Kapitel

Zunächst einmal die Definition einer Ungleichung:

Eine Ungleichung beschreibt zwei Terme, die ungleich zueinander sind. Außerdem enthält eine Ungleichung Variablen. Wenn wir eine Ungleichung lösen, erhalten wir diejenigen Werte unserer Variablen, für die die Ungleichung wahr ist.

Zwei Ungleichungen mit zwei Variablen

 

1{\left\{ \begin{array}{r} 2x+y \le 3 \\ x+y \ge 1 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} 2x+y \le 3 \\ x+y \ge 1 \end{array} \right.} 

1 Wir stellen den Lösungsbereich der ersten Ungleichung dar.

1 Wir formen die Ungleichung in eine Gleichung um

 

{2x+y=3}

 

2 Einer der beiden Variablen weisen wir zwei Werte zu und setzen diese in die vorhergehende Gleichung ein. Somit erhalten wir zwei Punkte {A_{1}, B_{1}}

 

x=0 \longrightarrow 2(0)+y=3 \longrightarrow y=3 \longrightarrow A_{1}=(0,3)

 

x=1 \longrightarrow 2(1)+y=3 \longrightarrow y=1 \longrightarrow B_{1}=(1,1)

 

3 Wenn wir die beiden Punkte einzeichnen und miteinander verbinden, erhalten wir eine Gerade

 

Beispiel einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft 1

 

4 Wir nehmen einen beliebigen Punkt, zum Beispiel {(0,0)} und setzen ihn in die Ungleichung ein. Wenn sie aufgeht, erhalten wir als Lösung die Halbebene, an der sich der Punkt befindet. Wenn sie nicht aufgeht, erhalten wir als Lösung die andere Halbebene.

 

(0,0) \longrightarrow 2(0)+0 \le 3 \longrightarrow 0 \le 3, \ \

 

Da die Aussage wahr ist, ist die Lösung die Halbebene, in der sich Punkt (0,0) befindet, einschließlich der Geraden.

 

Beispiel für den Lösungsbereich einer Ungleichung 1

 

 

2 Wir stellen den Lösungsbereich der zweiten Ungleichung dar.

 

1 Wir formen die Ungleichung in eine Gleichung um

 

x+y = 1

 

2 Wir weisen einer der beiden Variablen zwei Werte zu und erhalten so zwei Punkte {A_{2}, B_{2}}

 

{x=0 \longrightarrow 0+y=1 \longrightarrow y=1 \longrightarrow A_{2}=(0,1)}

 

{x=1 \longrightarrow 1+y=1 \longrightarrow y=0 \longrightarrow B_{2}=(1,0)}

 

3 Wenn wir die beiden Punkte einzeichnen und miteinander verbinden, erhalten wir eine Gerade

 

Beispiel einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft 2

 

 

4 Wir setzen den Punkt {(0,0)} in die Ungleichung ein, um zu überprüfen, ob die Aussage wahr ist

 

{(0,0) \longrightarrow 0+0 \ge 1 \longrightarrow 0 \ge 1}

 

Da die Aussage falsch ist, ist die Lösung die Halbebene ohne den Punkt {(0,0)}, da er sich außerhalb der Halbebene befindet, einschließlich der Geraden.

 

Beispiel für den Lösungsbereich einer Ungleichung 2

 

3 Die Lösung für das Ungleichungssystem ist der Bereich, in dem sich die zwei Lösungsbereiche überschneiden.

 

Grafische Darstellung der Lösung von Ungleichungssystemen 1

 

2{\left\{ \begin{array}{r} x \ge 4 \\ y \ge 2 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} x \ge 4 \\ y \ge 2 \end{array} \right.}

 

1 Wir formen die Ungleichungen in Gleichungen um

 

{x=4, \ \ \ \ y=2}

 

2 Wir zeichnen die zwei Geraden im Koordinatensystem ein.

 

Da {x \ge 4}, ist die Lösung der Bereich, der rechts von der Geraden {x=4} liegt, einschließlich der Geraden.

 

Da {y \ge 2}, ist die Lösung der Bereich, der oberhalb der Geraden {y=2} liegt, einschließlich der Geraden.

