Kreuzprodukt/Vektorprodukt | Superprof

Kapitel

Definition
Fläche des Parallelogramms
Fläche eines Dreiecks
Eigenschaften des Vektorprodukts

Definition

Das Vektorprodukt $\textbf{u}\times \textbf{v}$ aus zwei Vektoren ist ein weiterer Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung zu den zwei Vektoren verläuft. Seine Orientierung kann mit einem Korkenzieher verglichen werden, der von $\textbf{u}$ nach $\textbf{v}$ gedreht wird. Sein Betrag entspricht:

$|\textbf{u}\times \textbf{v}|=|\textbf{u}|\cdot |\textbf{v}| \text{ sen }\alpha$

Das Vektorprodukt kann als Determinante geschrieben werden:

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}$

Grafische Darstellung des Vektorprodukts

Beispiele

1 Berechne das Vektorprodukt der Vektoren $\textbf{u} = (1, 2, 3)$ und $\textbf{v} = (-1, 1, 2)$ .

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}$

1 In die Formel einsetzen

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & 2 & 3\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 2 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{k}$

2 Die Determinanten von $2\times 2$ berechnen

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\textbf{i}-5\textbf{j}+3\textbf{k}$

2 Gegeben sind die Vektoren $\textbf{u} = 3\textbf{i}-\textbf{j}+\textbf{k}$ y $\textbf{v} = \textbf{i}+\textbf{j}+\textbf{k}$ . Berechne das Vektorprodukt dieser Vektoren. Beweise, dass der ermittelte Vektor orthogonal zu $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ ist.

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}$

1 In die Formel einsetzen

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 3 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{k}$

2 Die Determinanten von $2\times 2$ berechnen

$\textbf{u}\times \textbf{v}=-2\textbf{i}-2\textbf{j}+4\textbf{k}$

3 Orthogonalität mithilfe des Skalarprodukts überprüfen

Wir berechnen das Skalarprodukt des resultierenden Vektors mit $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$

$(\textbf{u}\times \textbf{v})\perp \textbf{u} \hspace{2cm} (-2,-2,4)\cdot (3,-1,1)=-6+2+4=0$

$(\textbf{u}\times \textbf{v})\perp \textbf{v} \hspace{2cm} (-2,-2,4)\cdot (1,1,1)=-2-2+4=0$

Da das Ergebnis null ist, ist das Vektorprodukt $\textbf{u} \times \textbf{v}$ orthogonal zu den Vektoren $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ .

Unsere besten verfügbaren Mathe-Nachhilfelehrer

5 (37 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (66 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (36 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (77 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (53 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (88 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (43 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (47 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (37 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (66 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (36 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (77 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (53 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (88 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (43 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

5 (47 Bewertungen)

1. Unterrichtseinheit gratis!

Fläche des Parallelogramms

Geometrisch gesehen entspricht der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren der Fläche des Parallelogramms mit diesen Vektoren als Seiten

$A=|\textbf{u}|\cdot h=|\textbf{u}|\cdot|\textbf{v}|\text{ sen }\alpha=|\textbf{u}\times \textbf{v}|$

Grafische Darstellung der Fläche eines Parallelogramms

Beispiel

1 Gegeben sind die Vektoren $\textbf{u} =(3,1,-1)$ und $\textbf{v}=(2,3,4)$ . Bestimme die Fläche des Parallelogramms, dessen Seiten die Vektoren $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ sind.

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}$

1 In die Formel einsetzen

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 3 & 1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & 4 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 4 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}\textbf{k}$

2 Die Determinante von $2\times 2$ berechnen

$\textbf{u}\times \textbf{v}=7\textbf{i}-14\textbf{j}+7\textbf{k}$

3 Die Fläche des Parallelogramms bestimmen

$A=|\textbf{u}\times \textbf{v}|=\sqrt{7^2+14^2+7^2}=\sqrt{294}\ u^2$

Fläche eines Dreiecks

Die Diagonale eines Parallelogramms teilt dieses in zwei gleiche Dreiecke. Somit ist die Fläche des Dreiecks die Hälfte der Fläche des Parallelogramms.

Beispiel

1 Bestimme die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten

$A(1, 1, 3)$

$B(2, -1, 5)$

$C(-3, 3, 1)$

1 Die Vektoren ermitteln, die die Seiten des Dreicks bilden

Folgende Vektoren bilden die Seiten:

$\overline{AB}=(2-1,-1-1,5-3)=(1,-2,2)$

$\overline{AC}=(-3-1,3-1,1-3)=(-4,2,-2)$

2 In die Formel zur Berechnung des Vektorprodukts einsetzen

$w= \overline{AB}\times \overline{AC}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & -2 & 2\\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 2\\ 2 & -2 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -4 & -2 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -4 & 2 \end{vmatrix}\textbf{k}$

3 Die Determinante von $2\times 2$ berechnen

$w=0\textbf{i}-6\textbf{j}-6\textbf{k}$

Als Koordinaten ausgedrückt:

$w=(0,-6,-6)$

4 Wir berechnen die Fläche

Wir berechnen den Betrag des resultierenden Vektors des Vektorprodukts

$|w|=\sqrt{0^2+(-6)^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}$

Wir dividieren durch zwei

$\displaystyle A=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}=3\sqrt{2} \ u^2$

Eigenschaften des Vektorprodukts

1 Antikommutativität

$u\times v=-v\times u$

2 Es gilt die Regel

$\lambda(u\times v)=(\lambda u) \times v = u\times (\lambda v)$

3 Für das Vektorprodukt gilt das Distributivgesetz

$u\times (v+ w)=u\times v+u\times w$

4 Das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren entspricht dem Nullvektor.

$u\parallel v \hspace{2cm} u\times v=0$

5 Das Vektorprodukt $u\times v$ ist senkrecht zu $u$ und zu $v$ .

$(u\times v)\perp u \hspace{2cm}(u\times v) \cdot u=0$

$(u\times v)\perp v \hspace{2cm} (u\times v)\cdot v=0$

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

2 Stars

3 Stars

4 Stars

5 Stars

5,00 (1 Note(n))

Loading...

Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.

Hinterlasse uns einen Kommentar

Antworten abbrechen