Eine gebrochene Ungleichung ist eine Ungleichung, bei der die Unbekannte sowohl im Nenner als auch im Zähler steht. Im Allgemeinen haben die gebrochenen Ungleichungen eine der folgenden Formen

 

1 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, \quad Q(x) \neq 0

 

2 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad Q(x) \neq 0

 

3 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad Q(x) \neq 0

 

4 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad Q(x) \neq 0

 

Du erfährst in den ersten beiden Fällen, wie du vorgehen musst. Die Schritte sind einfach: Du musst die Werte von x im Zähler und im Nenner finden, für die die Ungleichung erfüllt ist, wobei du in der Regel Schnittpunkte und Vereinigungen der Intervalle verwendest.

 

Erster wichtiger Fall

 

Beginne mit \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, \quad Q(x) \neq 0.

 

1 Zunächst musst du die Werte finden, für die \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 ist. Dazu findest du die Werte von x für die der Zähler gleich Null ist, d. h. du löst P(x) = 0. Bezeichne die Menge der Werte, für die P(x) = 0 als A_0.

 

2 Du weißt, dass \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0 ist, da du bereits die Werte gefunden hast, konzentriere dich jetzt nur auf \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0.

 

Es gibt zwei Fälle, in denen \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 ist. Das ist immer dann der Fall, wenn die Nenner P(x) und Q(x) entgegengesetzte Vorzeichen haben. Dein erster Fall ist also P(x) > 0 und Q(x) < 0. Die Menge der Werte, für die P(x) > 0 ist P_1, und die Menge der Werte, für die Q(x) < 0 als Q_1, dann ist die Lösungsmenge, für die beide Ungleichungen P(x) > 0 und Q(x) < 0 erfüllt sind, die Schnittmenge A_1 = P_1 \cap Q_1. Beachte, dass du Q(x) < 0 und nicht Q(x) \leq 0 verwendest, da Q(x) der Nenner ist und nicht gleich Null sein kann.

 

Dein zweiter Fall ist P(x) < 0 und Q(x) > 0. Die Menge der Werte, für die P(x) < 0 ist P_2, und die Menge der Werte, für die Q(x) > 0 als Q_2, dann ist die Lösungsmenge, für die beide Ungleichungen P(x) < 0 und Q(x) > 0 erfüllt sind, die Schnittmenge A_2 = P_2 \cap Q_2. Beachte, dass du Q(x) > 0 und nicht Q(x) \geq 0 nimmst, da Q(x) der Nenner ist und nicht gleich Null sein kann.

 

3 Die Lösungsmenge ist die Vereinigung der Mengen A_0, A_1 und A_2, d.h.

 

\displaystyle A = A_0 \cup A_1 \cup A_2

 

Für den Fall \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad Q(x) \neq 0 ist es ähnlich, konzentriere dich aber nur auf den zweiten und dritten Punkt.

 

Zweiter wichtiger Fall

 

Betrachte nun den Fall, dass \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad Q(x) \neq 0

 

1 Zunächst musst du die Werte finden, für die \frac{P(x)}{Q(x)} = 0ist. Dazu findest du die Werte von x für die der Zähler gleich Null ist, d. h. du löst P(x) = 0. Bezeichne die Menge der Werte, für die P(x) = 0 ist, als A_0.

 

2 Du weißt, dass \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, da du bereits die Werte gefunden hast, wenn sie gleich Null ist, konzentriere dich jetzt nur auf \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0.

 

Es gibt zwei Fälle, in denen \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, ist. Dies ist immer dann der Fall, wenn der Nenner P(x) und Q(x) gleiche Vorzeichen haben. Dein erster Fall ist also P(x) > 0 und Q(x) > 0. Die Menge der Werte, für die P(x) > 0 ist P_1, und die Menge der Werte, für die Q(x) > 0 ist Q_1, dann ist die Lösungsmenge, für die beide Ungleichungen P(x) > 0 y Q(x) > 0 erfüllt sind, die Schnittmenge A_1 = P_1 \cap Q_1. Beachte, dass du Q(x) > 0 und nicht Q(x) \geq 0 nimmst, da Q(x) der Nenner ist und nicht gleich Null sein kann.

 

Dein zweiter Fall ist P(x) < 0 und Q(x) < 0. Die Menge der Werte, für die P(x) < 0 ist P_2, und die Menge der Werte, für die Q(x) < 0 als Q_2, dann ist die Lösungsmenge, für die beide Ungleichungen P(x) < 0 und Q(x) < 0 erfüllt sind, die Schnittmenge A_2 = P_2 \cap Q_2. Beachte, dass du Q(x) < 0 und nicht Q(x) \leq 0 verwendest, da Q(x) der Nenner ist und nicht gleich Null sein kann.

