Eine Ungleichung ist eine algebraische Ungleichung, d. h. sie ist ein algebraischer Ausdruck, der durch die Zeichen < (kleiner als), > (größer als),  \leq (kleiner oder gleich) oder  \geq (größer oder gleich).

 

In diesem Fall wirst du quadratische Ungleichungen der Form ax^2+bx+c>0; mit a, b, und c reellen Zahlen und  a\neq 0 untersuchen.

 

Verfahren zum Lösen einer quadratischen Ungleichung

 

Du löst die quadratische Ungleichung x^2-6x+8>0 in folgenden Schritten.

 

1Setze das erste Glied auf Null und berechne die Wurzeln der zugehörigen quadratischen Gleichung

 

x^2-6x+8=0

 

In diesem Fall ist die beste Methode die Faktorisierung:

 

\begin{array}{rcl}x^2 -6x+8 & = & 0 \\\\ (x-4)(x-2) & = & 0 \end{array}

 

Setze jeden Faktor auf Null und erhalte die Wurzeln

 

\begin{array}{rcl}x-4 = 0 & \Longrightarrow & x = 4\end{array}

 

\begin{array}{rcl}x-2 = 0 & \Longrightarrow & x = 2\end{array}

 

Anmerkung: Dieser erste Schritt, die Ermittlung der Wurzeln der zugehörigen quadratischen Gleichung, wird auch als Ermittlung der kritischen Werte der Ungleichung bezeichnet.

 

2Stelle diese Werte auf der Zahlengeraden dar

 

Die Zahlengerade ist in drei Intervalle aus den Werten x = 4 und x = 2 unterteilt:  (-\infty, 2), (2, 4) und (4, \infty).

 

Aus jedem Intervall wird ein Punkt entnommen und in der quadratischen Ungleichung ausgewertet, um das Vorzeichen des jeweiligen Intervalls zu ermitteln. Zum Beispiel die Wertetriade  0, 3, 5.

 

Ungleichungen: offenes Intervall

 

\begin{array}{l}x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0^2-6(0)+8=8>0 \\\\ x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3^2-6(3)+8=9-18+8=-1<0 \\\\ x=5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5^2-6(5)+8=25-30+8=3>0 \end{array}

 

Anmerkung: Falls die Ungleichung durch die Zeichen kleiner oder gleich oder größer oder gleich dargestellt wird, müssen die Intervalle der Extrema  (-\infty, 2], [2, 4] y [4, \infty) sein; d.h. sie müssen die Extrema der Intervalle einschließen, was sie zu geschlossenen oder halbgeschlossenen Intervallen macht.

 

3Analysiere die Vorzeichen der Werte und der quadratischen Gleichung

 

Die Lösung setzt sich aus den Intervallen zusammen, die das gleiche Vorzeichen wie die quadratische Gleichung haben. In diesem Fall ist der Ausdruck positiv, denn die Ungleichung lautet "der algebraische Ausdruck ist größer als Null".

 

Quadratische Ungleichung: offenes Intervall

 

Daher ist die Lösung der quadratischen Ungleichung die Menge der Intervalle  S=(-\infty,2) \cup (4, \infty).

 

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Los geht's

Spezialfälle beim Lösen quadratischer Ungleichungen

 

Eine Ungleichung, die durch ein Binom zum Quadrat gebildet wird

 

Im Folgenden soll die Ungleichung x^2+2x +1 \geq 0 analysiert werden.

 

Wende die Faktorisierungsmethode an und du erhältst:

 

\begin{array}{rlc} x^2 +2x+1 & \geq & 0 \\\\ (x+1)(x+1) & \geq & 0 \\\\ (x+1)^2 & \geq & 0. \end{array}

 

Da das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv ist, ist die Lösung einer positiven Ungleichung mit dem Vorzeichen  \geq , die einem Binom zum Quadrat entspricht, die gesamte Zahlengerade:  \mathbb{R} .

