Name: Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit &#8211; Basis
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Kapitel

Linearkombination
Linear abhängige Vektoren
Linear unabhängige Vektoren
Basis

Linearkombination

Eine Linearkombination zweier Vektoren ist der Vektor, den man erhält, wenn man diese Vektoren mit einem Skalar multipliziert und dann addiert.

${\vec{v}=a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+\cdots +a_{n}\vec{v}_{n}}$

Jeder Vektor kann als Linearkombination von anderen Vektoren mit unterschiedlichen Richtungen dargestellt werden.

${\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}}$

Diese Linearkombination ist eindeutig bestimmt.

Grafische Darstellung der Linearkombination von Vektoren

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Los geht's

Linear abhängige Vektoren

Mehrere freie Vektoren in der Ebene gelten als linear abhängig, wenn es eine Linearkombination von ihnen gibt, die gleich dem Nullvektor ist, ohne dass alle Koeffizienten der Linearkombination gleich null sind.

${a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+\cdots +a_{n}\vec{v}_{n}=\vec{0}}$

Eigenschaften

1 Wenn mehrere Vektoren linear abhängig sind, kann mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden.

${a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+\cdots +a_{n}\vec{v}_{n}=\vec{0} \ \ \Longrightarrow \ \ \vec{v}_{1}=-\displaystyle\frac{a_{2}}{a_{1}}\vec{v}_{2}-\cdots -\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{1}}\vec{v}_{n}}$

Auch der Umkehrschluss gilt: Wenn ein Vektor eine Linearkombination anderer Vektoren ist, dann sind alle Vektoren linear abhängig.

2 Zwei Vektoren der Ebene sind nur dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.

3 Zwei freie Vektoren der Ebene ${\vec{u}=(u_{1},u_{2}), \, \vec{v}=(v_{1},v_{2})}$ sind linear abhängig, wenn ihre Komponenten proportional sind.

$\frac{v_{1}}{u_{1}}=\frac{v_{2}}{u_{2}}=k$

4 ${n}$ Vektoren des ${\mathbb{R}^{n}}$ sind linear abhängig, wenn die Determinante null ist.

Beispiel:

Bestimme die Werte für ${k}$ so, dass die Vektoren ${\vec{u}=(3, k, -6), \, \vec{v}=(-2, 1, k+3), \, \vec{w}=(1, k+2, 4)}$ linear abhängig sind. Schreibe ${\vec{u}}$ als Linearkombination von ${\vec{v}}$ und ${\vec{w}}$ , wobei ${k}$ der berechnete Wert ist.

Die Vektoren sind linear abhängig, wenn die Determinante der Matrix, die sie bilden, null ist. Der Rang der Matrix ist also kleiner als 3.

1Wir berechnen die Determinante

${\left|\begin{array}{ccc} 3 & k & -6 \\ -2 & 1 & k+3 \\ 1 & k+2 & 4 \end{array}\right| = k^{2}-4k-12}$

2Wir setzen die Determinante gleich null

${k^{2}-4k-12=0}$

3Wir lösen die Gleichung und erhalten

${k=-2, \ \ k=6}$

4Für ${k=-2}$ sind die Vektoren somit ${\vec{u}=(3, -2, -6), \, \vec{v}=(-2, 1, 1), \, \vec{w}=(1, 0, 4)}$ . Wir schreiben ${\vec{u}}$ in Bezug auf ${\vec{v}}$ und ${\vec{w}}$

${(3, -2, -6)=a(-2, 1, 1)+b(1, 0, 4)}$

5Wir berechnen die Werte für die Skalare ${a,b}$

${\begin{array}{rcl} (3, -2, -6)&=&a(-2, 1, 1)+b(1, 0, 4) \\ && \\ &=& (-2a+b, a, a+4b) \end{array}}$

6Wenn wir die Koordinaten der linken Seite mit denen der rechten Seite gleichsetzen und die Gleichungen lösen, erhalten wir ${a=-2, \ \ b=-1}$

7Somit ist die gesuchte Linearkombination

${\vec{u}=-2\vec{v}-\vec{w}}$

8Wir wiederholen die Schritte 4, 5, 6 und 7 für ${k=6}$

Linear unabhängige Vektoren

Mehrere freie Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner von ihnen als Linearkombination der übrigen geschrieben werden kann, sodass, wenn die Linearkombination gleich null ist, auch jeder ihrer Koeffizienten gleich null ist.

${a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+\cdots +a_{n}\vec{v}_{n}=\vec{0} \ \ \Longrightarrow \ \ a_{1}=a_{2}= \cdots =a_{n}=0}$

Die linear unabhängigen Vektoren haben eine unterschiedliche Richtung und ihre Komponenten sind nicht proportional.

${n}$ Vektoren des ${\mathbb{R}^{n}}$ sind linear unabhängig, wenn die Determinante ungleich null ist.

Beispiel:

Untersuche, ob die Vektoren ${\vec{u}=(2, 3, 1), \, \vec{v}=(1, 0, 1), \, \vec{w}=(0, 3, -1)}$ linear abhängig oder unabhängig sind.

1Wir berechnen die Determinante der Vektoren

${\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{array}\right| = 0}$

2Da die Determinante null ist, schließen wir daraus, dass die Vektoren linear abhängig sind

Basis

Drei Vektoren ${\vec{u}, \, \vec{v} \, \vec{w}}$ mit unterschiedlicher Richtung bilden eine Basis, da jeder Vektor ${\vec{A}}$ des Vektorraums, als Linearkombination von ihnen dargestellt werden kann

${\vec{A}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}}$

Die Koordinaten des Vektors in Bezug auf die Basis sind:

${\vec{A}=(a, b, c)}$

Orthogonalbasis

Eine Basis ist orthogonal, wenn die Vektoren der Basis zueinander senkrecht sind.

Orthonormalbasis

Eine Basis ist orthonormal, wenn die Vektoren der Basis zueinander senkrecht sind und ihr Betrag 1 ist.

Die Basis, die die Vektoren ${\hat{i}=(1,0,0), \, \hat{j}=(0,1,0), \, \hat{k}=(0,0,1)}$ bilden, wird Standardbasis genannt.

Beispiel:

Für welche Werte von ${a}$ bilden die Vektoren ${\vec{u}=(1, 1, 1), \, \vec{v}=(1, a, 1), \, \vec{w}=(1, 1, a)}$ eine Basis?

1Wir berechnen die Determinante der Vektoren

${\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right| = a^{2}-2a+1}$

2Die Determinante ist null für ${a=1}$ . Die Vektoren sind also linear abhängig und bilden keine Basis, wenn ${a=1}$ .

3Die Determinante ist ungleich null für ${a\neq 1}$ . Die Vektoren sind also linear unabhängig und bilden eine Basis, wenn ${a\neq 1}$ .

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. Basis.

Linearkombination