Die unten genannten Eigenschaften gelten auch, wenn die strengen Ungleichungssymbole (< y >) durch die entsprechenden nicht strengen Ungleichungssymbole (\le y \ge ) ersetzt werden.

Transitivität

Für beliebige reelle Zahlen a, b und c:

  • Wenn a > b und b > c, dann a > c.
  • Wenn a < b und b < c, dann a < c.
  • Wenn a > b und b = c, dann a > c.
  • Wenn a < b und b = c, dann a < c.

 

Beispiel:

  • Wenn 3x+2>5 y 5>x+2, dann 3x+2>x+2

 

Addition und Subtraktion

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung um den gleichen Betrag addiert oder subtrahiert werden, ist die resultierende Ungleichung äquivalent zu der gegebenen.
Beispiele:

 

  •  3x + 4 < 5
    3x + 4 - 4 < 5 - 4[latex]3x < 1[/latex]

 

  •  3x-8>2x-3[latex]3x-8-2x>2x-3-2x[/latex]x-8>-3[latex]x-8+8>-3+8[/latex]x>5

 

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Los geht's

Multiplikation und Division

1 Durch eine positive Zahl

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ist die Ungleichung äquivalent zu der angegebenen.
Beispiele:

 

  •  2x < 6[latex]2x : 2 < 6 : 2[/latex]x < 3

 

  •  8x+0.5>3[latex]2(8x+0.5)>2[/latex] \cdot  3[latex]16x+1>6[/latex]

 

2 Durch eine negative Zahl
Werden die beiden Glieder einer Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so ändert die resultierende Ungleichung ihre Richtung und entspricht der gegebenen Ungleichung.
Beispiel

 

  • -x<5[latex](−x) · (−1) > 5 · (−1)[/latex]x > −5

 

Gegenüberliegend

Für beliebige reelle Zahlen a und b

  • Wenn a < b, dann −a > −b.
  • Wenn a > b, dann −a < −b.

 

Beispiel

  •  -x<5, dann x<-5

 

Wechselseitig

 

Für reelle Zahlen a und b ungleich Null

1 Sowohl positiv als auch negativ zur gleichen Zeit:

    • Wenn a < b dann \displaystyle  \frac{1}{a}>\frac{1}{b}

 

  • Wenn a > b, dann \displaystyle  \frac{1}{a}<\frac{1}{b}

 

Beispiel

  •  2<5, entonces \displaystyle \frac{1}{2}> \frac{1}{5}

 

2Wenn a und b unterschiedliche Vorzeichen haben:

    • Wenn a < b, dann \displaystyle \frac{1}{a}<\frac{1}{b}

 

  • Wenn a > b, dann \displaystyle \frac{1}{a}>\frac{1}{b}

 

Beispiel

  •  -2<5, entonces \displaystyle -\frac{1}{2}< \frac{1}{5}

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Anna