 

3 Die Lösungsmenge ist die Vereinigung der Mengen A_0, A_1 und A_2, d.h.

 

\displaystyle A = A_0 \cup A_1 \cup A_2

 

Für den Fall  \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad Q(x) \neq 0 ist es ähnlich, konzentriere dich aber nur auf den zweiten und dritten Punkt.

 

Beispiele

 

Normalerweise handelt es sich bei diesen Übungen P(x) und Q(x) um Monome oder Produkte von Monomen. Anhand der folgenden Beispiele kannst du dir ein genaues Bild von dem Verfahren machen:

 

1 Löse die unten stehende Gleichung:

 

\displaystyle \frac{1 - x}{2x + 2} \leq 0

 

In diesem Fall ist P(x) = 1 - x und Q(x) = 2x + 2.

Beginne mit der Analyse, wann

 

\displaystyle \frac{1 - x}{2x + 2} = 0.

 

Dazu musst du herausfinden, wann P(x) = 0, oder 1 - x = 0, ist, was eindeutig bei x = 1. der Fall ist. Deine erste Menge ist also A_0 = \{ 1\}. Analysiere nun, wann

 

\displaystyle \frac{1 - x}{2x + 2} < 0

 

Du weißt bereits, dass es dafür zwei Fälle gibt, nämlich wenn der Nenner und der Zähler entgegengesetzte Vorzeichen haben. Beginne mit dem ersten Fall

 

1 P(x) > 0 y Q(x) < 0.

 

Du weißt bereits, dass dies gleichbedeutend ist mit 1 - x > 0 und 2x + 2 < 0. Aus der ersten Ungleichung ergibt sich

 

    \begin{align*} 1 - x &> 0\\1 > x\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung P_1 = (-\infty, 1) ist. Aus der zweiten ergibt sich

 

    \begin{align*} 2x + 2 &< 0\\x + 1 &< 0\\x &< -1\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung Q_1 = (-\infty, -1) ist. Die Lösungsmenge für diesen Fall ist also die Schnittmenge, die lautet

 

\displaystyle A_1 = P_1 \cap Q_1 = (-\infty, 1) \cap (-\infty, -1) = (-\infty, -1).

 

2 P(x) < 0 y Q(x) > 0.

 

Du weißt bereits, dass dies gleichbedeutend ist mit 1 - x < 0 und 2x + 2 > 0. Aus der ersten Ungleichung ergibt sich

 

    \begin{align*} 1 - x &< 0\\1 < x\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung P_2 = (1, \infty) ist. Aus der zweiten ergibt sich

 

    \begin{align*} 2x + 2 &> 0\\x + 1 &> 0\\x &> -1\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung Q_2 = (-1, \infty) ist. Die Lösungsmenge für diesen Fall ist also die Schnittmenge, die lautet

 

\displaystyle A_2 = P_2 \cap Q_2 = (1, \infty) \cap (-1, \infty) = (1, \infty).

 

Schließlich ergibt sich, dass die allgemeine Lösung unserer Ungleichung die Vereinigung unserer drei Lösungen A_0, A_1 y A_2 ist, d. h.

 

    \begin{align*} A &= A_0 \cup A_1 \cup A_2\\&= \{ 1\} \cup (-\infty, -1) \cup (1, \infty)\\&= (-\infty, -1) \cup [1, \infty)\\\end{align*}

 

2 Löse die unten stehende Ungleichung

 

\displaystyle \frac{x - \sqrt{2}}{7x - 8} > 0

 

In diesem Fall ist P(x) = x - \sqrt{2} und Q(x) = 7x - 8. Da sie hier strikt größer ist, ist es dir egal, wann der Bruch gleich Null ist, so dass du direkt zur Analyse der Ungleichung übergehst. Dabei gibt es zwei Fälle, nämlich wenn die Ziffern und der Nenner das gleiche Vorzeichen haben. Beginne mit dem ersten Fall

 

1 P(x) > 0 y Q(x) > 0.

 

Du weißt bereits, dass dies gleichbedeutend ist mit x - \sqrt{2} > 0 und 7x - 8 > 0. Aus der ersten Ungleichung ergibt sich

 

    \begin{align*} x - \sqrt{2} > 0\\x > \sqrt{2}\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung P_1 = (\sqrt{2}, \infty) ist. Aus der zweiten ergibt sich

 

    \begin{align*} 7x - 8 &> 0\\7x &> 8\\x &> \frac{8}{7}\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung Q_1 = \left( \frac{8}{7}, \infty \right) ist. Die Lösungsmenge für diesen Fall ist also die Schnittmenge, die lautet

 

\displaystyle A_1 = P_1 \cap Q_1 = (\sqrt{2}, \infty) \cap \left( \frac{8}{7}, \infty \right) = (\sqrt{2}, \infty).

