Äquivalente Ungleichungen

 

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung um den gleichen Betrag addiert oder subtrahiert werden, ist die resultierende Ungleichung äquivalent zu der gegebenen.

Wenn beide Glieder einer Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ist die resultierende Ungleichung äquivalent zu der gegebenen.

Werden die beiden Glieder einer Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so ändert die resultierende Ungleichung ihre Richtung und entspricht der gegebenen Ungleichung.

 

1 Löse die Klammern auf.

2 Eliminiere die Nenner.

3 Fasse die x -Terme auf einer Seite der Ungleichung und die unabhängigen Terme auf der anderen Seite der Ungleichung zusammen.

4 Berechne alles

5 Da der Koeffizient von x negativ ist, multiplizierst du mit -1 , sodass sich die Richtung der Ungleichung ändert.

6 Eliminiere die Unbekannte.

 

Du erhältst die Lösung als Ungleichung, aber kannst sie auch grafisch oder als Intervall ausdrücken.

 

Schritte zum Lösen eines linearen 3x3-Ungleichungssystems mit einer Unbekannten

 

Jede Ungleichung wird separat gelöst, wobei die Lösungsmenge des Systems die Schnittmenge der Lösungsmengen beider Ungleichungen ist.

 

Schritte zum Lösen von quadratischen Ungleichungen

 

1 Setze das Polynom des ersten Glieds gleich Null und erhalte die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

2 Stelle diese Werte auf der Zahlengeraden dar. Nimm einen Punkt in jedem Intervall und bewerte das Vorzeichen in jedem Intervall:

3 Die Lösung setzt sich aus den Intervallen (oder einem Intervall) zusammen, die das gleiche Vorzeichen wie die quadratische Gleichung haben.

 

Wenn die Diskriminante null ist:

 

Lösung
x^2 + 2x +1 \ge  0 (x + 1)^2 \ge  0 \mathbb{R}
x^2 + 2x +1 > 0 (x + 1)^2 > 0 \mathbb{R}-\left \{ -1 \right \}
x^2 + 2x +1 \le 0 (x + 1)^2 \le 0 x = -1
x^2 + 2x +1 < 0 (x + 1)^2 < 0 \varnothing

 

Wenn es keine reellen Wurzeln hat, gibst du dem Polynom einen beliebigen Wert mit den folgenden Bedingungen:

 

Das erhaltene Vorzeichen stimmt mit dem der Ungleichung überein, die Lösung ist \mathbb{R} .

 

Das erhaltene Vorzeichen stimmt nicht mit dem Vorzeichen der Ungleichung überein, es gibt keine Lösung.

 

Lösung
x^2 + x +1 \ge  0 \mathbb{R}
x^2 + x +1 > 0 \mathbb{R}
x^2 + x +1 \le 0 \varnothing
x^2 + x +1 < 0 \varnothing

 

 

Schritte zur Lösung rationaler Ungleichungen

 

1 Finde die Wurzeln des Zählers und des Nenners.

2 Stelle diese Werte auf der Zahlengeraden dar, wobei du beachtest, dass die Wurzeln des Nenners unabhängig vom Vorzeichen der Ungleichung offen sein müssen, damit der Nenner nicht aufgehoben werden kann.

3 Nimm einen Punkt in jedem Intervall und bewerte das Vorzeichen in jedem Intervall:

4 Die Lösung setzt sich aus den Intervallen (oder einem Intervall) zusammen, die das gleiche Vorzeichen wie das Polynom haben.

 

Ungleichungssysteme

 

Schritte zur Lösung linearer Ungleichungen mit zwei Unbekannten

 

1 Verwandle Ungleichheit in Gleichheit.

2 Gebe einer der beiden Variablen zwei Werte, also erhältst du zwei Punkte.

3 Wenn du diese Punkte darstellst und verbindest, erhältst du eine Gerade.

4 Nimm wieder einen Punkt, zum Beispiel (0, 0),

und setze ihn in die Ungleichung ein. Wenn dies zutrifft, ist die Lösung die Halbebene, auf der sich der Punkt befindet, andernfalls ist die Lösung die andere Halbebene.

Schritte zur Lösung linearer Ungleichungssysteme mit zwei Unbekannten

 

1 Stelle den Lösungsbereich der ersten Ungleichung dar.

2 Stelle den Lösungsbereich der zweiten Ungleichung dar.

3 Die Lösung ist der Schnittpunkt der Lösungsgebiete.

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Anna