion ist stetig und ableitbar im gesamten Bereich .

Das bedeutet, dass nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß bei der Suche nach zwei Werten, bei denen die Funktion unterschiedliche Vorzeichen annimmt Folgendes gilt:

Wir können sagen, dass die Gleichung mindestens eine Lösung auf dem Intervall hat.

Nehmen wir nun ihre Ableitung , stellen wir fest, dass sie 0 wird nos damos cuenta que ella se anula an den Punkten und . Das heißt, das Maximum und das Minimum der Funktion liegt außerhalb von , so dass der Punkt, an dem die Funktion 0 wird, nur ein Punkt ist.

Wenn es zwei gibt, sollten die Maxima und Minima der Funktion innerhalb des Intervalls liegen, da die Funktion stetig ist.

Kann der Mittelwertsatz (MWS) auf in angewendet werden?

ist stetig bei und ableitbar bei , weshalb der Mittelwertsatz angewendet werden kann.

Daher existiert , so dass

und wenn , hat die Gleichung die Lösung .

Kann der Mittelwertsatz (MWS) auf in angewendet werden?

Nein, denn die Funktion ist nicht stetig bei , da sie bei nicht definiert ist.

Wir nehmen den Abschnitt einer Parabel, der zwischen den Punkten und liegt. Finde einen Punkt, in dem die Tangente parallel zu der Strecke verläuft, die die Punkte und verbindet.

Die Punkte und gehören zur Parabel der Gleichung , so dass sich bei deren Auswertung das folgende Gleichungssystem ergibt

Die Lösung ist .

Die Parabel hat also die Gleichung

Da es sich um eine Polynomfunktion handelt, kann der Mittelwertsatz auf das Intervall angewendet werden. Es existiert also , so dass

Jetzt werten wir einfach die Funktion aus, um den Punkt zu ermitteln.

Somit ist der gesuchte Punkt

Berechne einen Punkt auf dem Intervall , in dem die Tangente an den Graphen parallel zu der durch die Punkte und bestimmten Geraden verläuft. Welcher Satz garantiert die Existenz dieses Punktes?

Wir ermitteln die Steigung der Geraden, die durch die beiden Punkte verläuft.

Wir dürfen nicht vergessen, dass der von uns berechnete Wert gleich der Steigung der Tangente ist, die den Graphen in diesem Punkt tangiert, da parallele Geraden dieselbe Steigung haben.

Da andererseits stetig in und ableitbar in ist, kann der Mittelwertsatz angewendet werden:

Daher existiert , so dass

Die Lösung ist , woraus wir wählen, da es zum Intervall gehört

Bestimme und , so dass die Funktion

den Mittelwertsatz auf dem Intervall erfüllt.

Wir erhalten die Gleichung

Zweitens muss erfüllt sein, dass die Funktion ableitbar ist in

Das bedeutet, dass die Werte für die Erfüllung des Mittelwertsatzes (MWS) folgendermaßen sein müssen

und