Löse die folgenden Ungleichungen

1 $x^2 - 6x + 8 > 0$

1 Wir ersetzen die Ungleichung durch eine Gleichung und faktorisieren sie. Dadurch erhalten wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

$\begin{array}{rcl}x^2 - 6x + 8 & = & 0 \\\\ (x - 2)(x - 4) & = & 0 \end{array}$

Setzen wir die Faktoren gleich Null, erhalten wir die Wurzeln $x = 2$ y $x = 4$

2 Die Wurzeln unterteilen die reelle Gerade in drei Intervalle: $(-\infty, 2), \ (2, 4), \ (4, \infty)$

Die Extrempunkte sind außerhalb der Intervalle, weil sie nicht zur Lösung gehören, da diese nicht größer als oder gleich ist

Eingrenzung möglicher Werte. 2

3Wir nehmen die jeweiligen Intervalle und setzen sie in die Ungleichung ein

$\begin{array}{l} 0 \in (-\infty, 2) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 > 0 \\\\ 3 \in (2, 4) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 17 - 18 < 0 \\\\ 5 \in (4, \infty) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 33 - 30 > 0 \end{array}$

Intervall der Ungleichung.

4 Die Lösung besteht aus den Intervallen (oder dem Intervall), die das gleiche Vorzeichen wie das Polynom haben.

Die Intervalle sind offen, weil 2 und 4 nicht in der Lösung enthalten sind.

Die Lösung lautet also $S = (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$

2 $x^2 + 2x +1 \geq 0$

1 Wir ersetzen die Ungleichung durch eine Gleichung und faktorisieren sie. Dadurch erhalten wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

$\begin{array}{rcl}x^2 + 2x +1 & = & 0 \\\\ (x + 1)^2 & = & 0 \end{array}$

Setzen wir die Faktoren gleich Null, erhalten wir die Wurzel $x = -1$

2 Da eine quadratische Zahl immer positiv ist, lautet die Lösung $\mathbb{R}$

3 $x^2 + x +1 > 0$

1 Wir ersetzen die Ungleichung durch eine Gleichung und lösen sie

$x^2 + x +1 = 0$

Das Polynom kann nicht mit elementaren Methoden faktorisiert werden. Daher untersuchen wir seine Diskriminante

$\Delta = 1^2 - 4(1)(1) < 0$

Da die Diskriminante negativ ist, hat sie keine reelle Wurzel. Wir geben dem Polynom einen beliebigen Wert. Zum Beispiel $x = 0$

$0^2 + 0 +1 > 0$

2 Da die Ungleichung erfüllt ist, lautet die Lösung $\mathbb{R}$

4 $7x^2 + 21x - 28 < 0$

1 Wir ersetzen die Ungleichung durch eine Gleichung, faktorisieren sie und erhalten die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

$\begin{array}{rcl}7x^2 + 21x - 28 & = & 0 \\\\ 7(x^2 + 3x - 4) & = & 0 \\\\ 7(x + 4)(x - 1) & = & 0 \end{array}$

Setzen wir die Faktoren gleich Null, erhalten wir die Wurzeln $x = -4$ und $x = 1$

2 Die Wurzeln unterteilen die reelle Gerade in drei Intervalle: $(-\infty, -4), \ (-4, 1), \ (1, \infty)$

Die Wurzeln gehören nicht zur Lösung, da diese nicht kleiner als oder gleich ist.

3Wir nehmen jedes Intervall und setzen es in die Ungleichung ein

$\begin{array}{l} -6 \in (-\infty, -4) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 4 > 0 \\\\ 0 \in (-4, 1) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0^2 + 3 \cdot 0 - 4 < 0 \\\\ 3 \in (1, \infty) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3^2 + 3 \cdot 3 - 4 > 0 \end{array}$

4 Die Lösung setzt sich aus den Intervallen (oder dem Intervall) zusammen,
die das gleiche Vorzeichen wie das Polynom haben.

Die Intervalle sind offen, weil -4 und 1 nicht in der Lösung enthalten sind.

