Bei der Untersuchung der analytischen Geometrie spielen Verschiebungen in der Ebene eine grundlegende Rolle. Diese Art der geometrischen Transformation ermöglicht es, Figuren oder Punkte von einer Position zu einer anderen zu bewegen, wobei ihre Form, Größe und Ausrichtung erhalten bleiben. Bei einer Verschiebung bewegt sich jeder Punkt der Figur in dieselbe Richtung und um denselben Betrag, der durch einen Verschiebungsvektor definiert ist.
In diesem Artikel stellen wir eine Reihe von Übungen zu Verschiebungen in der kartesischen Ebene vor. Anhand dieser Beispiele kann man besser verstehen, wie Verschiebungen auf verschiedene geometrische Elemente, wie Punkte, Segmente, Vielecke und komplexe Figuren, angewendet werden. Darüber hinaus wird jede Übung von einer detaillierten Erklärung begleitet, um das Verständnis zu erleichtern und die theoretischen Konzepte zu festigen.
Verschiebung in der Ebene
Eine Verschiebung in der Ebene ist durch den Vektor 
gegeben. Ermittle die Abbildung durch die Verschiebung eines Punktes 
Wir denken daran, dass die Verschiebung um den Vektor gegeben ist durch
wobei 
. Daher lautet die Abbildung des Vektors von 
bei einer solchen Verschiebung
Eine Verschiebung in der Ebene ist durch den Vektor 
gegeben. Ermittle die Abbildung eines Punktes 
durch diese Verschiebung.
Wir denken daran, dass die Verschiebung um den Vektor gegeben ist durch
wobei . Daher ist die Abbildung des Vektors von durch eine solche Verschiebung
Die Abbildung durch Verschiebung eines Vektors 
des Punkts 
ist 
Ermittle den Verschiebungsvektor.
Wir denken daran, dass die Verschiebung um den Vektor 
gegeben ist durch
wobei . Somit lautet die Abbildung dieser Verschiebung des Vektors 
am Punkt
Wir setzen die Koordinaten gleich und erhalten
Die Abbildung durch Verschiebung eines Vektors des Punktes 
ist 
Ermittle den Verschiebungsvektor.
Wir denken daran, dass die Verschiebung um den Vektor gegeben ist durch
wobei . Somit lautet die Abbildung durch diese Verschiebung des Vektors am Punkt
Wir setzen die Koordinaten gleich und erhalten
Die Abbildung durch Verschiebung eines Vektors des Punktes 
ist 
Ermittle den Verschiebungsvektor.
Wir denken daran, dass die Verschiebung um den Vektor gegeben ist durch
wobei . Somit ist die Abbildung dieser Verschiebung des Vektors im Punkt , es
Wir setzen die Koordinaten gleich und erhalten
Verschiebung von Kreisen
Eine Verschiebung in der Ebene ist durch den Vektor definiert.
a Ermittle die Abbildung durch diese Verschiebung eines Punktes 
b Ermittle die Verschiebung eines Kreises mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
Um den Teil a zu lösen, können wir genauso vorgehen, wie in Aufgabe 1. In diesem Fall ist die durch definierte Verschiebung
wobei 
.
Daraus folgt, dass die Abbildung des Punktes 
bei dieser Verschiebung wie folgt lautet
wie die Figur zeigt.
Um den Abschnittb zu lösen, müssen wir die Verschiebung des Mittelpunktes des Kreises um den Vektor durchführen. Die gesuchte Verschiebung ist dann der Kreis mit dem Mittelpunkt in der Verschiebung und dem Radius 1, also dem gleichen Radius wie der ursprüngliche Kreis.
Wir erhalten die Verschiebung des Mittelpunktes:
Wie bereits erwähnt, ist die Verschiebung des Kreises mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
der Kreis mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
wie in der Abbildung dargestellt.
