Kapitel
Wendepunkte
Die Wendepunkte einer Funktion sind die Punkte, an denen der Graph der Funktion konkav wird, d. h. von konkav zu konvex oder umgekehrt. Vereinfacht ausgedrückt kann man sagen, dass dies der Moment ist, in dem die Funktion ihre Krümmung ändert.
Die Wendepunkte mithilfe der 3. Ableitung ermitteln
Um die Wendepunkte einer ableitbaren Funktion 
mithilfe der 3. Ableitung zu bestimmen, führen wir folgende Schritte durch.
1 Wir ermitteln die 1. Ableitung von : 
.
2 Wir ermitteln die 2. Ableitung von und setzen gleich 0: 
.
3 Wir bestimmen die unabhängige Variable "
" und ermitteln die Werte, für die die Bedingung erfüllt wird. Das heißt, wir suchen die 
sowie 
mit 
.
4 Wir ermitteln die 3. Ableitung von : 
.
5 Wir setzen 
in die 3. Ableitung ein. Wenn 
, gibt es einen Wendepunkt bei 
.
Beispiel: Berechnung der Wendepunkte anhand der 3. Ableitung.
Berechne die Wendepunkte von:
Lösung: Wir befolgen die oben beschriebenen Schritte, um die Wendepunkte zu ermitteln.
1 Wir ermitteln die 1. Ableitung von 
:
2 Wir ermitteln die 2. Ableitung von und setzen gleich 0:
3 Wir berechnen die Nullstellen von 
und erhalten
. Das heißt, 
ist eine Nullstelle von .
4 Wir berechnen die 3. Ableitung von 
:
5 Wir setzen 
in die 3. Ableitung ein:
Da 
, ist 
ein Wendepunkt, wobei
Somit ist der Punkt 
ein Wendepunkt.
Berechnung von Wendepunkten bei Kenntnis der Konkavitäts- und Konvexitätsintervalle
Wir berechnen die Wendepunkte der folgenden Funktionen, indem wir die Intervalle der Konkavität und Konvexität hinzu ziehen.
1 
Lösung:
Wir beginnen mit der Analyse des Definitionsbereichs der Funktion. Wir stellen fest, dass nicht definiert ist, wenn der Nenner 0 wird. Somit verwerfen wir die Werte, für die der Nenner 0 wird:
und somit 
.
Wir fahren mit der Berechnung der 1. und 2. Ableitung von fort, um mögliche Wendepunkte zu finden:
Wir setzen die 2. Ableitung gleich 0:
Somit befindet sich ein möglicher Wendepunkt bei 
Nun gibt es eine Eigenschaft der 2. Ableitung, die uns sagt: Wenn die 2. Ableitung von in einem Intervall positiv ist, ist in diesem Intervall konvex. Und: Wenn die 2. Ableitung von in einem Intervall negativ ist, ist in diesem Intervall konkav. Unter Berücksichtigung dieser Tatsache überprüfen wir die Vorzeichen, indem wir den Definitionsbereich segmentieren:
- Wenn
- Wenn
- Wenn
.
Die Funktion ist konkav im Intervall 
und konvex im Intervall 
. Da die Funktion am Punkt von konkav zu konvex wechselt, ist der Punkt somit ein Wendepunkt. Das heißt, im Punkt 
.
2 
Lösung:
Man beachte, dass in diesem Fall kein Problem besteht, da es sich um eine Polynomfunktion handelt, weshalb 
. Wir berechnen die 1. und 2. Ableitung.
Wir setzen die 2. Ableitung gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Nun gilt:
- Wenn
, - Wenn
, y - Wenn
,
Ähnlich wie in der vorherigen Übung zeigt dies, dass 
bei 
von konvex zu konkav wird und konkav bei konvex bei 
. Daraus können wir auf folgende Wendepunkte schließen:
. Das heißt, im Punkt 
. Das heißt, im Punkt 
Aufgaben zu Wendepunkten
1 Ermittle die Gleichung der Tangente des Graphen 
an seinem Wendepunkt.
Lösung:
Zunächst ermitteln wir den Wendepunkt von . Hierfür berechnen wir die 1. und 2. Ableitung von : 
Wir setzen die 2. Ableitung gleich 0 und bestimmen die Werte, für die 
0 wird.
Nun berechnen wir die 3. Ableitung von und überprüfen, ob bei 
0 wird.
Da 
, ist 
ein Wendepunkt.
Nun möchten wir die Gleichung der Tangente im Punkt 
ermitteln. Hierfür nutzen wir die Punkt-Steigungs-Form der Geraden
,
wobei 
der Punkt der Geraden und 
die Steigung der Geraden ist.
Wir berechnen die Steigung der Tangente im Punkt anhand der 1. Ableitung
Somit lautet die Tangentengleichung
2 Der Graph 
schneidet die x-Achse bei 
und hat einen Wendepunkt bei 
. Ermittle 
und 
.
Lösung:
Wir haben mit den Ableitungen 
Nun wissen wir, dass die x-Achse bei 
schneidet und somit
Außerdem wissen wir, dass der Wendepunkt bei 
liegt, weshalb die 2. Ableitung bei 
und 
0 werden muss. Das heißt:
Aus (2) folgt, dass 
. Wir setzen den Wert für 
in (1) y (3) ein und:
Somit erhalten wir ein lineares Gleichungssystem 
:
Wir lösen das Gleichungssystem mit einer Methode unserer Wahl und erhalten
3 Ermittle die Gleichungen der Tangente und der Normalgeraden in ihrem Wendepunkt des Graphen: 
.
Lösung:
Wir gehen ähnlich wie bei Problem 1 vor. Aber diesmal unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Gleichung der Normalgeraden im Punkt 
wie folgt ist:
Wir beginnen, indem wir den Wendepunkt von bestimmen und hierfür berechnen wir die 1. und 2. Ableitung
Wir setzen die 2. Ableitung gleich 0 und bestimmen die Nullstellen
Wir ermitteln die 3. Ableitung und überprüfen, ob sie in 
0 wird
Somit ist 
ein Wendepunkt.
Da 
, ist
Tangente: 
Normalgerade: 
4 Gegeben ist 
. Ermittle und 
so, dass der Graph der Funktion für einen Wendepunkt hat und seine Tangente an diesem Punkt einen Winkel von 
mit der Achse 
bildet.
Lösung:
Wir beginnen mit der Berechnung der 1. und 2. Ableitung
Da wir einen Winkel von mit der Achse am Wendepunkt haben möchten, muss
und außerdem soll ein Wendepunkt bei liegen. Somit
Wir lösen das Gleichunssystem, das (4) und (5) bilden und erhalten
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