Lineare Gleichung mit n Unbekannten:
Ein beliebiger Ausdruck der Form: 
, wobei 
. Die Werte 
werden Koeffizienten genannt, 
unabhängiges Glied und die Werte 
Unbekannte.
Jede Menge von 
reellen Zahlen, die die Gleichung erfüllt, wird als Lösung der Gleichung bezeichnet
Beispile: Gegeben ist die Funktion 
, ihre Lösung lautet: 
.
Gleichungen, die dieselbe Lösung haben, werden als äquivalente Gleichungen bezeichnet.
Gleichungssystem
Ein Gleichungssystem ist eine Menge algebraischer Ausdrücke der Form:
- sind die Unbekannten,
. 
sind die Koeffizienten, 
.
sind die unabhängigen Glieder, 
.
.- Beachte, dass die Anzahl der Gleichungen nicht unbedingt der Anzahl der Unbekannten entsprechen muss.
- und
. - Wenn einen kleinen Wert annimmt, ist es üblich, die Unbekannten mit den Buchstaben
anzugeben - Wenn
für alle 
, ist das System homogen. - Eine Lösung eines Systems ist jede Wertemenge, die alle Gleichungen erfüllt.
Klassifizierung von Systemen
Gleichungssysteme lassen sich auf verschiedene Weise klassifizieren:
Je nach Anzahl ihrer Lösungen
- Nicht lösbar: Hat keine Lösung.
- Lösbar: Hat eine Lösung.
- Eindeutig lösbar: Hat eine einzige Lösung.
- Nicht eindeutig lösbar: Hat unendlich viele Lösungen.
Je nach Anzahl der Gleichungen
Systeme in Stufenform
Das sind solche, bei denen jede Gleichung eine Unbekannte weniger enthält als die vorherige.
Äquivalente Systeme
Das sind solche, die die gleiche Lösung haben, auch wenn sie eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen aufweisen. Äquivalente Gleichungssysteme erhalten wir durch:
Beseitigung abhängiger Gleichungen
- Alle Koeffizienten sind null.
- Zwei Zeilen sind gleich.
- Eine Zeile ist proportional zur anderen.
- Eine Zeile ist eine lineare Kombination aus anderen.
Umformungen
Es können folgende Umformungen vorgenommen werden:
- Die Reihenfolge der Gleichungen des Systems ändern.
- Die Reihenfolge der Unbekannten in der Gleichung ändern.
- Beide Seiten einer Gleichung mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren.
- Ersetze eine Gleichung des Systems durch eine lineare Kombination aus dieser und den übrigen Gleichungen, sofern der Koeffizient der ersetzten Gleichung ungleich null ist.
Gauß-Verfahren
Das Gauß-Verfahren besteht darin, ein Gleichungssystem in ein äquivalentes System umzuformen, das in Stufenform vorliegt. Um die Berechnung zu vereinfachen, wandeln wir das System in eine Matrix um, in die wir die Koeffizienten der Variablen und die unabhängigen Terme (durch eine senkrechte Linie getrennt) eintragen.
Ein System zu untersuchen bedeutet, festzustellen, ob es eine Lösung hat, und falls ja, zu ermitteln, ob diese Lösung eindeutig ist. Das heißt, es gilt zu bestimmen, ob es lösbar oder nicht lösbar ist. Und falls es lösbar ist, ob es eindeutig lösbar ist oder nicht.
Zu befolgende Schritte:
1 Die Angabe lesen und verstehen.
2 Notiere die Daten mithilfe von: Schemata, Zeichnungen, Baumdiagrammen...
3 Eine Notation wählen, die es uns ermöglicht, die verschiedenen Variablen miteinander in Beziehung zu setzen.
4 Das System aufstellen und lösen.
5 Die Lösung überprüfen.
Mit KI zusammenfassen:
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