Satz von Rolle

Wir müssen die drei Annahmen des Satzes von Rolle überprüfen:

\begin{enumerate}

\item Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Funktion stetig ist. Wir wissen bereits, dass jedes „Stück“ der Funktion stetig ist, da es sich um Polynome handelt. Daher müssen wir die Stetigkeit nur am Punkt untersuchen. Wir berechnen zunächst den linken Grenzwert:

Wir berechnen nur den Grenzwert auf der rechten Seite:

Da die Grenzwerte gleich sind (und die Funktion 2 ist, wenn ), kommen wir zu dem Schluss, dass die Funktion stetig ist.

Nun müssen wir überprüfen, ob die Funktion im gesamten Intervall differenzierbar ist. Zunächst einmal ist die Funktion in den Intervallen und differenzierbar, da die Funktion in diesen Abschnitten durch Polynome definiert ist.

Daher müssen wir überprüfen, ob die Funktion bei differenzierbar ist, wozu wir die „seitlichen Ableitungen“ berechnen. Zunächst ermitteln wir die Ableitung der Funktion. Für das Intervall haben wir:

Für lautet die Ableitung

Daraus folgt, dass . Daher ist die Ableitung bei nicht definiert und die Funktion ist nicht im gesamten Intervall differenzierbar.

Daher ist eine der Annahmen falsch. Wir können wir den Satz von Rolle also nicht anwenden, um die Existenz eines Wertes zu gewährleisten, sodass (tatsächlich gibt es keinen solchen Wert).

Auch hier prüfen wir die Annahmen einzeln:

1 Wir wissen, dass die Funktion für gesamt stetig ist. Wenn also das Argument der Funktion größer als 0 (und stetig) ist, dann wissen wir, dass ebenfalls stetig ist.

Da , ist . Daraus folgt:

Wenn wir auf beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

Daraus folgern wir, dass . Außerdem ist ein Polynom (somit stetig und ableitbar). Also ist

ebenfalls stetig.

2 Die Überprüfung der Differenzierbarkeit ist die gleiche wie die Überprüfung der Stetigkeit. Wir wissen, dass bei differenzierbar ist. Solange das Argument größer als 0 und differenzierbar ist, ist also auch differenzierbar.

Da und differenzierbar ist, ist somit auch differenzierbar.

3 Schließlich müssen wir überprüfen, ob :

,

während

,

wenn gilt, dass .

Daraus schließen wir, dass alle Annahmen des Satzes von Rolle erfüllt sind. Es muss also ein existieren, sodass ist. Der Wert von c ist nämlich , den man durch Berechnung der Ableitung von erhält.

Das Polynom ist ungerade, also muss es mindestens eine Nullstelle haben. Das heißt, es gibt einen Wert , sodass .

Durch den Widerspruchsbeweis nehmen wir an, dass das Polynom zwei oder mehr unterschiedliche Nullstellen hat. Diese Nullstellen seien und , wobei .

Wir wissen, dass ein Polynom ist. Somit ist es stetig und differenzierbar für gesamt .

Und da und Nullstellen sind, ist .

Deshalb sind die Annahmen des Satzes von Rolle für das Intervall erfüllt. Nach dem Satz von Rolle muss es also geben, sodass .

Jedoch ist die Ableitung von

,

die immer größer als 0 ist. Das heißt, es gibt kein , sodass .

Hier haben wir also einen Widerspruch (wir sagen, dass existiert und nicht extistiert). Da dieser Widerspruch aus der Annahme resultiert, dass zwei oder mehr verschiedene Nullstellen hat, können wir daraus schließen, dass genau eine reelle Nullstelle hat.

Wir überprüfen die Annahmen einzeln:

1 Wir wissen, dass die Funktion (Betrag) für gesamt stetig ist. Somit ist stetig.

2 Um zu überprüfen, ob differenzierbar ist, beachten wir:

Daher kann die Funktion wie folgt geschrieben werden

Wir berechnen die links- und rechtsseitigen Ableitungen bei :

und

,

woraus folgt, dass . Somit ist im gesamten Intervall nicht differenzierbar.