 

Falls die Ungleichung mit anderen Ungleichheitszeichen zusammenhängt, ergeben sich die Lösungen aus der folgenden Tabelle:

 

 \begin{tabular}{| c | c | c |} \hline \textup{Ungleichung}& \textup{Faktorisierung}& \textup{Lösung}\\ \hline $x^2+2x+1\geq 0$ & $(x+1)^2\geq 0$ & $\mathbb{R}$\\ \hline $x^2+2x+1> 0$ & $(x+1)^2>0$ & $\mathbb{R}- \left \{ -1 \right \}$\\ \hline $x^2+2x+1\leq 0$ & $(x+1)^2\leq 0$ & $x= -1 $\\ \hline $x^2+2x+1< 0$ & $(x+1)^2< 0$ & $\emptyset $\\ \hline \end{tabular}

 

Eine Ungleichung ohne kritische Punkte

 

Die Ungleichung x^2+x+1>0, soll analysiert werden

 

Die zugehörige quadratische Gleichung ist x^2+x+1=0.

 

Eine Möglichkeit, herauszufinden, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat, ist die Berechnung der Diskriminante b^2-4ac.

 

1 Wenn dieser Wert positiv ist, hat die Gleichung zwei Wurzeln

 

2 Wenn dieser Wert Null ist, hat sie nur eine Wurzel

 

3 Wenn dieser Wert negativ ist, hat sie keine Lösung.

 

Berechne die Diskriminante mit a = 1, \ b = 1, \ c = 1

 

1^2-4(1)(1)=-4<0

 

Dann hat die Ungleichung keine kritischen Punkte und die Zahlengerade teilt sich nicht.

 

Aus diesem Grund kann die Ungleichung alle reellen Zahlen als Lösung haben oder überhaupt keine Lösung; wenn das Vorzeichen des quadratischen Terms nicht mit dem Vorzeichen der Ungleichung übereinstimmt, hat sie keine Lösung.

 

 \begin{tabular}{| c | c | } \hline \textup{Inecuaci\'on}& \textup{Soluci\'on}\\ \hline $x^2+x+1\geq 0$ & $\mathbb{R}$\\ \hline $x^2+x+1> 0$& $\mathbb{R}$\\ \hline $x^2+x+1\leq 0$ & $\emptyset$\\ \hline $x^2+x+1< 0$ & $\emptyset $\\ \hline \end{tabular}

 

Übungen zu quadratischen Ungleichungen

 

17x^2+21x-28<0

1 Bestimme die kritischen Werte der Ungleichung

 

Hierfür setzt du den Wert Null ein und faktorisierst

 

\begin{array}{rcl} 7x^2+21x-28 & = & 0 \\\\ 7(x^2+3x-4) & = & 0 \\\\ 7(x+4)(x-1) & = & 0 \end{array}

 

Wenn du die Faktoren auf Null gleichsetzt, erhältst du die Wurzeln x =-4, \qquad x =1

 

2 Stelle die der kritischen Werte auf der Zahlengeraden dar

 

Da die Wurzeln x =-4 und x=1 sind, wird die Zahlengerade in die Intervalle (-\infty,-4), (-4,1) y  (1, \infty).

 

Nimm die Werte -6, 0 und  3, und werte sie in der Ungleichung aus

 

\begin{array}{l}x=-6 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 7(-6+4)(-6-1)=98>0 \\\\ x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \7(4)(-1)=-28<0 \\\\ x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 7(3+4)(3-1)=98>0 \end{array}

 

Quadratische Ungleichungen lösen: offenes Intervall

 

Da die quadratische Gleichung negativ ist, liegt die Lösung im Intervall S=(-4,1).

 

2-x^2+4x-7<0

1 Bestimme die kritischen Werte der Ungleichung

 

Da sie nicht als Produkt zweier Binome gebildet werden kann, wird der Wert der Diskriminante berechnet:

 

(-4)^2-4(-1)(-7)=16-28=-12<0.

