Ungleichungen

 

Eine Ungleichung ist eine algebraische Ungleichheit, bei der die beiden Glieder durch eines dieser Zeichen verbunden sind:

 

< kleiner als 2x − 1 < 7
kleiner oder gleich 2x − 1 ≤ 7
> größer als 2x − 1 > 7
größer oder gleich 2x − 1 ≥ 7

 

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung um den gleichen Betrag addiert oder subtrahiert werden, ist die Gleichung äquivalent zu der angegebenen.

 

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, ist die Ungleichung äquivalent zu der angegebenen.

 

Wenn die beiden Glieder einer Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich die Ungleichung und ist äquivalent zu der angegebenen.

 

Lösen von linearen Ungleichungen

 

Löse die Klammern auf.

 

Eliminiere die Nenner.

 

Fasse die x-Terme auf einer Seite der Ungleichung und die unabhängigen Terme auf der anderen Seite der Ungleichung zusammen.

 

Berechne alles

 

Da der Koeffizient von x negativ ist, multiplizierst du mit -1, sodass sich die Richtung der Ungleichung ändert.

 

Löse die Unbekannte auf.

 

Du erhältst die Lösung als Ungleichheit, aber du kannst sie auch folgendermaßen ausdrücken:

 

Als grafische Darstellung

 

Als Intervall

 

Beispiele für Ungleichungssysteme mit einer unbekannten Variablen

 

Jede Ungleichung wird separat gelöst, wobei die Lösungsmenge des Systems die Schnittmenge der Lösungsmengen beider Ungleichungen ist.

 

Quadratische Ungleichungen

 

Setze das erste Glied auf Null und berechne die Wurzeln der zugehörigen quadratischen Gleichung.

 

Stelle diese Werte auf der reellen Linie dar. Nimm einen Punkt in jedem Intervall und bewerte das Vorzeichen in jedem Intervall:

 

Die Lösung setzt sich aus den Intervallen (oder einem Intervall) zusammen, die das gleiche Vorzeichen wie die quadratische Gleichung haben.

 

Wenn die Diskriminante null ist:

 

Lösung
x² + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)² ≥ 0
x² + 2x +1 > 0 (x + 1)² > 0
x² + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)² ≤ 0 x = − 1
x² + 2x +1 < 0 (x + 1)² < 0

 

Wenn es keine reellen Wurzeln hat, gibst du dem Polynom einen beliebigen Wert mit den folgenden Bedingungen:

 

Das erhaltene Vorzeichen stimmt mit dem der Ungleichung überein, die Lösung ist .

 

Das erhaltene Vorzeichen stimmt nicht mit dem Vorzeichen der Ungleichung überein, es gibt keine Lösung.

 

Lösung
x² + x +1 ≥ 0
x² + x +1 > 0
x² + x +1 ≤ 0
x² + x +1 < 0

 

Rationale Ungleichungen

 

Sie werden in ähnlicher Weise gelöst wie quadratischen Ungleichungen, aber es ist zu beachten, dass der Nenner nicht Null sein kann.

 

Finde die Wurzeln des Zählers und des Nenners.

 

Stelle diese Werte auf der reellen Linie dar, wobei du beachtest, dass die Wurzeln des Nenners unabhängig vom Vorzeichen der Ungleichung offen sein müssen, damit der Nenner nicht aufgehoben werden kann.

 

Nimm einen Punkt in jedem Intervall und bewerte das Vorzeichen in jedem Intervall:

 

Die Lösung setzt sich aus den Intervallen (oder einem Intervall) zusammen, die das gleiche Vorzeichen wie das Polynom haben.

 

Ungleichungssysteme

 

Lineare Ungleichungen mit zwei Unbekannten

 

Ein System von Ungleichungen mit zwei Unbekannten hat als Lösung eine der Halbebenen, die sich aus der Darstellung der resultierenden Gleichung ergeben, die du durch Umformung der Ungleichung in eine Gleichheit erhältst.

 

Verwandle Ungleichheit in Gleichheit.

 

Gebe einer der beiden Variablen zwei Werte, also erhältst du zwei Punkte.

 

Wenn du diese Punkte darstellst und verbindest, erhältst du eine gerade Linie.

 

Schließlich nimmst du einen Punkt, zum Beispiel (0, 0), und setzt ihn in die Ungleichung ein. Wenn dies zutrifft, ist die Lösung die Halbebene, auf der sich der Punkt befindet, andernfalls ist die Lösung die andere Halbebene.

 

Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Unbekannten

 

Die Lösung eines Ungleichungssystems ist die Schnittmenge der Bereiche, die der Lösung der einzelnen Ungleichungen entsprechen.

 

Stelle den Lösungsbereich der ersten Ungleichung dar.

 

Stelle den Lösungsbereich der zweiten Ungleichung dar.

 

Die Lösung ist der Schnittpunkt der Lösungsbereiche.

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Anna