Folglich sind die Annahmen des Satzes von Rolle nicht erfüllt.

Da ein Polynom ist, ist es stetig und differenzierbar für gesamt . Daher müssen wir nur überprüfen, ob:

und

Somit gilt für :

Für :

und für :

Somit sind die Annahmen des Satzes von Rolle für die Intervalle und erfüllt.

Nun ermitteln wir die Werte von , sodass . Hierfür berechnen wir zunächst die Ableitung von :

Nun setzen wir gleich 0:

,

woraus folgt, dass

Somit:

Wir stellen fest, dass und . Somit können wir die Werte von bestimmen, sodass .

Wir müssen die Annahmen eine nach der anderen überprüfen. Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind jedoch sehr einfach, da ein Polynom (und damit differenzierbar und stetig) ist.

Wir überprüfen, ob :

und

Somit ist .

Daraus können wir schließen, dass die Annahmen des Satzes von Rolle nicht erfüllt sind.

Wie in einer der vorangegangenen Übungen nutzen wir den Widerspruchsbeweis.

Zunächst wissen wir, dass mindestens eine Nullstelle hat, da es sich um ein ungerades Polynom handelt.

Durch den Widerspruchsbeweis nehmen wir an, dass mehr als eine reelle Nullstelle existiert. Das heißt, es existieren und ,sodass , y

Da ein Polynom ist, ist es stetig und differenzierbar. Daher sind alle Annahmen des Satzes von Rolle im Intervall erfüllt.

Es muss also existieren, sodass .

Die Ableitung von ist jedoch

,

deren Diskriminante wie folgt ist:

.

Das bedeutet, dass keine Nulltstellen hat und nicht existieren, sodass . Wir haben also einen Widerspruch.

Daraus folgt, dass höchstens eine Nullstelle hat.

Diese Aufgabe ist der vorherigen Aufgabe sehr ähnlich.

Zunächst wissen wir, dass mindestens eine Nullstelle hat, da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt.

Wir nehmen nun an, dass mehr als eine reelle Nullstelle exitiert. Das heißt, es existieren und , sodass , und

Auch hier gilt: Da ein Polynom ist, ist es stetig und differenzierbar. Daher sind alle Annahmen des Satzes von Rolle im Intervall erfüllt.

Somit muss existieren, sodass .

Jedoch ist die Ableitung von

,

deren Diskriminante wie folgt lautet:

Dies bedeutet, dass keine Nullstellen hat. Es extistieren also keine , sodass . Wir haben also einen Widerspruch.

Wir schließen daraus, dass höchstens eine Nullstelle hat. Allerdings ist es immer noch möglich, dass es mehrere gleiche Nullstellen gibt (d. h. die Nullstelle hat eine andere Vielfachheit als 1).

Auch hier gehen wir nach dem Prinzip des Widerspruchsbeweises vor. Allerdings wird das Verfahren jetzt etwas anders sein.

Zunächst wissen wir, dass mindestens eine Nullstelle hat, da es sich um Polynom ungeraden Grades handelt. Allerdings wir können nicht sicher sein, dass sich die Nullstelle im Intervall befindet. Dazu werten wir die Funktion an den Grenzwerten des Intervalls aus:

und

Also ist . Und da stetig ist, existiert nach dem Zwischenwertsatz , sodass . Achtung: Wir dürfen den Zwischenwertsatz nicht mit dem Satz von Rolle verwechseln.

Durch den Widerspruchsbeweis nehmen wir an, dass im Intervall mehr als eine reelle Nullstelle (verschieden) existiert. Das heißt, es existieren , sodass , und

Da ein Polynom ist, ist es stetig und differenzierbar. Daher sind alle Annahmen des Satzes von Rolle im Intervall erfüllt.

Es muss also existieren, sodass . Es ist zu beachten, dass erfüllt sein muss. Es muss gelten: .

Die Ableitung von ist schließlich

wir setzen gleich 0 und erhalten

Das heißt, . Die Nullstellen sind also und . Jedoch befindet sich keine dieser Nullstellen im Intervall , was dem Satz von Rolle widerspricht.

Wir schließen daraus, dass eine einzige Nullstelle im Intervall hat.