 

2 Da die Diskriminante negativ ist, hat die Ungleichung entweder keine Lösungen oder sie besteht nur aus reellen Zahlen.

 

Da das Vorzeichen des quadratischen Terms mit dem Vorzeichen der Ungleichung übereinstimmt (negativ - kleiner als), ist die Lösung der Ungleichung alle reellen Zahlen S= \mathbb{R}.

 

34x^2-16\geq 0

1 Bestimme die kritischen Werte der Ungleichung

 

Hierfür setzt du den Wert Null ein und faktorierst

 

\begin{array}{rcl}4x^2-16 & = & 0 \\\\ 4(x^2-4) & = & 0 \\\\ 4(x-2)(x+2) & = & 0 \end{array}

 

Die Gleichsetzung der Faktoren mit Null ergibt die Wurzeln x =-2, \qquad x =2. Diese Wurzeln sind Lösungen (da beim Einsetzen der Ungleichung die Gleichheit erfüllt ist)

 

2 Stelle die kritischen Werte auf der Zahlengeraden dar

 

Da die Wurzeln x_1=2 und x_2=-2 sind, wird die Zahlengerade in die Intervalle (-\infty,-2), (-2,2) und  (2, \infty) unterteilt.

 

Nimm die Werte -3, 0 und  3, und werte sie in der Ungleichung aus

 

\begin{array}{l} x = -3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(-3+2)(-3-2)=20>0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(2)(-2)=-16<0 \\\\ x = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(3+2)(3-2)=20>0 \end{array}

 

Ungleichungen: geschlossenes Intervall

 

Da die quadratische Gleichung positiv ist, ist die Lösung der Ungleichung die Vereinigung von zwei Intervallen: S(-\infty, -2]\cup [2,\infty).

 

44x^2-4x+1 \leq0

1 Bestimme die kritischen Werte der UngleichungHierfür setzt du den Wert Null ein und faktorisierst

\begin{array}{rcl} 4x^2-4x+1 & = & 0 \\\\ 4\left (x^2-x+\dfrac{1}{4}\right ) & = & 0 \\\\ 4\left(x^2+2\left (- \dfrac{1}{2}x\right ) + \left(- \dfrac{1}{2} \right)^2 \right) & = & 0 \\\\ 4\left ( x-\dfrac{1}{2} \right)^2 & = & 0 \end{array}

 

Die Gleichsetzung mit Null ergibt die Wurzel x = \cfrac{1}{2}

 

2 Da das Binomialquadrat negativ ist und das Vorzeichen kleiner oder gleich ist, hat die Ungleichung nur eine Lösung: x=\cfrac{1}{2}.

 

5x^4+12x^3-64x^2 \geq 0

1 Bestimme die kritischen Werte der UngleichungSetze hierfür den Wert Null ein und faktoriesiere

\begin{array}{rcl}x^4+12x^3-64x^2 & = & 0 \\\\ x^2 (x^2+12x -64) & = & 0 \\\\ x^2(x-4)(x+16) & = & 0 \end{array}

 

Die Gleichsetzung der Faktoren mit Null ergibt die Wurzeln x = -16, 0, 4 .

Diese Wurzeln sind Lösungen (da beim Einsetzen der Ungleichung die Gleichheit erfüllt ist)

 

2 Stelle die kritischen Werte auf der Zahlengeraden dar

 

Da die Wurzeln x=4, \ x = 0 und x=-16 sind, wird die Zahlengerade in die Intervalle (-\infty,-16), \ (-16,0), \ (0, 4) und  (4, \infty) aufgeteilt.

