Name: Rationale &#038; quadratische Ungleichungen lösen
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Kapitel

Schritte zum Lösen von quadratischen Ungleichungen
Schritte zur Lösung rationaler Ungleichungen
Beispiel für eine gelöste Ungleichung

Schritte zum Lösen von quadratischen Ungleichungen

Merke dir als erstes bestimmte Eigenschaften von quadratischen Gleichungen, die mit der Art ihrer Lösungen zusammenhängen:

Du kannst schon im Vorhinein wissen, welche Art von Lösungen eine quadratische Gleichung haben wird

$\displaystyle ax^2+bx+c=0$

wenn du das Vorzeichen seiner Diskriminante kennst

$\displaystyle \bigtriangleup = b^2 -4ac$ .

wobei es drei mögliche Fälle gibt:

Wenn $\displaystyle \bigtriangleup > 0$ , dann gibt es zwei verschiedene reale Lösungen

Wenn $\displaystyle \bigtriangleup = 0$ , dann gibt es nur eine echte Lösung mit Zwei als Vielfachem

Wenn $\displaystyle \bigtriangleup < 0$ , dann gibt es keine echte Lösung

Diese Informationen sind nützlich, da sie es dir ermöglichen, ein sehr einfaches Verfahren zur Lösung von quadratischen Ungleichungen durchzuführen.

Es ist auch wichtig zu wissen, dass die Lösung der Ungleichung im Allgemeinen aus den folgenden Schritten besteht:

Finde die Lösungen der Gleichung

Lokalisiere sie auf der Zahlengeraden und identifiziere die erzeugten Abschnitte

Schaue dir das Vorzeichen des Polynoms in jedem der erzeugten Abschnitte an

Suche die Lösung der Ungleichung

Und wenn die Gleichung keine reelle Lösung hat, wird sie nicht in die reelle Linie geschnitten, sondern es wird auch nach dem Vorzeichen des Polynoms gesucht, und das Verfahren ist analog.

Je nach Vorzeichen der Diskriminante wird dann ein bestimmtes Verfahren angewandt, das in drei Fälle unterteilt wird.

Erster Fall: $\displaystyle \bigtriangleup > 0$

Löse die Ungleichung: $\displaystyle x^2-6x+8 > 0$

Zuerst musst du das Vorzeichen der Diskriminante kennen

$\displaystyle \bigtriangleup = (-6)^2-4(1)(8)=36-32=4 > 0$

Dies bedeutet, dass es zwei verschiedene reelle Lösungen der Gleichung (oder Wurzeln des Polynoms) gibt, und so geht es weiter:

1 Finde die Lösungen der Gleichung

Setze das Polynom $\displaystyle x^2-6x+8=0$ mit Null gleich

Faktorisiere $\displaystyle (x-4)(x-2)=0$

Die Lösungen lauten daher: $\displaystyle x_1=2$ y $\displaystyle x_2=4$

Du merkst, dass die Lösungen verschiedene reelle Wurzeln sind, weil die Diskriminante größer als Null ist.

2 Lokalisiere sie auf der Zahlengeraden und identifiziere die erzeugten Abschnitte.

Lege zunächst die erhaltenen Werte auf den Zahlengeraden fest und zeichne zwei leere Kreise darüber. So kannst du geometrisch darstellen, dass die Gleichheit mit Null in der Ungleichung nicht erlaubt ist, und du merkst auch, dass drei Bereiche entstehen

Lösungsmenge von Ungleichungen: Intervalle 2 und 4

Der Grund dafür ist der folgende:

Wenn $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ , dann ergibt das Polynom, das an den Lösungen bewertet wird, Null

$\displaystyle p(2)=2^2-6(2)+8=4-12+8=0$

$\displaystyle p(4)=4^2-6(4)+8=16-24+8=0$

und andererseits lässt die Ungleichung $\displaystyle x^2-6x+8>0$ die streng größer als Null ist, keine $x$ ]-Werte zu, die bei der Auswertung im Polynom eine Null ergeben. In diesem Fall sind es genau $x_1=2$ y $x_2=4$ .

Aus diesem Grund werden die leeren Kreise gezeichnet, um die Werte, die die Ungleichung nicht zulässt, zu entfernen und sie nur als Referenz zu nehmen.