Bei einer Verschiebung mittels des Vektors wird ein Punkt 
in einen Punkt 
umgewandelt. Berechne:
aDie Verschiebung des Punktes 
bDie Verschiebung eines Kreises mit Mittelpunkt 
und Radius 
Für den Abschnitt a ermitteln wir den 1. Vektor . Dies können wir
wie folgt tun: Die Verschiebung um des Punktes ist gleich , somit
Diese Gleichung sagt uns, dass 
und 
.
Wir ermitteln 
und 
. Es gilt 
sowie 
und somit 
.
Schließlich ist die Verschiebung von 
in Bezug auf
Wir stellen fest, dass wir dieses Ergebnis in der Abbildung sehen.
Um b zu lösen, müssen wir zunächst den Mittelpunkt 
verschieben
Die Verschiebung eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius 
ist also ein Kreis mit Mittelpunkt 
und Radius 
Eine Verschiebung in der Ebene ist durch den Vektor 
definiert. Ermittle die Verschiebung des Kreises 
Zunächst stellen wir fest, dass der Mittelpunkt des Kreises 
ist. Wir müssen die Verschiebung des Mittelpunkts finden:
Somit ist die Verschiebung eines Kreises und dem Radius ein Kreis mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
Eine Verschiebung in der Ebene ist durch den Vektor 
gegeben. Ermittle die Verschiebung des Kreises 
Zunächst sehen wir, dass der Mittelpunkt des Kreises 
und der Radius 
ist. Nun müssen wir die Verschiebung des Mittelpunktes ermitteln:
Somit ist die Verschiebung eines Kreises und dem Radius ein Kreis mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
Eine Verschiebung in der Ebene ist durch einen Vektor 
definiert. Ermittle die Verschiebung des Kreises 
Zunächst stellen wir fest, dass der Mittelpunkt des Kreises und der Radius ist. Nun müssen wir die Verschiebung des Mittelpunktes ermitteln:
Somit ist die Verschiebung eines Kreises und dem Radius 
ein Kreis mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius
Verschiebung von Dreicken
Eine Verschiebung hat den Vektor 
Ermittle die Verschiebung der Figur eines Dreiecks, dessen Eckpunkte wie folgt sind: 
, 
und 
Die Verschiebung eines Dreiecks mit den Eckpunkten , und 
ist das Dreieck mit den Eckpunkten 
, 
und 
, wobei die Verschiebung von 
, die Verschiebung von 
und die Verschiebung von 
ist. Für alle Verschiebungen gilt der Vektor
Wir können nun die Verschiebungen berechnen.
Wie wir in der Abbildung sehen können, sind die Eckpunkte des gesuchten Dreiecks 
.
Eine Verschiebung hat den Vektor 
Ermittle die Verschiebung der Figur eines Dreiecks mit den Eckpunkten: , 
und 
Die Verschiebung eines Dreiecks mit den Eckpunkten , und 
ist ein Dreieck mit den Eckpunkten , und , wobei die Verschiebung von , die Verschiebung von und die Verschiebung von ist. Für alle Verschiebungen gilt der Vektor
Wir können nun die Verschiebungen berechnen.
Wie wir in der Abbildung sehen können, hat das gesuchte Dreieck die Eckpunkte 
Die Abbildungen durch Verschiebung eines Vektors der Eckpunkte 
eines Dreiecks sind 
Ermittle den Verschiebungsvektor.
Die Verschiebung durch den Vektor ist gegeben durch
wobei . Da die Verschiebung der Eckpunkte gleich ist, betrachten wir nur die Abbildung durch diese Verschiebung des Vektors im Punkt 
, es
Wir setzen die Koordinaten gleich und erhalten
Ein Dreieck hat die Eckpunkte 
. Es wird eine Verschiebung durch den Vektor 
durchgeführt. Ermittle die verschobenen Eckpunkte.
Wir berechnen die Verschiebungen.
Somit hat das gesuchte Dreieck die Eckpunkte 
Ein Dreieck hat die Eckpunkte 
. Es wird eine Verschiebung durch den Vektor 
durchgeführt. Berechne die verschobenen Eckpunkte.
Wir berechnen die Verschiebungen.
Somit hat das gesuchte Dreieck die Eckpunkte 
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