 

3 Die Lösung für das Ungleichungssystem ist der Bereich, in dem sich die beiden Lösungsbereiche überschneiden

 

Grafische Darstellung eines Ungleichungssystems 2

3{\left\{ \begin{array}{r} x+y \ge 0 \\ 2x-y \ge 0 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} x+y \ge 0 \\ 2x-y \ge 0 \end{array} \right.}

1 Wir stellen den Lösungsbereich der ersten Ungleichung dar.

 

1 Wir formen die Ungleichung in eine Gleichung um

 

{x+y =0}

 

2 Wir setzen zwei Werte der Variablen {x} in die vorhergehende Gleichung ein, wodurch wir zwei Punkte {A_{1}, B_{1}} erhalten

 

{x=0 \longrightarrow 0+y=0 \longrightarrow y=0 \longrightarrow A_1=(0,0)}

 

{x=1 \longrightarrow 1+y=0 \longrightarrow y=-1 \longrightarrow B_1=(1,-1)}

 

3 Wenn wir die Punkte einzeichnen und miteinander verbinden, erhalten wir eine Gerade.

 

4 Wir nehmen einen beliebigen Punkt, der sich nicht auf der Geraden befindet, zum Beispiel {(1,0)} und setzen ihn in die Ungleichung ein. Wenn die Aussage wahr ist, ist die Lösung die Halbebene, in der sich der Punkt befindet. Wenn nicht, ist die Lösung die andere Halbebene.

 

{(1,0) \longrightarrow 1+0 \ge 0 \longrightarrow 1 \ge 0}

 

Da die Aussage wahr ist, ist die Lösung die Halbebene, in der sich der Punkt {(1,0)} befindet, einschließlich der Geraden.

 

Beispiel für den Lösungsbereich einer Ungleichung 3

 

 

2 Wir stellen den Lösungsbereich der zweiten Ungleichung dar.

 

1 Wir formen die Ungleichung in eine Gleichung um

 

{2x-y=0}

 

2 Wir ersetzen zwei Werte der Variablen {x} in der vorhergehenden Gleichung, wodurch wir zwei Punkte {A_{2}, B_{2}} erhalten

 

{x=0 \longrightarrow 2(0)-y=0 \longrightarrow y=0 \longrightarrow A_2=(0,0)}

 

{x=1 \longrightarrow 2(1)-y=0 \longrightarrow y=2 \longrightarrow B_2=(1,2)}

 

3 Wir nehmen einen beliebigen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, zum Beispiel {(1, 0)} und ersetzen ihn in der Ungleichung

 

{(1,0) \longrightarrow 2(1)-0 \ge 0 \longrightarrow 2 \ge 0}

 

Da die Aussage wahr ist, ist die Lösung die Halbebene, in der sich der Punkt {(1, 0)} befindet, einschließlich der Geraden.

 

Beispiel für den Lösungsbereich einer Ungleichung 4

 

3 Die Lösung für das Ungleichungssystem ist der Bereich, in dem sich die Lösungsbereiche überschneiden.

 

Grafische Darstellung eines Ungleichungssystems 3

 

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Los geht's

Drei Ungleichungen mit zwei Variablen

 

4{\left\{ \begin{array}{r} x+y \ge 0 \\ 2x-y \ge 0 \\ x \le 6 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} x+y \ge 0 \\ 2x-y \ge 0 \\ x \le 6 \end{array} \right.}

1 Wir stellen den Lösungsbereich der ersten Ungleichung dar.

 

1 Wir formen die Ungleichung in eine Gleichung um

 

{x+y =0}

 

2 Wir nehmen zwei Werte für die Variable {x}, wodurch wir zwei Punkte erhalten {A_{1}, B_{1}}

 

{x=0 \longrightarrow 0+y=0 \longrightarrow y=0 \longrightarrow A_{1}=(0,0)}

 

{x=1 \longrightarrow 1+y=0 \longrightarrow y=-1 \longrightarrow B_{1}=(1,-1)}

 

3 Wenn wir diese Punkte einzeichnen und miteinander verbinden, erhalten wir eine Gerade.

 

4 Wir nehmen einen beliebigen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, zum Beispiel {(1,0)} und ersetzen ihn in der Ungleichung. Wenn die Aussage wahr ist, ist die Lösung die Halbebene, in der sich der Punkt befindet. Wenn nicht, ergibt sich als Lösung die andere Halbebene.

 

{(1,0) \longrightarrow 1+0 \ge 0 \longrightarrow 1 \ge 0}

 

Da die Aussage wahr ist, ist die Lösung die Halbebene, in der sich der Punkt {(1,0)} befindet, einschließlich der Geraden.