Die Lösung ist also $S = (-4, 1)$

5 $-x^2 + 4x - 7 < 0$

1 Wir ersetzen die Ungleichung durch eine Gleichung und lösen sie

$-x^2 + 4x - 7 = 0$

Das Polynom kann nicht mit elementaren Methoden faktorisiert werden, daher untersuchen wir seine Diskriminante

$\Delta = 4^2 - 4(-7)(-7) < 0$

Da die Diskriminante negativ ist, hat sie keine reellen Wurzeln. Wir geben dem Polynom einen beliebigen Wert. Zum Beispiel $x = 0$

$-0^2 + 4 \cdot 0 - 7 < 0$

2 Da die Ungleichung erfüllt ist, lautet die Lösung $\mathbb{R}$

Wäre die Ungleichung nicht erfüllt, hätte sie keine Lösung.

6 $4x^2-16\geq 0$

1 Wir bestimmen die kritischen Werte der Ungleichung

Hierfür ersetzen wir die Ungleichung mit einer Gleichung und faktorisieren

$\begin{array}{rcl}4x^2-16 & = & 0 \\\\ 4(x^2-4) & = & 0 \\\\ 4(x-2)(x+2) & = & 0 \end{array}$

Setzen wir den Faktor mit Null gleich, erhalten wir die Wurzeln $x =-2, \qquad x =2$ . Diese Wurzeln sind Lösungen. Denn durch ihren Einsatz in der Ungleichung erfüllen sie die Gleichung

2 Wir stellen die kritischen Werte auf der Zahlengerade dar

Da die Wurzeln $x_1=2$ y $x_2=-2$ sind, wird die reelle Linie in die Intervalle $(-\infty,-2), (-2,2)$ und $(2, \infty)$ eingeteilt

3 Wir nehmen die Werte $-3, 0$ und $3$ und setzen sie in die Ungleichung ein

$\begin{array}{l} x = -3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(-3+2)(-3-2)=20>0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(2)(-2)=-16<0 \\\\ x = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(3+2)(3-2)=20>0 \end{array}$

4Da der quadratische Ausdruck negativ ist, ist die Lösung die Summe der Intervalle: $S = (-\infty, -2]\cup [2,\infty).$

7 $4x^2-4x+1 \leq0$

1 Wir bestimmen die kritischen Werte der Ungleichung

Hierfür ersetzen wir die Ungleichung mit einer Gleichung und faktorisieren

$\begin{array}{rcl} 4x^2-4x+1 & = & 0 \\\\ 4\left (x^2-x+\dfrac{1}{4}\right ) & = & 0 \\\\ 4\left(x^2+2\left (- \dfrac{1}{2}x\right ) + \left(- \dfrac{1}{2} \right)^2 \right) & = & 0 \\\\ 4\left ( x-\dfrac{1}{2} \right)^2 & = & 0 \end{array}$

Setzen wir den Faktor mit Null gleich, erhalten wir die Wurzel $x = \cfrac{1}{2}$

2 Da das Binomialquadrat negativ ist und das Vorzeichen kleiner als oder gleich ist, hat die Ungleichung nur eine Lösung: $x=\cfrac{1}{2}.$

8 $x^4+12x^3-64x^2 \geq 0$

1 Wir bestimmen die kritischen Werte der Ungleichung

Hierfür tauschen wir die Ungleichung in eine Gleichung und faktorisieren

$\begin{array}{rcl}x^4+12x^3-64x^2 & = & 0 \\\\ x^2 (x^2+12x -64) & = & 0 \\\\ x^2(x-4)(x+16) & = & 0 \end{array}$

Durch das Gleichsetzen der Faktoren mit Null erhalten wir die Wurzeln $x = -16, 0, 4$ . Diese Wurzeln sind Lösungen. Denn durch ihren Einsatz in der Ungleichung erfüllen sie die Gleichung

2 Wir stellen die kritischen Werte auf der Zahlengerade dar

Da die Wurzeln $x=4, \ x = 0$ und $x=-16$ sind, wird die reelle Linie in die Intervalle $(-\infty,-16), \ (-16,0), \ (0, 4)$ und $(4, \infty)$ eingeteilt

