Was ist die Lösung einer Ungleichung?

 

Die Lösung einer Ungleichung ist die Menge der Werte der Variablen, die die Ungleichung ergibt. Die Menge der Lösungen bildet einen geometrischen Bereich auf der Zahlengeraden, wenn die Ungleichung eine Variable hat, oder auf der Ebene, wenn sie zwei Variablen hat.

Beispiel:

 

  • Die Ungleichung  \hspace{.3cm} y>x^2 \hspace{.3cm}
  • erzeugt den folgenden Bereich in der Ebene.

 

Wertebereich der Lösungen einer Ungleichung
 

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Los geht's

Ungleichungssystem

 

Die Lösung eines Ungleichungssystems ist die Schnittmenge der Bereiche, die der Lösung der einzelnen Ungleichungen entsprechen.

 

Ein Ungleichungssystem wird als linear bezeichnet, wenn auf beiden Seiten jeder Ungleichung eine Gleichung ersten Grades steht.

 

\text{Linear} \longrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+y\leq 3\ \\ x+y\geq 1 \end{matrix}\right. \hspace{1cm}\text{Nicht linear} \longrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2+y\leq 3\ \\ x+y^3\geq 1 \end{matrix}\right.

 

Beispiele für lineare Ungleichungssysteme mit zwei Unbekannten

 

Löse das System:

 

\left\{\begin{matrix} 2x+y\leq 3\ \\ x+y\geq 1 \end{matrix}\right.

 

Stelle den Lösungsbereich der ersten Ungleichung dar

 

1 Verwandle Ungleichheit in Gleichheit.

2x + y = 3

 

2 Gebe einer der beiden Variablen zwei Werte, sodass Du zwei Punkte erhältst

 

x = 0 \hspace{1cm} \rightarrow  \hspace{1cm}   2 \cdot 0 + y = 3 \hspace{1cm}   y = 3    \hspace{1cm}       (0, 3)

 

x = 1 \hspace{1cm} \rightarrow  \hspace{1cm}   2 \cdot 1 + y = 3 \hspace{1cm}   y = 1    \hspace{1cm}       (1,1)

 

3 Wenn Du diese Punkte darstellst und verbindest, erhältst Du eine Gerade

 

 

Grafische Darstellung einer Ungleichung

 

Nimm zuletzt nun einen Punkt, zum Beispiel (0, 0), und setze ihn in die Ungleichung ein. Wenn dies zutrifft, ist die Lösung die Halbebene, auf der sich der Punkt befindet, andernfalls ist die Lösung die andere Halbebene

 

2x + y \leq 3

   2 \cdot 0 + 0 \leq  3 \hspace{1cm}   0 \leq 3  \hspace{1cm} \rightarrow Wenn die Ungleichung erfüllt ist

 

Da sie erfüllt ist, ist die Lösung die Halbebene, in der sich (0, 0) befindet, einschließlich der Geraden

 

Grafische Darstellung des Lösungsbereichs einer Ungleichung

 

 

Stelle den Lösungsbereich der zweiten Ungleichung dar

 

1 Verwandle Ungleichheit in Gleichheit.

 

x + y = 1

 

Gebe einer der beiden Variablen zwei Werte und Du erhältst zwei Punkte

 

x = 0 \hspace{1cm} \rightarrow  \hspace{1cm}    0 + y = 1 \hspace{1cm}   y = 1    \hspace{1cm}       (0,1)

 

x = 1 \hspace{1cm} \rightarrow  \hspace{1cm}    1 + y = 1 \hspace{1cm}   y =0    \hspace{1cm}       (1,0)

 

 

grafische Darstellung des Verfahrens zur Lösung von Ungleichungen

 

 

3 Nimm wieder einen Punkt, zum Beispiel (0, 0), und setze ihn in die Ungleichung ein.

 

x + y\geq 1

 

0 + 0\geq 1 \rightarrow  Die Ungleichheit ist nicht erfüllt

 

Da dies nicht erfüllt ist, ist die Lösung die Halbebene, in der (0, 0) nicht gefunden wird, einschließlich der Geraden

 

 

grafische Darstellung von Lösungen einer linearen Ungleichung

 

Die Lösung ist der Schnittpunkt der Lösungsmengen.

 

grafische Darstellung der Schnittmenge von Lösungsmengen

 

Beispiele für lineare Ungleichungssysteme mit einer unbekannten Variablen

 

Jede Ungleichung wird separat gelöst. Die Lösungsmenge des Systems ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der beiden Ungleichungen.

1 \left\{\begin{matrix} 2x+3\geq 1\\ -x+2\geq -1 \end{matrix}\right.

 

Löse die erste Ungleichung

2x+3\geq 1 \hspace{1cm} 2x\geq 1-3 \hspace{1cm} 2x\geq -2 \hspace{1cm} x\geq -1

 

Löse die zweite Ungleichung

-x+2\geq -1 \hspace{1cm} -x\geq -1-2 \hspace{1cm} -x\geq -3 \hspace{1cm} x\leq 3

 

Betrachte die Schnittmenge der Lösungen

 

Ungleichungen: Schnittmenge von Lösungen

 

Das Lösungsintervall ist (−1, 3)

 

2 \left\{\begin{matrix} 2x+3\geq 1\\ -x+2< -1 \end{matrix}\right.

 

Löse die erste Ungleichung

 

2x+3\geq 1 \hspace{1cm} 2x\geq 1-3 \hspace{1cm} 2x\geq -2 \hspace{1cm} x\geq -1

 

Löse die zweite Ungleichung

 

-x+2< -1 \hspace{1cm} -x< -1-2 \hspace{1cm} -x< -3 \hspace{1cm} x> 3

 

Betrachte die Schnittmenge der Lösungen

 

grafische Darstellung der Schnittmenge von Lösungen

Der Bereich der Lösungen ist (3, ∞)

 

\left\{\begin{matrix} 2x+3< 1\\ -x+6< 3 \end{matrix}\right.

 

Löse die erste Ungleichung

 

2x+3< 1 \hspace{1cm} 2x<1-3 \hspace{1cm} 2x< -2 \hspace{1cm} x< -1

 

Löse die zweite Ungleichung

 

-x+6< 3 \hspace{1cm} -x< 3-6 \hspace{1cm} -x< -3 \hspace{1cm} x> 3

 

Betrachte die Schnittmenge der Lösungen

 

Ungleichungen und Schnittmenge on Lösungsmengen ohne Lösung

 

Es gibt keine Lösung.

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Anna