 

Beispiel für den Lösungsbereich einer Ungleichung 5

 

2 Wir stellen den Lösungsbereich der zweiten Ungleichung dar.

 

1 Wir formen die Ungleichung in eine Gleichung um

 

{2x-y=0}

 

2 Wir nehmen zwei Werte für die Variable {x}, wodurch wir zwei Punkte {A_{2}, B_{2}} erhalten

 

{x=0 \longrightarrow 2(0)-y=0 \longrightarrow y=0 \longrightarrow A_{2}=(0,0)}

 

{x=1 \longrightarrow 2(1)-y=0 \longrightarrow y=2 \longrightarrow B_{2}=(1,2)}

 

3 Wir nehmen einen beliebigen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, zum Beispiel {(1,0)} und setzen ihn in die Ungleichung ein

 

{(1,0) \longrightarrow 2(1)-0 \ge 0 \longrightarrow 2 \ge 0}

 

Da die Aussage wahr ist, ergibt sich als Lösung die Halbebene, in der sich der Punkt {(1, 0)} befindet, einschließlich der Geraden.

 

Beispiel für den Lösungsbereich einer Ungleichung 6

 

3 Wir stellen den Lösungsbereich der dritten Ungleichung dar.

 

1 Wir stellen die Gerade {x=6} dar

 

2 Wir nehmen für {x} einen Wert, der nicht auf der Geraden liegt, zum Beispiel {2} und ersetzen ihn in der Ungleichung

 

{x=2 \longrightarrow 2 \le 6}

 

Da die Aussage wahr ist, ergibt sich als Lösung die Halbebene, in der der Wert {2} liegt

 

     Beispiel für den Lösungsbereich einer Ungleichung 7

 

4 Die Lösung ist der Bereich, in dem sich die Lösungsbereiche überschneiden.

 

Grafische Darstellung eines Ungleichungssystems 4

 

Zwei Ungleichungen mit einer Variable

 

5{\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 1 \\ -x+2 \ge -1 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 1 \\ -x+2 \ge -1 \end{array} \right.}

1 Wir lösen die erste Ungleichung

 

{2x+3 \ge 1}

 

2 Wir subtrahieren {3} auf beiden Seiten der Ungleichung und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} 2x+3 - 3 & \ge & 1 - 3 \\ & & \\ 2x & \ge & -2 \end{array}}

 

3 Um {x} zu bestimmen, dividieren wir beide Seiten der Ungleichung durch {2} und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{2x}{2} & \ge & \displaystyle\frac{-2}{2} \\ && \\ x & \ge & -1 \end{array}}

 

4 Wir lösen die zweite Ungleichung, indem wir {2} auf beiden Seiten der Ungleichung subtrahieren

 

{\begin{array}{rcl} -x+2 & \ge & -1 \\ & & \\ -x+2-2 & \ge & -1-2 \\ && \\ -x & \ge & -3 \end{array}}

 

5 Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit {-1}, wodurch das Ungleichheitszeichen umgedreht wird

 

{\begin{array}{rcl} -x & \ge & -3 \\ & & \\ -x(-1) & \le & -3(-1) \\ && \\ x & \le & 3 \end{array}}

 

6 Wir stellen die Lösungen grafisch dar

 

Grafische Darstellung eines Ungleichungssystems 5

 

7Die Lösung für die Ungleichungen ist die Schnittmenge der zwei Lösungen. Also alle Punkte, die beide gemeinsam haben

 

{[-1, 3]}

 

6{\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 1 \\ -x+2 < -1 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 1 \\ -x+2 < -1 \end{array} \right.}

1Wir lösen die erste Ungleichung

 

{2x+3 \ge 1}

 

2Wir subtrahieren {3} auf beiden Seiten der Ungleichung und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} 2x+3 - 3 & \ge & 1 - 3 \\ & & \\ 2x & \ge & -2 \end{array}}

 

3 Um {x} zu bestimmen, dividieren wir beide Seiten der Ungleichung durch {2} und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{2x}{2} & \ge & \displaystyle\frac{-2}{2} \\ && \\ x & \ge & -1 \end{array}}

 

4 Wir lösen die zweite Ungleichung, indem wir {2} auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} -x+2 & < & -1 \\ & & \\ -x+2-2 & < & -1-2 \\ && \\ -x & < & -3 \end{array}}

 

5 Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit {-1}, wodurch das Ungleichheitszeichen umgedreht wird

 

{\begin{array}{rcl} -x & < & -3 \\ & & \\ -x(-1) & > & -3(-1) \\ && \\ x & > & 3 \end{array}}

 