Andernfalls, wenn die Ungleichung mit Null akzeptiert wird, werden gefüllte Kreise platziert.

3 Schaue dir das Vorzeichen des Polynoms in jedem der erzeugten Abschnitte an. Wie du im vorigen Schritt gesehen hast, wurden drei Abschnitte erzeugt. Wähle also für jeden von ihnen einen ihrer Werte aus und werte ihn im Polynom aus, um sein Vorzeichen zu erfahren:

Für $\displaystyle (-\infty,2)$ , kannst du $\displaystyle x=0$ wählen und es im Polynom $\displaystyle p(0)=8$ , auswerten, was einen negativen Wert ergibt.

Para $\displaystyle (2,4)$ , podemos seleccionar $\displaystyle x=3$ y evaluarlo en el polinomio $\displaystyle p(3)=3^2-6(3)+8=9-18+8=-1$ , resultando un valor negativo.

Für $\displaystyle (4,\infty)$ , kannst du $\displaystyle x=5$ wählen und es im Polynom $\displaystyle p(5)=5^2-6(5)+8=25-30+8=3$ , auswerten, was einen positiven Wert ergibt.

Dies bedeutet, dass

Für jedes Element $\displaystyle x \in (-\infty,2)$ , hat das Polynom $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ immer positive Werte

Für jedes Element $\displaystyle x \in (2,4)$ , hat das Polynom $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ immer negative Werte

Für jedes Element $\displaystyle x \in (4,\infty)$ , hat das Polynom $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ immer positive Werte

Representación gráfica de intervalos infinto 2 4

4 Finde die Lösung der Ungleichung

Mit den Informationen, die du bisher gewonnen hast, kannst du nun die Lösung der Ungleichung finden

$\displaystyle x^2-6x+8 > 0$

d. h. Werte innerhalb der Zahlengeraden, die, wenn sie im Polynom $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ ausgewertet werden, ein positives Endergebnis ergeben müssen, das auch nicht Null ist. Dann brauchst du nur noch die Bereiche zu suchen, die die Bedingung erfüllen

Mit anderen Worten, die Lösung lautet:

$\displaystyle x \in (-\infty,2) \cup (4,\infty)$

Mögliche Varianten

1 Wenn die Gleichung $\displaystyle x^2-6x+8 \geq 0$ , lautete, würden Werte zugelassen werden, die bei der Auswertung im Polynom das Ergebnis Null sind, weshalb du zwei und vier einbeziehst, dann wäre die Lösung:

$\displaystyle x \in (-\infty,2] \cup [4,\infty)$

2 Wenn die Gleichung $\displaystyle x^2-6x+8 < 0$ wäre, würde die Lösung lauten:

$\displaystyle x \in (2,4)$

3 Wäre die Gleichung $\displaystyle x^2-6x+8 \leq 0$ , wäre die Lösung:

$\displaystyle x \in [2,4]$

Zweiter Fall: $\displaystyle \bigtriangleup = 0$

Löse die Ungleichung: $\displaystyle x^2+2x+1 \geq 0$

Nun musst du das Vorzeichen der Diskriminante kennen

$\displaystyle \bigtriangleup = (2)^2-4(1)(1)=4-4=0$

bedeutet, dass es nur eine wirkliche Lösung gibt, also macht du weiter:

1 Finde die Lösung der Gleichung

$\displaystyle x^2+2x+1=0$

Wenn du $\displaystyle (x+1)^2=0$ , faktorisierst, stellst du fest, dass die Lösung $\displaystyle x=-1$ ist

2 Lokalisiere sie auf der Zahlengeraden und identifiziere die erzeugten Abschnitte

Da du bereits eine Lösung hast, werden in diesem Fall zwei Abschnitte auf der Zahlengeraden erzeugt

$\displaystyle (-\infty,-1)$ y $\displaystyle (-1,\infty)$

3 Schaue dir das Vorzeichen des Polynoms in jedem der erzeugten Abschnitte an

In diesem Fall genügt es, das Vorzeichen des Polynoms $\displaystyle p(x)=x^2+2x+1$ an einem der Punkte in einem der beiden Abschnitte zu kennen, da es für beide das gleiche Ergebnis ist.

