Eine Ungleichung ist eine algebraische Ungleichung, bei der die beiden Glieder durch eines dieser Zeichen verbunden sind:

\begin{matrix} < & \textup{menor que} & 2x-1<7\\ \\ \leq &\; \; \; \; \; \textup{menor o igual que}\; \; \; \; \; & 2x-1\leq 7\\ \\ > & \textup{mayor que} & 2x-1>7\\ \\ \geq & \textup{mayor o igual que} & 2x-1\geq 7 \end{matrix}

 

Die Lösung einer Ungleichung ist die Menge der Werte der Variablen, die die Ungleichung ergibt.

Drücke die Lösung der Ungleichung durch eine grafische Darstellung oder ein Intervall aus:

 

Beispiele

 

1 Löse die Gleichung 2x-1<7

 

2x-1<7

2x<8

x< 4

Grafische Darstellung:      Wie löst man Ungleichungen?

Intervall: (-\infty ,4)

 

2 Löse die Gleichung 2x-1\leq 7

 

2x-1\leq 7

2x\leq 8

x\leq 4

Grafische Darstellung:      Wie löst man eine Ungleichung?

Intervall: (-\infty ,4]

 

3 Löse die Gleichung 2x-1> 7

 

2x-1>7

2x>8

x>4

Grafische Darstellung:         Representación gráfica del intervalo abierto de cuatro a infinito

Intervall: (4,\infty )

 

4 Löse die Gleichung 2x-1\geq 7

 

2x-1\geq 7

2x\geq 8

x\geq 4

Grafische Darstellung:      Representación gráfica del intervalo cerrado de cuatro a infinito

Intervall: [4,\infty )

Äquivalenzkriterien für Ungleichungen

 

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung um den gleichen Betrag addiert oder subtrahiert werden, ist die Ungleichung äquivalent zu der angegebenen.

 

3x+4<5

3x+4-4<5-4

3x<1

 

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ist die Ungleichung äquivalent zu der angegebenen.

 

2x<6

2x\div 2<6\div 2

x<3

 

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich die Ungleichung und ist äquivalent zu der angegebenen.

 

-x<5

-x\cdot (-1)>5\cdot (-1)

x>-5

 

Lineare Gleichungen

 

Lösen linearer Ungleichungen

 

Betrachte die Ungleichung:

 

2-\left [ -2\cdot (x+1)-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x

 

Wenn möglich, löst du das Problem mit den folgenden Schritten:

1 Entferne die Gruppierungszeichen

 

2-\left [ -2x-2-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x

 

2+2x+2+\cfrac{x-3}{2}\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x

2 Eliminiere die Nenner.

 

24+24x+24+6\cdot (x-3)\leq 8x-(5x-3)+36x

24+24x+24+x-18\leq 8x-5x+3+36x

3 Fasse die x-Terme auf einer Seite der Ungleichung und die unabhängigen Terme auf der anderen Seite der Ungleichung zusammen.

 

24x+6x-8x+5x-36x\leq 3-24-24+18

4 Berechne alles.

 

-9x\leq -27

5 Da der Koeffizient von x negativ ist, multiplizierst du mit -1, sodass sich die Richtung der Ungleichung ändert.

 

9x\geq 27

6 Eliminiere die Unbekannte.

 

x\geq 3

 

Du erhältst die Lösung als Ungleichung, aber du kannst sie auch

Grafisch darstellen:           Representación gráfica del intervalo cerrado de tres a infinito

 

Als Intervall: [3,\infty )

Übungen zu linearen Ungleichungen

1 2(x+1)-3(x-2)<x+6

 

2(x+1)-3(x-2)<x+6

2x+2-3x+6<x+6

2x-3x-x<-2-6+6

-2x<-2

x>1

Representación gráfica del intervalo abierto de uno a infinito

(1,\infty )

 

2 \cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}

 

\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}

Multipliziere beide Glieder mit dem Kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner

\textup{mcm}(7,3,14,6)=42

42\cdot \left (\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3} \right )\geq \left (\cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6} \right )\cdot 42

6(3x+1)-14(2-4x)\geq 3(-5x-4)+49x

18x+6-28+56x\geq -15x-12+49x

18x+56x+15x-49x\geq -12-6+28

40x\geq 10

x\geq \cfrac{10}{40}

x\geq \cfrac{1}{4}

Representación gráfica del intervalo cerrado de un cuarto a infinito

\left [ \cfrac{1}{4},\infty \right ]

 

3 6\left ( \cfrac{x+1}{8}-\cfrac{2x-3}{16} \right )> 3\left ( \cfrac{3}{4}\; x-\cfrac{1}{4} \right )-\cfrac{3}{8}\, (3x-2)

 

6\left ( \cfrac{x+1}{8}-\cfrac{2x-3}{16} \right )> 3\left ( \cfrac{3}{4}\; x-\cfrac{1}{4} \right )-\cfrac{3}{8}\, (3x-2)

\cfrac{6(x+1)}{8}-\cfrac{6(2x-3)}{16}> \cfrac{9}{4}\; x-\cfrac{3}{4} -\cfrac{9}{8}\, x+\cfrac{6}{8}

\textup{mcm}(8,16,4)=16

12x+12-12x+18>36x-12-18x+12

12+18>36x-18x

18x<30

x<\cfrac{5}{3}

\left ( -\infty ,\cfrac{5}{3} \right )

 

4 \cfrac{2}{3}\left [ x-\left ( 1-\cfrac{x-2}{3} \right ) \right ]+1\leq x

 

\cfrac{2}{3}\left [ x-\left ( 1-\cfrac{x-2}{3} \right ) \right ]+1\leq x

\cfrac{2}{3}\left [ x-1+\cfrac{x-2}{3} \right ]+1\leq x

\cfrac{2}{3}\, x-\cfrac{2}{3}+\cfrac{2x-4}{9}+1\leq x

6x-6+2x-4+9\leq 9x

-x\leq 1

x\geq -1

Grafische Darstellung des geschlossenen Intervalls von negativ eins bis unendlich

[-1,\infty )

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Anna