 

Nimm die Werte -20, -10, 1 und  5, und setze sie in die Ungleichung ein

 

\begin{array}{l} x = -20 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-20)^2(-20-4)(-20+16)=400(-24)(-4)>0 \\\\ x = -10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-10)^2(-10-4)(-10+16)=100(-14)(6)<0 \\\\ x = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1)^2(1-4)(1+16)=(-3)(17) <0 \\\\ x = 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5^2(5-4)(-5+16)=25(11)>0 \end{array}

 

Quadratische Ungleichungen: geschlossenes Intervall

 

Da die quadratische Gleichung positiv ist, ist die Lösung die Vereinigung der Intervalle (-\infty,-16)\cup (4, \infty) und der kritischen Werte. Die Lösung lautet also S = (-\infty,-16] \cup \{0\} \cup [4, \infty)

 

6x^4-25x^2+144< 0

1 Bestimme die kritischen Werte der UngleichungSetze hierfür den Wert Null ein und faktorisiere

\begin{array}{rcl}x^4-25x^2+144 & = & 0 \\\\ (x^2)^2-25(x^2)+144 & = & 0 \\\\ (x^2-16)(x^2-9) & = & 0 \\\\ (x - 4)(x + 4)(x - 3)(x + 3) & = & 0 \end{array}

 

Die Gleichsetzung der Faktoren mit Null ergibt die Wurzeln x = \pm 4, \pm 3 .

 

2 Stelle die kritischen Werte auf der Zahlengeraden dar

 

Da die Wurzeln x = \pm 4, \pm 3, sind, teilt sich die Zahlengerade in die Intervalle (-\infty,-4),(-4,-3),(-3,3), (3,4) und  (4, \infty).

 

Nimm die Werte -5, -3.5, 0, 3.5 und  5, und setze sie in die Ungleichung ein

 

\begin{array}{l} x = -5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-1)(-9)(-2)(-8)>0 \\\\ x = -3.5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (0.5)(-7.5)(-0.5)(-6.5)<0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (4)(-4)(3)(-3)>0 \\\\ x = 3.5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-0.5)(7.5)(0.5)(6.5)<0 \\\\ x = 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1)(9)(2)(8)>0 \end{array}

 

Negative quadratische Ungleichung: offenes Intervall

 

Da die quadratische Gleichung negativ ist, ist die Lösung die Vereinigung der Intervalle S=(-4,-3)\cup (3,4).

 

7x^4-16x^2-225 \geq 0

1 Bestimme die kritischen Werte der UngleichungSetze hierfür den Wert Null ein und faktorisiere

\begin{array}{rcl}x^4-16x^2-225 & = & 0 \\\\ (x^2)^2-16(x^2)-225 & = & 0 \\\\ (x^2-25)(x^2+9) & = & 0 \\\\ (x-5)(x+5)(x^2+9) & = & 0 \end{array}

 

Da das Binom x^2 +9 für jeden Wert von x immer größer als Null ist, werden zur Berechnung der kritischen Werte nur lineare Binome berücksichtigt. Die gesuchten Wurzeln sind also x = \pm 5. Diese Wurzeln sind Lösungen (da beim Einsetzen der Ungleichung die Gleichheit erfüllt ist)

 

2 Stelle die kritischen Werte auf der Zahlengeraden dar

 

Da die Wurzeln x = \pm 5, sind, wird die Zahlengerade in die Intervalle (-\infty,-5),(-5, 5) y  (5, \infty) aufgeteilt.

 

Mit den Werten -10, 0 und  10,, setzt du die Ungleichung wie folgt um

 

\begin{array}{l} x = -10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-15)(-5)(109)\geq 0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-5)(5)(9)\leq 0 \\\\ x = 10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (15)(5)(109)\geq 0 \end{array}

 

Quadratische Gleichung positiv oder gleich Null: geschlossenes Intervall

 

Da die quadratische Gleichung positiv oder Null ist, ist die Lösung die Vereinigung der Intervalle und der kritischen Werte, d. h.  S = (-\infty,-5]\cup [5, \infty).

 

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Anna