Lineare Ungleichungen

 

Eine lineare Ungleichung ist eine Ungleichung, bei der die Potenz der Variablen eins ist.

 

Beispiele:

{x+2<6,\ \ } ist eine lineare Ungleichung.

 

{3(x-1)+2[2-x-3(x+2)]\ge 5(1-x)+3, \ \ } ist eine lineare Ungleichung.

 

{x+2<\displaystyle\frac{6}{x}, \ \ } ist keine lineare Ungleichung, weil die Variable im Nenner steht.

 

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Los geht's

Schrittweises Lösen einer linearen Ungleichung

 

Finde die Werte von {x}, die die Ungleichung erfüllen

 

{2-\left[-2(x+1)-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] \le \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x}

 

1 Entferne zuerst die Klammern und dann die eckigen Klammern

 

{\begin{array}{rcl}2-\left[-2(x+1)-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \\ && \\ 2-\left[-2x-2-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \\ && \\ 2+2x+2+\displaystyle\frac{x-3}{2} & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \end{array}}

 

2 Multipliziere beide Seiten der Ungleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der in der Ungleichung vorkommenden Nenner, um die Nenner zu eliminieren, d. h. mit {mcm(2,3,12)=12} und vereinfache alles

 

{\begin{array}{rcl}(12)\left(2+2x+2+\displaystyle\frac{x-3}{2}\right) & \le & (12)\left(\displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x\right) \\ && \\ (12)4+(12)2x+(12)\displaystyle\frac{x-3}{2} & \le & (12)\displaystyle\frac{2x}{3}-(12)\displaystyle\frac{5x-3}{12}+(12)3x \\ && \\ 48 + 24x + 6(x-3) & \le & 4(2x)-(5x-3)+36x \\ && \\ 48 + 24x +6x - 18 & \le & 8x - 5x + 3 + 36x \\ && \\ 30 + 30x & \le & 3 +39x \end{array}}

 

3 Eliminiere {x} auf der linken Seite der Ungleichung und die Konstanten auf der rechten Seite. Subtrahiere daher {30} und {39x} auf jeder Seite der Ungleichung und vereinfache wieder

 

{\begin{array}{rcl}30 + 30x-(30)-(39x) & \le & 3 +39x -(30)-(39x) \\ && \\ -9x & \le & -27 \end{array}}

 

4 Multipliziere beide Seiten der Ungleichung mit {-1/9}, um {x} zu eliminieren. Multiplizierst du beide Seiten mit einer negativen Zahl, so ändert sich der Sinn des Symbols der Ungleichung

 

{\begin{array}{rcl}\left(\displaystyle\frac{-1}{9}\right)(-9x) & \ge & \left(\displaystyle\frac{-1}{9}\right)(-27) \\ && \\ x & \ge & 3 \end{array}}

 

5 Du kannst die Lösung der Ungleichung auch in grafischer Form darstellen

 

Grafische Darstellung der Lösung einer linearen Ungleichung

6 Du kannst die Lösung der Ungleichung auch in Form eines Intervalls ausdrücken

 

{x \in [3, \infty)

 

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Anna