 

2 P(x) < 0 y Q(x) < 0.

 

Du weißt bereits, dass dies gleichbedeutend ist mit x - \sqrt{2} < 0 und 7x - 8 < 0. Aus der ersten Ungleichung ergibt sich

 

    \begin{align*} x - \sqrt{2} < 0\\x < \sqrt{2}\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung P_2 = (-\infty, \sqrt{2}) ist. Aus der zweiten ergibt sich

 

    \begin{align*} 7x - 8 &< 0\\7x &< 8\\x &< \frac{8}{7}\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung Q_2 = \left(-\infty, \frac{8}{7}\right) ist. Die Lösungsmenge für diesen Fall ist also die Schnittmenge, die lautet

 

\displaystyle A_2 = P_2 \cap Q_2 = (-\infty, \sqrt{2}) \cap \left(-\infty, \frac{8}{7}\right) = \left(-\infty, \frac{8}{7}\right).

 

Schließlich ergibt sich, dass die allgemeine Lösung unserer Ungleichung die Vereinigung der beiden Lösungen A_1 y A_2 ist, d. h.

 

    \begin{align*} A &= A_1 \cup A_2\\&= (\sqrt{2}, \infty)\cup \left(-\infty, \frac{8}{7}\right)\\&= \left(-\infty, \frac{8}{7}\right) \cup (\sqrt{2}, \infty)\\\end{align*}

 

3 Löse die unten stehende Ungleichung:

 

\displaystyle \frac{-x + 10}{x^2 + 7} \leq 0

 

In diesem Fall ist P(x) = -x + 10 und Q(x) = x^2 + 7.

Beginne mit der Analyse, wann

 

\displaystyle \frac{-x + 10}{x^2 + 7} = 0.

 

Dazu musst du herausfinden, wann P(x) = 0 oder -x + 10 = 0 ist, was eindeutig bei x = 10der Fall ist. Deine erste Menge ist also A_0 = \{ 10\}. Analysiere nun, wann

 

\displaystyle \frac{-x + 10}{x^2 + 7} < 0

 

Du weißt bereits, dass es dafür zwei Fälle gibt, nämlich wenn Zähler und Nenner entgegengesetzte Vorzeichen haben. Beginne mit dem ersten Fall

 

1 P(x) > 0 y Q(x) < 0.

 

Beachte, dass verlangt wird, dass Q(x) < 0, was gleichbedeutend ist mit

 

    \begin{align*} x^2 + 7 &< 0\\x^2 &< -7\\\end{align*}

 

Allerdings ist x^2 > 0 für alle x \neq 0, so dass die obige Frage lautet

 

\displaystyle 0 < x^2 < -7

 

was zu 0 < -7, führt, was niemals passieren kann. Daraus ergibt sich, dass die Bedingung Q(x) < 0 in diesem Fall nicht erfüllt sein kann,

 

\displaystyle A_1 = \emptyset

 

2 P(x) < 0 y Q(x) > 0.

 

Du weißt bereits, dass dies gleichbedeutend ist mit -x + 10 < 0 y x^2 + 7> 0. Aus der ersten Ungleichung ergibt sich

 

    \begin{align*} -x + 10 &< 0\\10 < x\\\end{align*}

 

daraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung P_2 = (10, \infty) ist. Aus der zweiten ergibt sich, dass x^2 + 7 > 0 für alle x \in \mathbb{R} erfüllt ist, woraus folgt, dass die Lösungsmenge dieser Ungleichung Q_2 = \mathbb{R} = (-\infty, \infty). Die Lösungsmenge für diesen Fall ist also die Schnittmenge, die lautet

 

\displaystyle A_2 = P_2 \cap Q_2 = (10, \infty) \cap \mathbb{R} = (10, \infty).

 

Schließlich ergibt sich, dass die allgemeine Lösung unserer Ungleichung die Vereinigung unserer drei Lösungen A_0, A_1 und A_2, ist, d. h.

 

    \begin{align*} A &= A_0 \cup A_1 \cup A_2\\&= \{ 10\} \cup \emptyset \cup (10, \infty)\\&= [10, \infty)\\\end{align*}

 

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Anna