Wenn $\displaystyle x=0$ dann $\displaystyle p(0)=0^2+2(0)+1=1$ , was ein positives Ergebnis ist:

Wenn $\displaystyle x \in (-\infty,-1) \cup (-1,\infty)$ dann $\displaystyle p(x)>0$

Wenn $\displaystyle x=-1$ , dann $\displaystyle p(x)=0$

4 Finde die Lösung der Ungleichung

Wie du dich erinnerst, ist die Ungleichung

$\displaystyle x^2+2x+1 \geq 0$

als Lösung Werte der reellen Linie $\displaystyle x$ hat, so dass bei der Auswertung des Polynoms $\displaystyle p(x)=x^2+2x+1$ das Endergebnis eine Zahl größer oder gleich Null ist, bedeutet dies, dass unsere Lösung aufgrund der erhaltenen Informationen

$\displaystyle x \in (-\infty,-1) \cup \left \{ -1 \right \} \cup (-1,\infty) = \mathbb{R}$

Mögliche Varianten

Ungleichung	Faktorisierung	Lösung
$\displaystyle x^2+2x+1 \geq 0$	$\displaystyle (x+1)^2 \geq 0$	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle x^2+2x+1 > 0$	$\displaystyle (x+1)^2 > 0$	$\displaystyle \mathbb{R}-\left \{ -1\right \}$
$\displaystyle x^2+2x+1 \leq 0$	$\displaystyle (x+1)^2 \leq 0$	$\displaystyle x=-1$
$\displaystyle x^2+2x+1 < 0$	$\displaystyle (x+1)^2 < 0$	$\displaystyle \varnothing$

Dritter Fall: $\displaystyle \bigtriangleup < 0$

Löse die Ungleichung: $\displaystyle x^2+ x + 1 > 0$

Nun musst du das Vorzeichen der Diskriminante kennen

$\displaystyle \bigtriangleup = (1)^2-4(1)(1)=1-4=-3$

Dies bedeutet, dass es keine wirkliche Lösung gibt, d. h., dass jetzt keine Abschnitte erzeugt werden, und dann machst du weiter:

1 Wähle einen beliebigen reellen Wert und werte ihn im Polynom aus, um das Vorzeichen zu erfahren.

Wähle $\displaystyle x=0$ und werte es im Polynom aus

$\displaystyle p(x)=x^2+ x + 1$

daraus ergibt sich $\displaystyle p(0)=0^2+ 0 + 1=1$ , was ein positiver Wert ist.

Daraus ergibt sich, dass für alle $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ das Polynom $\displaystyle p(x)=x^2+ x + 1$ immer positiv ist.

2 Finde die Lösung der Ungleichung

Da du nach der Lösung der Ungleichung $\displaystyle x^2+ x + 1 > 0$ suchst und bereits weißt, dass jede reelle Zahl $\displaystyle x$ , die zur Berechnung von $\displaystyle x^2+ x + 1$ verwendet wird, immer eine positive Zahl ergibt, ist jede reelle Zahl eine Lösung der Ungleichung.

Wenn in diesem Fall die Ungleichung $\displaystyle x^2+ x + 1 < 0$ wäre, dann ist die Lösung ungültig, da es keine reelle Zahl $\displaystyle x$ gibt, die bei der Berechnung von $\displaystyle x^2+ x + 1$ nichts negatives ergeben würde. Dies wird aber in der Ungleichung verlangt.

Mögliche Varianten

	Lösung
$\displaystyle x^2+ x + 1 > 0$	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle x^2+ x + 1 \geq 0$	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle x^2+ x + 1 \leq 0$	$\displaystyle \varnothing$
$\displaystyle x^2+ x + 1 < 0$	$\displaystyle \varnothing$

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Wie löst man quadratische & rationale Ungleichungen?

Schritte zum Lösen von quadratischen Ungleichungen

Erster Fall:

Mögliche Varianten

Zweiter Fall:

Mögliche Varianten

Dritter Fall:

Mögliche Varianten

Schritte zur Lösung rationaler Ungleichungen

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Erster Fall: $\displaystyle \bigtriangleup > 0$

Zweiter Fall: $\displaystyle \bigtriangleup = 0$

Dritter Fall: $\displaystyle \bigtriangleup < 0$