Finde die Lösungsintervalle der folgenden Ungleichungen:

 

{\displaystyle\frac{x-2}{x-4} \ge 0}

 

{\displaystyle\frac{x-2}{x-4} \ge 0}

 

1 Löse die Nenner- und Zählergleichung separat auf

 

{x-2=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=2}

 

{x-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=4}

 

2 Übernehme die Lösungswerte in einen Zahlenstrahl und beachte dabei, dass das Intervall, das die Lösungsmenge des Zählers bildet, unabhängig vom Vorzeichen immer offen sein muss.

lösungsintervall-1-auf-zahlenstrahl

 

3 Wähle eine Zahl für x auf jedem Intervallabschnitt und beobachte das Vorzeichen in jedem Intervall:

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{0-2}{0-4}>0}

 

{x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{3-2}{3-4}<0}

 

{x=5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{5-2}{5-4}>0}

 

lösungsintervall-2-auf-zahlenstrahl

4 Die Lösung setzt sich aus dem/den Intervall/en zusammen, die dasselbe Vorzeichen wie der Bruch der mehrgliedrigen Terme aus der Anfangsgleichung hat/haben.

 

{S=(-\infty, 2] \cup (4, \infty)}

 

Das Intervall zu 4 ist offen, da es aus der Lösung des Nenners gebildet wird und dieser Wert nicht gleich Null sein darf.

 

2{\displaystyle\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4} \ge 0}

 

 

{\displaystyle\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4} \ge 0}

 

1 Der Zähler ist immer positiv, daher hat er keine reale Wurzel. Ziehe die Wurzel des Nenners:

 

{x^{2}-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 2}

 

2 Wenn {x \neq \pm 2} ist, kann der Nenner nicht aufgehoben werden, da der Bruch nicht durch  {0}  geteilt werden darf. Daher muss der Nenner der ursprünglichen Ungleichung wie folgt aussehen:

 

{x^{2}-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x \neq\pm 2}

 

3 Setze eine repräsentative Zahl aus jedem der Intervalle {(-\infty,-2), \; (-2,2), \; (2, \infty)} ein

 

{x=-3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(-3)^{2}+4}{(-3)^{2}-4}>0}

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(0)^{2}+4}{(0)^{2}-4}<0}

 

{x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(3)^{2}+4}{{3}^{2}-4}>0}

 

lösungsintervall-3-auf-zahlenstrahl

 

4 Die Lösung setzt sich aus dem/den Intervall/en zusammen, die dasselbe Vorzeichen wie der Bruch der mehrgliedrigen Terme aus der Anfangsgleichung hat/haben.

 

{S=(-\infty, -2) \cup (2, \infty)}

 

3{\displaystyle\frac{x^{2}-1}{-x^{2}+2x-1} \le 0}

 

 

{\displaystyle\frac{x^{2}-1}{-x^{2}+2x-1} \le 0}

 

Ziehe die Wurzeln des Zählers und des Nenners

 

{x^{2}-1=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 1}

 

{-x^{2}+2x-1=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=1}

 

2 Wenn {x \neq 1} ist, kann der Nenner nicht aufgehoben werden, da der Bruch nicht durch  {0} geteilt werden darf. Außerdem kann der Nenner faktorisiert, das heißt in ein Produkt umgewandelt werden. Daher muss der Nenner der ursprünglichen Ungleichung wie folgt aussehen:

 

{-x^{2}+2x-1=-(x-1)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x \neq 1}

 

3 Setze eine repräsentative Zahl aus jedem der Intervalle {(-\infty,-1], \; [-2,1), \; (1, \infty)} in den Zähler der ursprünglichen Ungleichung ein

 

{x=-2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (-2)^{2}-1>0}

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (-2)^{2}-1<0}

 

{x=2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (2)^{2}-1>0}

 

Da der Nenner immer negativ ist, erhält man

 

lösungsintervall-4-auf-zahlenstrahl

 

4 Die Lösung setzt sich aus dem/den Intervall/en zusammen, die dasselbe Vorzeichen wie der Bruch der mehrgliedrigen Terme aus der Anfangsgleichung hat/haben.

 

{S=(-\infty, -1] \cup (1, \infty)}

 

4{\displaystyle\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4} \le 0}

 

 

4{\displaystyle\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4} \le 0}

 

1 Ziehe die Wurzeln des Zählers und des Nenners

 

{x^{2}-1=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 1}

 

{x^{2}-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x= \pm 2}

 

2 Wenn {x \neq \pm 2} ist, kann der Nenner nicht aufgehoben werden, da der Bruch nicht durch  {0} geteilt werden darf. Daher muss der Nenner der ursprünglichen Ungleichung wie folgt aussehen:

 

{x^{2}-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x \neq\pm 2}

 

3 Setze eine repräsentative Zahl aus jedem der Intervalle {(-\infty,-2), \; (-2,-1], \; [-1,1], \; [1,2), \; (2, \infty)} ein

 

{x=-3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  \displaystyle\frac{(-3)^{2}-1}{(-3)^{2}-4}>0}

 

{x=-\displaystyle\frac{3}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{\left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}-1}{\left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}-4}<0}

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(0)^{2}-1}{(0)^{2}-4}>0}

 

{x=\displaystyle\frac{3}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}-1}{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}-4}<0}

 

{x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}-4}>0}

 

lösungsintervall-5-auf-zahlenstrahl

 

4 Die Lösung setzt sich aus dem/den Intervall/en zusammen, die dasselbe Vorzeichen wie der Bruch der mehrgliedrigen Terme aus der Anfangsgleichung hat/haben. </p>

 

{S=(-2, -1] \cup [1, 2)}

 

{\displaystyle\frac{x+3}{x-2} <2}

 

 

{\displaystyle\frac{x+3}{x-2} <2}

 

1 Übertrage die 2 in den linken Teil der Gleichung, finde einen gemeinsamen Nenner und vereinfache die Ungleichung:

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x+3}{x-2}-2 & < & 0 \\ && \\ \displaystyle\frac{x+3-2(x-2)}{x-2} & < & 0 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x+7}{x-2} & < & 0 \end{array}}

 

2 Löse die Nenner- und Zählergleichung separat auf

 

{-x+7=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=7}

 

{x-2=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x= 2}

 

3 Setze eine repräsentative Zahl aus jedem der Intervalle {(-\infty,2), \; (2,7), \; (7, \infty)} ein

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{-(0)+7}{(0)-2}<0}

 

{x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{-(3)+7}{(3)-2}>0}

 

{x=8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{-(8)+7}{(8)-2}<0}

 

lösungsintervall-6-auf-zahlenstrahl

 

4 Die Lösung setzt sich aus dem/den Intervall/en zusammen, die dasselbe Vorzeichen wie der Bruch der mehrgliedrigen Terme aus der Anfangsgleichung hat/haben.

 

{S=(-\infty, 2) \cup (7, \infty)}

 

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Eva