6 Wir stellen die Lösungen grafisch dar

 

Grafische Darstellung eines Ungleichungssystems 6

 

7 Die Lösung des Ungleichungssystems ist die Schnittmenge aus den zwei vorhergehenden Lösungen. Also alle Punkte, die beide gemeinsam haben.  {x=3} ist ein Punkt, der zur Lösungsmenge der ersten Ungleichung gehört, aber nicht zur Lösungsmenge der zweiten Ungleichung. Daher ist {x=3} die untere Grenze des offenen Intervalls

 

{(3, \infty)}

7{\left\{ \begin{array}{r} 2x+3 < 1 \\ -x+6 < 3 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} 2x+3 < 1 \\ -x+6 < 3 \end{array} \right.}

1 Wir lösen die erste Ungleichung

 

{2x+3 < 1}

 

2 Wir subtrahieren {3} auf beiden Seiten der Ungleichung und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} 2x+3 - 3 & < & 1 - 3 \\ & & \\ 2x & < & -2 \end{array}}

 

3 Um {x} zu bestimmen, dividieren wir beide Seiten der Ungleichung durch {2} und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{2x}{2} & < & \displaystyle\frac{-2}{2} \\ && \\ x & < & -1 \end{array}}

 

4 Wir lösen die zweite Ungleichung, indem wir {6} auf beiden Seiten der Ungleichung subtrahieren und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} -x+6 & < & 3 \\ & & \\ -x+6-6 & < & 3-6 \\ && \\ -x & < & -3 \end{array}}

 

5 Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit {-1}, wodurch das Ungleichheitszeichen umgedreht wird

 

{\begin{array}{rcl} -x & < & -3 \\ & & \\ -x(-1) & > & -3(-1) \\ && \\ x & > & 3 \end{array}}

 

6 Wir stellen die Lösungen grafisch dar

 

Grafische Darstellung eines Ungleichungssystems 7

 

7 Wir stellen fest, dass es keine gemeinsamen Punkte gibt. Somit ergibt sich die Schnittmenge \O.

 

8{\left\{ \begin{array}{r} 10(x+1)+x \le 6(2x+1) \\ 4(x-10) < -6(2-x)-6x \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} 10(x+1)+x \le 6(2x+1) \\ 4(x-10) < -6(2-x)-6x \end{array} \right.}

1 Wir lösen die erste Ungleichung durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen

 

{\begin{array}{rcl} 10(x+1)+x & \le & 6(2x+1) \\ & & \\ 10x+10+x & \le & 12x+6 \\ & & \\ 11x+10 & \le & 12x+6 \end{array}}

 

2 Wir subtrahieren {12x} und {10} auf beiden Seiten der Ungleichung und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} 11x+10 & \le & 12x+6 \\ & & \\ 11x+10-12x-10 & \le & 12x+6-12x-10 \\ & & \\ -x & \le & -4 \end{array}}

 

3 Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit {-1}, wodurch das Ungleichheitszeichen umgedreht wird

 

{\begin{array}{rcl} -x & \le & -4 \\ & & \\ -x(-1) & \ge & -4(-1) \\ && \\ x & \ge & 4 \end{array}}

 

4 Wir lösen die zweite Ungleichung durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen

 

{\begin{array}{rcl} 4(x-10) & < & -6(2-x)-6x \\ & & \\ 4x-40 & < & -12+6x-6x \\ & & \\ 4x-40 & < & -12 \end{array}

 

5 Wir addieren {40} auf beiden Seiten der Ungleichung und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} 4x-40 & < & -12 \\ & & \\ 4x-40+40 & < & -12+40 \\ & & \\ 4x & < & 28 \end{array}}

 

6 Um {x} zu bestimmen, dividieren wir beide Seiten der Ungleichung durch {4} und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{4x}{4} & < & \displaystyle\frac{28}{4} \\ & & \\ x & < & 7 \end{array}}

 

7 Wir stellen die Lösungen grafisch dar

Grafische Darstellung eines Ungleichungssystems 8

 

8 Die Lösung des Ungleichungssystems ist die Schnittmenge aus den zwei vorhergehenden Lösungen. Also alle Punkte, die beide gemeinsam haben. {x=7} ist ein Punkt, der zur Lösungsmenge der ersten Ungleichung gehört, aber nicht zur Lösungsmenge der zweiten Ungleichung. Daher ist {x=7} die obere Grenze des Intervalls, {x=4} ist die untere Grenze

 

{[4, 7)}

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.