3Wir nehmen die Werte $-20, -10, 1$ und $5$ und setzen sie in die Ungleichung ein

$\begin{array}{l} x = -20 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-20)^2(-20-4)(-20+16)=400(-24)(-4)>0 \\\\ x = -10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-10)^2(-10-4)(-10+16)=100(-14)(6)<0 \\\\ x = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1)^2(1-4)(1+16)=(-3)(17) <0 \\\\ x = 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5^2(5-4)(-5+16)=25(11)>0 \end{array}$

Geschlossenes Intervall 2

4 Da der quadratische Ausdruck positiv oder Null ist, ist die Lösung die Summe der Intervalle $(-\infty,-16)\cup (4, \infty)$ und der kritischen Werte. Die Lösung ist also $S = (-\infty,-16] \cup \{0\} \cup [4, \infty)$

9 $x^4-25x^2+144< 0$

1 Wir bestimmen die kritischen Werte der Ungleichung

Hierfür tauschen wir die Ungleichung in eine Gleichung und faktorisieren

$\begin{array}{rcl}x^4-25x^2+144 & = & 0 \\\\ (x^2)^2-25(x^2)+144 & = & 0 \\\\ (x^2-16)(x^2-9) & = & 0 \\\\ (x - 4)(x + 4)(x - 3)(x + 3) & = & 0 \end{array}$

Durch das Gleichsetzen der Faktoren mit Null erhalten wir die Wurzeln $x = \pm 4, \pm 3$ .

2 Wir stellen die kritischen Werte auf der Zahlengerade dar

Da die Wurzeln $x = \pm 4, \pm 3$ sind, wird die reelle Gerade in die Intervalle $(-\infty,-4),(-4,-3),(-3,3), (3,4)$ und $(4, \infty).$

3 Wir nehmen die Werte $-5, -3.5, 0, 3.5$ und $5$ und setzen sie in die Ungleichung ein

$\begin{array}{l} x = -5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-1)(-9)(-2)(-8)>0 \\\\ x = -3.5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (0.5)(-7.5)(-0.5)(-6.5)<0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (4)(-4)(3)(-3)>0 \\\\ x = 3.5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-0.5)(7.5)(0.5)(6.5)<0 \\\\ x = 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1)(9)(2)(8)>0 \end{array}$

4 Da der quadratische Ausdruck negativ ist, ist die Lösung die Summe der Intervalle $S=(-4,-3)\cup (3,4).$

10 $x^4-16x^2-225 \geq 0$

1 Wir bestimmen die kritischen Werte der Ungleichung

Hierfür tauschen wir die Ungleichung in eine Gleichung und faktorisieren

$\begin{array}{rcl}x^4-16x^2-225 & = & 0 \\\\ (x^2)^2-16(x^2)-225 & = & 0 \\\\ (x^2-25)(x^2+9) & = & 0 \\\\ (x-5)(x+5)(x^2+9) & = & 0 \end{array}$

Da das Binom $x^2 +9$ für jeden Wert von $x$ immer größer als Null ist, werden zur Berechnung der kritischen Werte nur lineare Binome berücksichtigt. Die gesuchten Wurzeln sind also $x = \pm 5$ . Diese Wurzeln sind Lösungen. Denn durch ihren Einsatz in der Ungleichung erfüllen sie die Gleichung.

2 Wir stellen die kritischen Werte auf der Zahlengerade dar

Da die Wurzeln $x = \pm 5$ sind, wird die reelle Linie in die Intervalle $(-\infty,-5),(-5, 5)$ und $(5, \infty)$ eingeteilt

3 Wir nehmen die Werte $-10, 0$ und $10$ und setzen sie in die Ungleichung ein

$\begin{array}{l} x = -10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-15)(-5)(109)\geq 0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-5)(5)(9)\leq 0 \\\\ x = 10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (15)(5)(109)\geq 0 \end{array}$

4 Da der quadratische Ausdruck positiv oder Null ist, ist die Lösung die Summe der Intervalle und der kritischen Werte, d.h. $S = (-\infty,-5]\cup [5, \infty).$

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